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1、高中数学难点解析难点 23 求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. 难点磁场1.( )双曲线2224byx=1(bN)的两个焦点F1、F2，P 为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_. 2.( )如图，设圆P 满足：截y 轴所得弦长为2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长比为3
2、1，在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线l：x2y=0 的距离最小的圆的方程 . 案例探究例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A 是双曲线的顶点，C、C 是冷却塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，已知AA=14 m，CC=18 m,BB=22 m,塔高 20 m. (1)建立坐标系并写出该双曲线方程. (2)求冷却塔的容积(精确到 10 m2,塔壁厚度不计，取 3.14). 命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属级题目. 知识依托：待
3、定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积. 错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键，积分求容积是本题的重点. 技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程，第二问是积分法求体积. 解：如图，建立直角坐标系xOy,使 AA 在 x 轴上， AA 的中点为坐标原点O，CC 与 BB 平行于 x 轴. 2222byax=1(a 0,b 0), 则设双曲线方程为a=21AA =7又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C 在双曲线上，所以有179, 17112222222122byby由题意，知y2y1=20,由以上三式得：y1=12,y2=8,b=72名师资料总结 -
4、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 故双曲线方程为984922yx=1. (2)由双曲线方程，得x2=21y2+49 设冷却塔的容积为V(m3),则 V=812812812322| )4961()4921(yydyydyx,经计算，得 V=4.25 103(m3) 答：冷却塔的容积为4.25 103m3. 例 2过点 (1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线y=21x 过
5、线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称，试求直线l 与椭圆 C 的方程 . 命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键. 技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式 .解法二，用韦达定理. 解法一：由e=22ac,得21222aba,从而 a2=2b2,c=b. 设椭圆
6、方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 . 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy设 AB 中点为 (x0,y0),则 kAB=002yx,又(x0,y0)在直线 y=21x 上， y0=21x0,于是002yx= 1,kAB= 1,设 l 的方程为 y=x+1. 右焦点 (b,0)关于 l 的对称点设为 (x,y),byxbxybxy111221解得则由点 (1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2=89,1692a. 所求椭圆C 的方程为
7、2291698yx=1,l 的方程为y=x+1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 解法二：由e=21,22222abaac得,从而 a2=2b2,c=b. 设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x1), 将 l 的方程代入C 的方程，得 (1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则 x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=2212k
8、k. 直线 l： y=21x 过 AB 的中点 (2,22121yyxx),则2222122121kkkk,解得 k=0，或 k= 1. 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C上，所以k=0 舍去，从而k=1，直线 l 的方程为 y=(x1),即 y=x+1,以下同解法一 . 例 3如图，已知 P1OP2的面积为427，P 为线段 P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程. 命题意图：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属级题目. 知识
9、依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程 . 错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出P1OP2的面积是学生感到困难的. 技巧与方法：利用点P 在曲线上和 P1OP2的面积建立关于参数a、b 的两个方程，从而求出 a、b 的值 . 解：以 O 为原点， P1OP2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为2222byax=1(a0,b0) 由 e2=2222)213()(1abac，得23ab. 两渐近线OP1、OP2方程分别为y=23x 和 y=23x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
10、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 设点 P1(x1,23x1),P2(x2,23x2)(x10,x20),则由点 P 分21PP所成的比 =21PPPP=2,得 P 点坐标为(22,322121xxxx), 又 点P在双 曲线222294ayax=1上，所以222122219)2(9)2(axxaxx=1, 即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2,427131241321sin|211312491232tan1tan2sin21349|
11、 ,21349|212121121212222212121121xxOPPOPOPSOxPOxPOPPxxxOPxxxOPOPP又即 x1x2=29由、得a2=4,b2=9 故双曲线方程为9422yx=1. 锦囊妙计一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“ 先定形，后定式，再定量” 的步骤 . 定形 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式 根据 “ 形” 设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0). 定量 由题设中的条件找到“ 式” 中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 歼灭难点训练一、选择题1.(
12、)已知直线x+2y3=0 与圆 x2+y2+x6y+m=0 相交于 P、Q 两点， O 为坐标原点，若 OPOQ，则 m 等于( ) A.3 B.3 C.1 D.1 2.( )中心在原点，焦点在坐标为(0， 52)的椭圆被直线3xy2=0 截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为( ) 12575 D.17525C.1252752 B.1752252A.22222222yxyxyxyx二、填空题3.( )直线 l 的方程为y=x+3,在 l 上任取一点P，若过点P 且以双曲线12x24y2=3 的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_. 4.( )已知圆过点P(4， 2)、Q(1，
13、3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，则该圆的方程为_. 三、解答题5.( )已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F，M 是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x 为轴的对名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 称点 M1和 M2，且 |M1M2|=3104，试求椭圆的方程. 6.( )某抛物线形拱桥跨度是20 米，拱高4 米，在建桥时每隔4 米需用一支柱支
14、撑，求其中最长的支柱的长. 的方程为(x2)2+(y1)2=320,7.( )已 知 圆C1椭圆 C2的方程为2222byax=1(ab0)，C2的离心率为22，如果 C1与 C2相交于A、B 两点，且线段AB 恰为圆C1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C2的方程 . 参考答案难点磁场1.解析：设F1(c,0） 、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|250+2c2, 又 |PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1| |PF2|, 依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4, 依
15、已知条件有|PF1| |PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2317, 又 c2=4+b2317,b235,b2=1. 答案： 1 2.解法一：设所求圆的圆心为P(a,b） ，半径为r,则点 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为|b|、|a| 圆 P 截 y 轴所得弦长为2， r2=a2+1 又由题设知圆P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为90 ,故弦长 |AB|=2r,故 r2=2b2,从而有2b2a2=1 又点 P(a,b)到直线 x2y=0 的距离 d=5|2|ba, 因此， 5d2=|a2b|2=a2+4b24ab a2+4b22(a2+b2)=2b2a2=1,
16、当 且 仅 当a=b时 上 式 等 号 成 立 ， 此 时5d2=1, 从 而d取 最 小 值 ， 为 此 有11111222babaabba或得, r2=2b2, r2=2 于是所求圆的方程为：(x1）2+(y1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 解法二：设所求圆P 的方程为 (xa)2+(yb)2=r2(r0) 设 A(0,y1),B(0,y2)是圆与 y 轴的两个交点，则y1、y2是方程 a2+(yb)2=r2的两根，y1，2=b22ar名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
17、- - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 由条件得 |AB|=2，而 |AB|=|y1y2|,得 r2a2=1 设点 C(x1,0)、D(x2,0)为圆与 x 轴的两个交点，则x1,x2是方程 (xa)2+b2=r2的两个根，x1，2=a22br由条件得 |CD|=2r,又由|CD|=|x2x1|，得 2b2=r2,故 2b2=a2+1 设圆心 P(a,b)到直线 x2y=0 的距离为 d=5|2|baa2b=5d,得 a2=(2b5d)2=4b2 45bd+5d2又 a2=2b21,故有 2b2 45bd+5d2+1=0.把上式看作b 的二次方程，方程有实根.
18、=8(5d21)0, 得 5d21.dmin=55,将其代入 2b2 45bd+5d2+1=0, 得 2b2 4b+2=0,解得 b= 1. 从而 r2=2b2=2,a=12r= 1 于是所求圆的方程为(x1)2+(y1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 歼灭难点训练一、 1.解析：将直线方程变为x=32y,代入圆的方程x2+y2+x6y+m=0, 得(32y)2+y2+(32y)+m=0. 整理得 5y220y+12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2) 则 y1y2=512m,y1+y2=4. 又 P、Q 在直线 x=32y 上，x1x2=(32y1)(32y2)=4y1
19、y26(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y26(y1+y2)+9=m3=0，故 m=3. 答案： A 2.解析：由题意，可设椭圆方程为：2222bxay=1,且 a2=50+b2, 即方程为222250bxby=1. 将直线 3xy2=0 代入，整理成关于x 的二次方程 . 由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75. 答案： C 二、 3.解析：所求椭圆的焦点为F1(1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|. 欲使 2a 最小，只需在直线l 上找一点 P.使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解答案：4522yx=1 4.解析：设所求圆的方程为(xa
20、)2+(yb)2=r2则有222222222)32(|)3()1()2()4(rarbarba2745130122rbarba或由此可写所求圆的方程. 答案： x2+y22x12=0 或 x2+y210 x8y+4=0 三、 5.解： |MF |max=a+c,|MF |min=ac,则(a+c)(ac)=a2c2=b2, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - b2=4,设椭圆方程为14222yax设过 M1和 M2的
21、直线方程为y=x+m 将代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为 (x0,y0), 则 x0=21(x1+x2)=224ama,y0=x0+m=244am. 代入 y=x,得222444amama, 由于 a24,m=0,由知 x1+x2=0,x1x2=2244aa, 又|M1M2|=31044)(221221xxxx, 代入 x1+x2,x1x2可解 a2=5,故所求椭圆方程为：4522yx=1. 6.解：以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B 坐标分别为 (1
22、0， 4） 、(10， 4）设抛物线方程为x2=2py,将 A 点坐标代入，得100=2p (4),解得 p=12.5, 于是抛物线方程为x2=25y. 由题意知 E 点坐标为 (2，4)，E点横坐标也为2，将 2 代入得 y=0.16,从而 |EE|=(0.16)(4)=3.84.故最长支柱长应为3.84 米. 7.解：由 e=22,可设椭圆方程为22222bybx=1, 又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2, 又2222222212212, 12bybxbybx=1,两式相减，得22221222212byybxx=0, 即(x1+x2)(x1x2)+
23、2(y1+y2)(y1y2)=0. 化简得2121xxyy=1,故直线 AB 的方程为 y=x+3, 代入椭圆方程得3x212x+182b2=0. 有 =24b2720,又|AB|=3204)(221221xxxx, 得3209722422b，解得 b2=8. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 故所求椭圆方程为81622yx=1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -