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1、高考卷,全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|x1，B=x|3x1，则（）AAB=x|x0BAB=RCAB=x|x1DAB=2（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） ABCD3（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z
2、2R，则z1=；p4：若复数zR，则R其中的真命题为（）Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p44（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a5=24，S6=48，则an的公差为（）A1B2C4D85（5分）函数f（x）在（，+）单调递减，且为奇函数若f（1）=1，则满足1f（x2）1的x的取值范围是（）A2，2B1，1C0，4D1，36（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A15B20C30D357（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的
3、面积之和为（） A10B12C14D168（5分）如图程序框图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（） AA1000和n=n+1BA1000和n=n+2CA1000和n=n+1DA1000和n=n+29（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
4、单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A16B14C12D1011（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x5z12（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知
5、数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是（）A440B330C220D110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量，的夹角为60，|=2，|=1，则|+2|= 14（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x2y的最小值为 15（5分）已知双曲线C：=1（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60，则C的离心
6、率为 16（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为OD、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求sinBsinC；（2）若
7、6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角APBC的余弦值 19（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（，2）（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3，+3）之外的零件数，求P（X1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3，+3
8、）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得=9.97，s=0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，16用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（3+3）之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量Z服从正态
9、分布N（，2），则P（3Z+3）=0.9974，0.xxxx0.9592，0.0920（12分）已知椭圆C：+=1（ab0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点21（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a2）exx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围选修4-4，坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）（1）若a=1，求
10、C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x1|（1）当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围 2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2021新课标）已知集合A=x|x1，B=x|3x1，则（）AAB=x|x0BAB=RCAB=x|x1DAB=【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】1
11、1：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合【分析】先分别求出集合A和B，再求出AB和AB，由此能求出结果【解答】解：集合A=x|x1，B=x|3x1=x|x0，AB=x|x0，故A正确，D错误；AB=x|x1，故B和C都错误故选：A【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用2（5分）（2021新课标）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） ABCD【考点】CF：几何概型菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4O：
12、定义法；5I：概率与统计【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P=，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键3（5分）（2021新课标）设有下面四个命题p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z1=；p4：若复数zR，则R其中的真命题为（）Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p4【考点】2K：命题的真假判断
13、与应用；A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案【解答】解：若复数z满足R，则zR，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=1R，则zR，故命题p2为假命题；p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2R，但z1，故命题p3为假命题；p4：若复数zR，则=zR，故命题p4为真命题故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题4（5分）（2021新课标）记Sn为等差数
14、列an的前n项和若a4+a5=24，S6=48，则an的公差为（）A1B2C4D8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an的公差【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a5=24，S6=48，解得a1=2，d=4，an的公差为4故选：C【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用5（5分）（2021新课标）函数f（x）在（，+）单调递减，且
15、为奇函数若f（1）=1，则满足1f（x2）1的x的取值范围是（）A2，2B1，1C0，4D1，3【考点】3P：抽象函数及其应用菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式1f（x2）1化为1x21，解得答案【解答】解：函数f（x）为奇函数若f（1）=1，则f（1）=1，又函数f（x）在（，+）单调递减，1f（x2）1，f（1）f（x2）f（1），1x21，解得：x1，3，故选：D【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档6（5分）（2021新课标）（1+）（1+x）6展开式中x2
16、的系数为（）A15B20C30D35【考点】DC：二项式定理的应用菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中： 若（1+）=（1+x2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数： 若（1+）提供x2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数： 由（1+x）6通项公式可得可知r=2时，可得展开式中x2的系数为可知r=4时，可得展开式中x2的系数为（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30故选C【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活
17、运用属于基础题7（5分）（2021新课标）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A10B12C14D16【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=2（2+4）=6，这些梯形的面积之和为62=12，故选：B 【点
18、评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）（2021新课标）如图程序框图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（） AA1000和n=n+1BA1000和n=n+2CA1000和n=n+1DA1000和n=n+2【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图【分析】通过要求A1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2【解答】解：因为要求A1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A10
19、00”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分9（5分）（2021新课标）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，
20、纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力10（5分）（2021新课标）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直
21、的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A16B14C12D10【考点】K8：抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可方法二：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B
22、，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x1，联立方程组，则y24y4=0，y1+y2=4，y1y2=4，|DE|=|y1y2|=8，|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为，则l2的倾斜角为+，根据焦点弦长公式可得|AB|=|DE|=|AB|+|DE|=+=，0sin221，当=45时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A 【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题11（5分）（2021新课标）设x、y、z为
23、正数，且2x=3y=5z，则（）A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x5z【考点】72：不等式比较大小菁优网版权所有【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k1lgk0可得x=，y=，z=可得3y=，2x=，5z=根据=，=即可得出大小关系另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k1lgk0可得x=，y=，z=1，可得2x3y，同理可得5z2x【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k1lgk0则x=，y=，z=3y=，2x=，5z=，=lg03y2x5z另解：x、y、z为正数，令2x=3
24、y=5z=k1lgk0则x=，y=，z=1，可得2x3y，=1可得5z2x综上可得：5z2x3y解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系故选：D【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）（2021新课标）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推求满足如下条件的最
25、小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是（）A440B330C220D110【考点】8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】方法一：由数列的性质，求得数列bn的通项公式及前n项和，可知当N为时（nN+），数列an的前N项和为数列bn的前n项和，即为2nn2，容易得到N100时，n14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+12n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂只需将2n消去即可，分别分别即可求得N的值【解答】解：设该数列为an，设bn=+=2n
26、1，（nN+），则=ai，由题意可设数列an的前N项和为SN，数列bn的前n项和为Tn，则Tn=211+221+2n1=2nn2，可知当N为时（nN+），数列an的前N项和为数列bn的前n项和，即为2nn2，容易得到N100时，n14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230292+251=230，故A项符合题意B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226252+251=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221202+2101=221+21023，显然不为2的整数幂，故C项不符合题
27、意D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215142+251=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意故选A方法二：由题意可知：，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：211，221，231，2n1，每项含有的项数为：1，2，3，n，总共的项数为N=1+2+3+n=，所有项数的和为Sn：211+221+231+2n1=（21+22+23+2n）n=n=2n+12n，由题意可知：2n+1为2的整数幂只需将2n消去即可，则1+2+（2n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N100，1+2+4+（2n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N100，1+2
28、+4+8+（2n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N100，1+2+4+8+16+（2n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N100，该款软件的激活码440故选A【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（2021新课标）已知向量，的夹角为60，|=2，|=1，则|+2|=2【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60，
29、且|=2，|=1，=+4+4=22+421cos60+412=12，|+2|=2【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在OAC中，由余弦定理得|=2，即|+2|=2故答案为：2【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题14（5分）（2021新课标）设x，y满足约束条件，则z=3x2y的最小值为5【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目
30、标函数的最优解为A，联立，解得A（1，1）z=3x2y的最小值为3121=5故答案为：5 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15（5分）（2021新课标）已知双曲线C：=1（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60，则C的离心率为【考点】KC：双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线C：=1（a0，b0）的右
31、顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30=，可得：=，即，可得离心率为：e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力16（5分）（2021新课标）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为OD、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥当A
32、BC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为4cm3 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得ODBC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5x，三棱锥的高h=，求出SABC=3，V=，令f（x）=25x410x5，x（0，），f（x）=100x350x4，f（x）f（2）=80，由此能求出体积最大值【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得ODBC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG
33、=5x，三棱锥的高h=，=3，则V=，令f（x）=25x410x5，x（0，），f（x）=100x350x4，令f（x）0，即x42x30，解得x2，则f（x）f（2）=80，V=4cm3，体积最大值为4cm3故答案为：4cm3 【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答17（12分）（2021新课标
34、）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得SABC=acsinB=，3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2si
35、nA，sinA0，sinBsinC=；（2）6cosBcosC=1，cosBcosC=，cosBcosCsinBsinC=，cos（B+C）=，cosA=，0A，A=，=2R=2，sinBsinC=，bc=8，a2=b2+c22bccosA，b2+c2bc=9，（b+c）2=9+3cb=9+24=33，b+c=周长a+b+c=3+【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题18（12分）（2021新课标）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=D
36、C，APD=90，求二面角APBC的余弦值 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角【分析】（1）由已知可得PAAB，PDCD，再由ABCD，得ABPD，利用线面垂直的判定可得AB平面PAD，进一步得到平面PAB平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB平面PAD，得到ABAD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一
37、个法向量，再证明PD平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角APBC的余弦值【解答】（1）证明：BAP=CDP=90，PAAB，PDCD，ABCD，ABPD，又PAPD=P，且PA平面PAD，PD平面PAD，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD；（2）解：ABCD，AB=CD，四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB平面PAD，ABAD，则四边形ABCD为矩形，在APD中，由PA=PD，APD=90，可得PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直
38、线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（），设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得AB平面PAD，AD平面PAD，ABPD，又PDPA，PAAB=A，PD平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，cos=由图可知，二面角APBC为钝角，二面角APBC的余弦值为 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题19（12分）（2021新课标）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态
39、下生产的零件的尺寸服从正态分布N（，2）（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3，+3）之外的零件数，求P（X1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3，+3）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得=9.97，s=0.212，其中xi为抽取的第i个零件的
40、尺寸，i=1，2，16用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（3+3）之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量Z服从正态分布N（，2），则P（3Z+3）=0.9974，0.xxxx0.9592，0.09【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X1）=1P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（）由（1）及知落在（3，+3）之外为小概率事件可知该
41、监控生产过程方法合理；（）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（3，+3）之内的概率为0.9974，则落在（3，+3）之外的概率为10.9974=0.0026，因为P（X=0）=（10.9974）00.xxxx0.9592，所以P（X1）=1P（X=0）=0.0408，又因为XB（16，0.0026），所以E（X）=160.0026=0.0416；（2）（）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺
42、寸在（3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的（）由=9.97，s0.212，得的估计值为=9.97，的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除（3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（169.979.22）=10.02，因此的估计值为10.022=160.2122+169.9721591.134，剔除（3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（159
43、1.1349.2221510.022）0.008，因此的估计值为0.09【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题20（12分）（2021新课标）已知椭圆C：+=1（ab0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值
44、与范围问题【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（1，），P4（1，）三点在椭圆C上把P2（0，1），P3（1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b1），联立，得（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，1）【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，椭圆必不过P1（1，1），P2（0，1），P3（1，），P4（1，）三点在椭圆C上把P2（0，1），P3
45、（1，）代入椭圆C，得： ，解得a2=4，b2=1，椭圆C的方程为=1证明：（2）当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，yA），直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，=1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0，x1x2=，则=1，又b1，b=2k1，此时=64k，存在k，使得0成立，直线l的方程为y=kx2k1，当x=2时，y=1，l过定点（2，1）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题21（12分）（2021新课标）已知函数f（x）=ae2x+（a2）exx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围【考点】6B：利用导数研究