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1、高中数学知识点大全圆锥曲线_精品高中数学圆锥曲线一考点限考概要 1 椭圆 1 轨迹定义定义一在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆两定点是焦点两定点间距离是焦距且定长2a大于焦距 2c 用集合表示为定义二在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数 e 那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫焦点定直线叫准线常数e是离心率用集合表示为 2 标准方程和性质注意当没有明确焦点在个坐标轴上时所求的标准方程应有两个 3 参数方程 为参数 3 双曲线 1 轨迹定义定义一在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线两定点是焦点两定点间距离是焦距用集合表示为定义二到定点的距离
2、和它到一条定直线的距离之比是个常数e 那么这个点的轨迹叫做双曲线其中定点叫焦点定直线叫准线常数e 是离心率名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 用集合表示为 2 标准方程和性质注意当没有明确焦点在个坐标轴上时所求的标准方程应有两个 4 抛物线 1 轨迹定义在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线定点是焦点定直线是准线定点与定直线间的距离叫焦参数p 用集合表示为 2 标准方程和性质焦点坐标的符号与方程符号一致
3、与准线方程的符号相反标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致标准方程的顶点在原点对称轴是坐标轴有别于一元二次函数的图像二复习点睛 1 平面解析几何的知识结构2 椭圆各参数间的关系请记熟六点六线一个三角形即六点四个顶点两个焦点六线两条准线长轴短轴焦点线和垂线PQ三角形焦点三角形则椭圆的各性质除切线外均可在这个图中找到 3 椭圆形状与 e 的关系当 e0c0 椭圆圆直至成为极限位置名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - -
4、- - 的圆则认为圆是椭圆在e0时的特例当 e1ca椭圆变扁直至成为极限位置的线段此时也可认为是椭圆在e1 时的特例 4 利用焦半径公式计算焦点弦长若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 ABAB 两点的坐标分别为则弦长这里体现了解析几何设而不求的解题思想 5 若过椭圆左或右焦点的焦点弦为AB则6结合下图熟记双曲线的四点八线一个三角形即四点顶点和焦点八线实轴虚轴准线渐进线焦点弦垂线PQ三角形焦点三角形 7 双曲线形状与e 的关系 e 越大即渐近线的斜率的绝对值就越大这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知双曲线的离心率越大它的开口就越阔 8 双曲线的焦点到渐近线的距离为b 9 共轭双曲线
5、以已知双曲线的实轴为虚轴虚轴为实轴这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线区别三常数abc 中 ab 不同互换 c 相同它们共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法将1 变为1 10 过双曲线外一点 Pxy 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下 1P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线共四条 2P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线共四条名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
6、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3P 在两条渐近线上但非原点只有两条一条是与另一渐近线平行的直线一条是切线4P为原点时不存在这样的直线 11 结合图形熟记抛物线两点两线一个直角梯形即两点顶点和焦点两线准线焦点弦梯形直角梯形ABCD 12 对于抛物线上的点的坐标可设为以简化计算 13 抛物线的焦点弦过焦点的弦为AB且 则有如下结论 14 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点两条切线和一条平行于对称轴的直线 15 处理椭圆双曲线抛物线的弦中点问题常用代点相减法即设为曲线上不同的两点是的中点则可
7、得到弦中点与两点间关系 16 当涉及到弦的中点时通常有两种处理方法一是韦达定理即把直线方程代入曲线方程消元后用韦达定理求相关参数即设而不求二是点差法即设出交点坐标然后把交点坐标代入曲线方程两式相减后再求相关参数在利用点差法时必须检验条件0 是否成立5 圆锥曲线 1 统一定义三种圆锥曲线均可看成是这样的点集其中F 为定点 d 为点 P到定直线的 l 距离 e 为常数如图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 当 0e
8、1 时点 P的轨迹是椭圆当e1 时点 P的轨迹是双曲线当 e1 时点 P的轨迹是抛物线 3 圆锥曲线的几何性质几何性质是圆锥曲线内在的固有的性质不因为位置的改变而改变定性焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中心为两焦点中点两准线关于中心对称椭圆及双曲线关于长轴短轴或实轴虚轴为轴对称关于中心为中心对称抛物线的对称轴是坐标轴对称中心是原点定量4 圆锥曲线的标准方程及解析量随坐标改变而变以焦点在 x 轴上的方程为例 6 曲线与方程 1 轨迹法求曲线方程的程序建立适当的坐标系设曲线上任一点动点M的坐标为 xy 列出符合条件 pM的方程 fxy0 化简方程 fxy0 为最简形式证明化简后的方程的解为坐
9、标的点都在曲线上名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 曲线的交点由方程组确定方程组有几组不同的实数解两条曲线就有几个公共点方程组没有实数解两条曲线就没有公共点二复习点睛 1 圆锥曲线用不通过圆锥面顶点的平面去截该圆锥面时所得到的截痕根据截的方法不同可得到不同的截痕总称为圆锥曲线 1 用不平行于母线的平面去截圆锥时如果截痕全在顶点的一侧则得到的图形是椭圆如果截痕出现在两侧则得到的图形是双曲线 2 用平行于母线的平面
10、去截圆锥时得到的图形则是抛物线 3 用平行于底面或垂直于轴的平面去截时得到的图形则是圆这些曲线的方程都是二次方程所以圆锥曲线又称为二次曲线 2 研究圆锥曲线一要重视定义这是学好圆锥曲线最重要的思想方法二要数形结合既熟练掌握方程组理论又关注图形的几何性质以简化运算掌握椭圆双曲线抛物线的标准方程首先要理解它们的意义不仅要掌握怎么依据这些定义得到相关标准方程的也要能依据定义去处理一些有关的概念性问题还要注意区分不同曲线的标准方程的不同特点方程的系数的不同的意义并能结合图形认识这些导致之间不同的关系从而能迅速而正确的求出相关圆锥曲线的标准方程 3 以标准方程为依据研究圆锥曲线的性质对圆来讲比较简单仍然
11、要注意适当运用平面几何中已学过的知识和方法对于椭圆双曲线抛物线来讲则要注意标准方程不同形式时所得性质的不同表示复习中要注意从数和形两个方面都有所理解并使之结合达到能熟练的由标准名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 方程得出有关圆锥曲线几何性质的要求还能由给出圆锥曲线的某些性质正确求出圆锥曲线的标准方程 4 用解析法研究圆锥曲线的性质重点是直线与圆锥曲线的关系这里的基本要求是会利用方程组判断直线和圆锥曲线的位置关系会求
12、直线被圆锥曲线所截得的弦的长中点坐标会处理圆锥曲线的有关对称问题以及其他一些综合问题而综合问题大致可分三类一类是研究对象的综合一个问题中同时出直线或圆锥曲线中的某几种二是研究课题的综合既研究求方程或其他有关轨迹的问题又研究有关的性质问题三是数学思想方法的综合研究过程中要求对数形结合分类讨论方程思想函数思想等等作综合运用复习中不应过于强调题型过于强调不同题型和方法的对照而要着眼于对问题的全面分析把解析几何的基本思想基本知识和方法怎么用于问题解决中去的思考上 5 涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题椭圆和双曲线的两个定义间是等价的它们是这两种曲线不同的定义方式 6 直线和圆锥曲线位置关系 1 位置关系
13、判断法适用对象是二次方程二次项系数不为0 其中直线和曲线只有一个公共点包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形后一种情形下消元后关于或方程的二次项系数为 0 直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况后一种情形下消元后关于或方程的二次项系数为 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 直线和圆锥曲线相交时交点坐标就是方程组的解 7 求轨迹方程的常用方法 1 直接法
14、直接利用条件建立之间的关系 2 待定系数法已知所求曲线的类型求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程再由条件确定其待定系数 3 定义法先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 4 代入转移法动点依赖于另一动点的变化而变化并且又在某已知曲线上则可先用的代数式表示再将代入已知曲线得要求的轨迹方程5参数法当动点坐标之间的关系不易直接找到也没有相关动点可用时可考虑将均用一中间变量参数表示得参数方程再消去参数得普通方程6 注意如果问题中涉及到平面向量知识那么应从已知向量的特点出发考虑选择向量的几何形式进行摘帽子或脱靴子转化还是选择向量的代数形式进行摘帽子或脱靴子转化曲线与
15、曲线方程轨迹与轨迹方程是两个不同的概念寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的完备性与纯粹性的影响在与圆锥曲线相关的综合题中常借助于平面几何性质数形结合如角平分线的双重身份对称性利用到角公式方程与函数性质化解析几何问题为代数问题分类讨论思想化整为零分化处理求值构造等式求变量范围构造不等关系等等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 如果在一条直线上出现三个或三个以上的点那么可选择应用斜率或向量为桥梁转化 8 圆锥
16、曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考一是建立函数用求值域的方法求范围二是建立不等式通过解不等式求范围中心在原点坐标轴为对称轴的椭圆双曲线方程可设为 9 求轨迹的常用方法 1 直接法直接通过建立xy 之间的关系构成 xy0F 是求轨迹的最基本的方法 2 待定系数法所求曲线是所学过的曲线如直线圆锥曲线等可先根据条件列出所求曲线的方程再由条件确定其待定系数代回所列的方程即可 3 代入法相关点法或转移法若动点Pxy 依赖于另一动点的变化而变化并且又在某已知曲线上则可先用x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -