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1、(经典) 高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示 1 、映射： （1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射集合 A，B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从AB的映射 f:(x,y)(x2+y2,xy) ，求象 (5，2)的原象. 3. 已知集合 A到集合 B0，1，2，3的映射 f:x 11x，则集合 A中的元素最多有几个 ?写出元素最多时的集合 A. 2、函数。构成函数概念的三要素定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、 下列各对函数中， 相同的是（）A、xxgxxflg2)(,lg)(
2、2 B 、)1lg()1lg()(,11lg)(xxxgxxxfC、vvvguuuf11)(,11)( D 、f （x）=x，2)(xxf2、30|,20|yyNxxM给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）A、 0 个 B、 1 个 C、 2 个 D、3个二、函数的解析式与定义域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法待定系数法： 在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1设)(xf是一次函数，且34)(xxff，求)(xf配凑法：已知复合函数( )f g x的表达式， 求( )f x的解析式， ( )f g x的表达式容易配成( )g x的运算形式时，常用配凑法。
3、但要注意所求函数( )f x的定义域不是原复合函数的定义域，而是( )g x的值域。例 2已知221)1(xxxxf)0(x，求( )fx的解析式三、换元法： 已知复合函数( )f g x的表达式时，还可以用换元法求( )f x的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3已知xxxf2)1(，求)1(xf四、代入法： 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3 ,2(对称，求)(xg的解析式五、构造方程组法： 若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过x x x x 1 2 1 1
4、 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 解方程组求得函数解析式。例 5设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf例 6 设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式六、赋值法： 当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化
5、，从而求得解析式。例 7已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf七、递推法： 若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8设)(xf是 N 上的函数，满足1)1 (f，对任意的自然数ba,都有abbafbfaf)()()(，求)(xf1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；6. （05江苏卷）函数20.5log(43 )yxx
6、的定义域为2 求函数定义域的两个难点问题（1）( )x已知f的定义域是 -2,5,求f(2x+3) 的定义域。（2）(21)xx已知f 的定义域是 -1,3,求f()的定义域例 2 设2( )lg2xf xx，则2( )( )2xffx的定义域为 _ 变式练习：24)2(xxf，求)( xf的定义域。三、函数的值域1 求函数值域的方法直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x) 的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且xR的分式；分离常数：适合分子分
7、母皆为一次式（x 有范围限制时要画图） ；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1 （直接法）2123yxx22( )2242f xxx 3 （换元法）12xxy4. （法）432xxy5. 11y22xx6. ( 分离常数法 ) 1xxy31( 24)21xyxx 7. (单调性 )3( 1,3)2yxxx8. 111yxx，11yxx 9 ( 图象法 )232( 12)yxxx10( 对勾函数)82(4)yxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
8、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 11. ( 几何意义 )21yxx四函数的奇偶性1定义 :2. 性质：y=f(x) 是偶函数y=f(x) 的图象关于y轴对称 , y=f(x)是奇函数y=f(x) 的图象关于原点对称, 若函数 f(x) 的定义域关于原点对称，则f(0)=0 奇奇=奇偶偶=偶奇奇=偶偶偶=偶奇偶=奇 两函数的定义域D1，D2，D1D2要关于原点对称 3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看 f(x) 与 f(-x) 的关系1 已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数 . 当)
9、0,(x时，4)(xxxf，则当), 0(x时，)(xf . 2 已知定义域为R的函数12( )2xxbf xa是奇函数。（）求,a b的值； （）若对任意的tR，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围；3 已知)(xf在（ 1，1）上有定义，且满足),1()()()1 , 1(,xyyxfyfxfyx有证明：)(xf在（ 1，1）上为奇函数；4 若奇函数)(Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(f_ 五、函数的单调性1、 函数单调性的定义：2 设xgfy是定义在 M上的函数，若 f(x) 与 g(x) 的单调性相反，则xgfy在 M上是减函数；若
10、f(x) 与 g(x) 的单调性相同，则xgfy在 M上是增函数。2 例 函数)(xf对任意的Rnm,，都有1)()()(nfmfnmf，并且当0 x时，1)(xf，求证：)(xf在R上是增函数；若4)3(f，解不等式2)5(2aaf3 函数)26(log21 . 0 xxy的单调增区间是 _ 4(高考真题 )已知(31)4 ,1( )log,1aaxa xf xx x是(,)上的减函数，那么 a的取值范围是（A）(0,1)（B）1(0,)3（C ）1 1,)7 3（D）1,1)7一：函数单调性的证明1. 取值 2 ，作差 3 ，定号 4 ，结论二：函数单调性的判定，求单调区间名师资料总结 -
11、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 322xxy322xxy452xxy3212xxy)23(log22xxyxxy4221xxy21251212xxyxaxy（0a）xaxy（0a）三：函数单调性的应用1. 比较大小例：如果函数cbxxxf2)(对任意实数 t 都有)2()2(tftf，那么 A、)4()1 ()2(fff B 、)4()2()1(fffC、)1()4()2(fff C、) 1()2()4(fff2. 解不等式 例
12、：定义在（ 1，1）上的函数( )f x是减函数，且满足：(1)( )faf a，求实数 a的取值范围。 例：设是定义在上的增函数，且，求满足不等式的 x 的取值范围 . 3. 取值范围 例: 函数在上是减函数 , 则的取值范围是 _例：若(31)41( )log1aaxaxf xxx是R上的减函数，那么 a 的取值范围是（）A.(0,1) B.1(0,)3 C.1 1, )7 3D.1,1)74. 二次函数最值 例：探究函数12)(2axxxf在区间1 ,0的最大值和最小值。例：探究函数12)(2xxxf在区间1,aa的最大值和最小值。5. 抽象函数单调性判断例：已知函数)(xf的定义域是)
13、,0(，当1x时，0)(xf，且)()()(yfxfxyf求) 1(f，证明)(xf在定义域上是增函数如果1)31(f，求满足不等式)21()(xfxf2 的 x 的取值范围例：已知函数 f ( x) 对于任意 x，yR，总有 f ( x) f ( y) f ( xy) ，且当 x0时，f (x)1 时，f ( x)0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - (1) 求 f (1) 的值； (2) 判断 f ( x)
14、的单调性； (3) 若 f (3) 1，解不等式 f (| x|)0 , a1) 互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=ax (a0 且 a1) y=logax (a0 , a1) 定义域(- ,+ ) (0,+ ) 值域(0,+ ) (- ,+ ) 过定点（， 1）（1，）图象指数函数 y=ax与对数函数 y=logax (a0 , a1) 图象关于 y=x 对称单调性a 1, 在(- ,+ ) 上为增函数a1,在(0,+ ) 上为增函数a1 ? y0? y0)的图象，可将 y=f(x) 的图象上的每一点的纵坐标伸长(a1) 或缩短 (0a0)的图象， 可将 y=f(x) 的图象上的每一
15、点的横坐标缩短(a1) 或伸长 (0a1) 到原来的 a倍。十函数的其他性质 1函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f xf xxx单调递增1212()()0f xf xxx单调递减2函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：( )()0f xfx奇函数( )()0f xfx偶函数3函数的凸凹性：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 1212()()()22xxf xf xf凹函数（图象“下凹” ，如：指数函数）1212()()()22xxf xf xf凸函数（图象“上凸” ，如：对数函数）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -