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1、南京信息工程大学试卷 学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页;考试时间 120分钟;任课教师 课程组 ;一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. 。(A) (B)(C) (D)不可导。2. 。 (A)是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B)是等价无穷小; (C)是比高阶的无穷小; (D)是比高阶的无穷小。 3. 若,其中在区间上二阶可导且,则( )。(A)函数必在处取得极大值;(B)函数必在处取得极小值;(C)函数在处没有极值,但点为曲线的拐点;(D)函数在处没有极值,点也不是曲线的拐点。4.(A) (B)(C) (D).二、填空题(本大题有4小题
2、,每小题4分,共16分)5. 。6. 。7. 。8. 。三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数由方程确定,求以及。 10.11.12. 设函数连续,,且,为常数. 求并讨论在处的连续性。13. 求微分方程满足的解. 四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线,过点,且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程。五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x 轴围成平面图形D。(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题(本大题有2小
3、题,每小题4分,共8分)16. 设函数在上连续且单调递减,证明对任意的,.17. 设函数在上连续,且,.证明:在内至少存在两个不同的点,使(提示:设)解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. . 6.。7. 。 8。三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 解:方程两边求导 ,10. 解:11. 解:12. 解:由,知。 ,在处连续。13. 解: ,四、 解答题(本大题10分)14. 解:由已知且, 将此方程关于求导得特征方程:解出特征根:其通解为代入初始条件,得故所求曲线方程为:五、解答题(本大题10分)15. 解:(1)根据题意,先设切点为,切线方程:由于切线过原点,解出,从而切线方程为:则平面图形面积(2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)16. 证明:故有: 证毕.17.证:构造辅助函数:.其满足在上连续,在上可导。,且由题设,有,有,由积分中值定理,存在,使即综上可知。在区间上分别应用罗尔定理,知存在和,使及,即。