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1、关于不等式证明的常用方法重难点归纳(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因2不等式证明还有一些常用的方法换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法凡是含有“至少” “惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法典型题例例 1 证明不等式nn21
2、31211(nN*) 知识依托本题是一个与自然数n 有关的命题， 首先想到应用 数学归纳法， 另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法 等例 2 求使yxayx(x0，y0)恒成立的 a 的最小值知识依托该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来， 等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值例 3 已知a0，b0，且a+b=1求证(a+a1)(b+b1) 425证法一(分析综合法）证法二(均值代换法 ) 证法三(比较法）证法四(综合法 ) 证法五(三角代换法）巩固练习1已知 x、y 是正变数 ,a
3、、b 是正常数 ,且ybxa=1，x+y 的最小值为_2设正数 a、b、c、d 满足 a+d=b+c，且 |ad|bc|，则 ad 与 bc 的大小关系是 _3若 mn，pq，且 (pm)(pn)0，(qm)(qn)0，则 m、n、p、q 的大小顺序是 _4已知 a，b，c 为正实数， a+b+c=1求证(1)a2+b2+c231(2)232323cba6 5已知 x，y，zR，且 x+y+z=1，x2+y2+z2=21，证明x，y，z 0，326证明下列不等式(1)若 x，y，zR，a，b，cR+，则cbaybacxacb22z22(xy+yz+zx) (2)若 x，y，zR+，且 x+y+
4、z=xyz，则zyxyxzxzy2(zyx111) 7已知 i，m、n 是正整数，且1imn(1)证明niAimmiAin(2)证明(1+m)n(1+n)m8若 a0，b0，a3+b3=2，求证a+b2，ab1不等式知识的综合应用典型题例例 1 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图 )设容器高为h 米，盖子边长为a米， (1)求 a 关于 h 的解析式； (2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时， V 最大？求出V 的最大值 (求解本题时，不计容器厚度 ) 知识依托本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值例 2 已知 a，b，c是实数，
5、函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当 1x1 时|f(x)|1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - (1)证明|c|1；(2)证明当 1 x1 时， |g(x)|2；(3)设 a0，有 1x1 时， g(x)的最大值为2，求 f(x)知识依托二次函数的有关性质、函数的单调性，绝对值不等式例 3 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)x=0 的两个根 x1、x2满足 0 x1x2a
6、1(1)当 x 0，x1)时，证明 xf(x) x1；(2)设函数 f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x021x巩固练习1定义在 R 上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间 0，+)的图象与 f(x)的图象重合，设ab0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是( ) f(b)f(a)g(a)g(b) f(b)f(a)g(a)g(b) f(a)f(b)g(b)g(a) f(a)f(b)g(b)g(a) ABCD2下列四个命题中a+b2absin2x+x2sin44 设 x， y 都是正数，若yx91=1， 则 x+y 的最小值是12 若|x2|，|y2|，则 |xy|2，其中所有
7、真命题的序号是_4已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a，bR，a0)，设方程 f(x)=x的两实数根为x1，x2(1)如果 x12x24，设函数 f(x)的对称轴为x=x0，求证 x0 1；(2)如果 |x1|2，|x2x1|=2，求 b 的取值范围6设函数 f(x)定义在 R 上，对任意m、n 恒有 f(m+n)=f(m)f(n)，且当 x0 时， 0f(x)1(1)求证f(0)=1，且当 x0 时， f(x)1；(2)求证f(x)在 R 上单调递减；(3)设集合 A= ( x，y)|f(x2)f(y2)f(1) ，集合 B=( x，y)|f(axg+2)=1 ，aR ，若 AB=，求
8、 a 的取值范围7已知函数f(x)=1222xcbxx(b0)的值域是 1，3 ，(1)求 b、c的值；(2)判断函数 F(x)=lgf(x)，当 x 1，1时的单调性，并证明你的结论；(3)若 tR，求证lg57F(|t61|t+61|)lg513数列与不等式的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】数列与不等式交汇主要以压轴题 的形式出现， 试题还可能涉及到与导数、函数 等知识综合一起考查.主要考查知识 数列的通项公式、前 n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求 ，在不等式的证明中要注意放缩法 的应用 . 【典例分析】题
9、型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数 f(x)在定义域为D，则当 xD 时，有 f(x) M 恒成立f(x)minM ；f(x)M恒成立f(x)maxM ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【例 1】等比数列 an的公比 q1，第 17 项的平方等于第24 项，求使 a1a2an1a11a21an恒成立的正整数n 的取值范围 . 【例 2】 （08 全国） 设数列 an 的前n项和为 Sn已知 a1a，an+1Sn 3n，nN*()设 bnSn3n，求数列 bn 的通项公式；（）若
10、 an+1an，nN*，求 a 的取值范围【点评】一般地，如果求条件与前n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - ABCDS项和相关的数列的通项公式，则可考虑Sn与 an的关系求解题型二数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法， 特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法， 主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到
11、证明的目的. 【例 3】已知数列 an 是等差数列，其前n 项和为 Sn，a37，S424()求数列 an 的通项公式； ()设 p、q 都是正整数，且 p q，证明：Sp+q12(S2pS2q) 【点评】利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式； （3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化. 【例 4】(08 安徽高考 )设数列 an 满足 a10，an+1can31c，cN* ，其中 c 为实数 .( )证明：an0，1对任意 nN*成立的充分必要条件是c0，1；()设 0c13，证明： an1
12、(3c)n 1，nN*； （）设0c13，证明： a12a22an2n1213c，nN*. 题型三求数列中的最大值问题求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值； (2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值. 【例 5】(08 四川 )设等差数列 an 的前n项和为 Sn，若 S410 ， S515 ，则 a4的最大值为 _. 【例 6】等比数列 an 的首项为 a12002，公比 q12()设 f(n)表示该数列的前n 项的积，求 f(n)的表达式； ()当 n取何值时
13、， f(n)有最大值题型四求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“ 否定 ” 的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果. 【例 7】已知 an的前 n 项和为 Sn，且 anSn4.()求证：数列 an 是等比数列； ()是否存在正整数k，使Sk+12Sk22 成立. 【点评】 在导出矛盾时须注意条件“ kN*” ，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱. 【例 8】(08 湖北 )已知数列 an
14、 和bn 满足： a1 ，an+123ann4，bn(1)n(an3n21)，其中 为实数， n 为正整数. （）对任意实数 ，证明数列 an不是等比数列；（）试判断数列bn 是否为等比数列，并证明你的结论；（）设 0ab,Sn为数列 bn 的前 n 项和 .是否存在实数 ，使得对任意正整数n，都有 aSnb?若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由 . 数列与不等式命题新亮点例 1 把数列一次按第一个括号一个数, 按第二个括号两个数, 按第三个括号三个数, 按第四个括号一个数, 循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23) , ,
15、则第 50 个括号内各数之和为_. 点评 : 恰当的分组 , 找到各数之间的内在联系是解决之道. 此外 ,这种题对观察能力有较高的要求. 例 2 设na是由正数构成的等比数列, 12nnnbaa,3nnncaa, 则( ) A.nnbc B. nnbc C. nnbc D. nnbc点评 : 此题较易入手 , 利用作差法即可比较大小, 考察数列的递推关系. 例 3 若对(, 1x, 不等式21()2( )12xxmm恒成立 , 则实数m的取值范围 ( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
16、- - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - A.( 2,3) B. ( 3,3) C. ( 2,2) D. ( 3,4)例 4 四棱锥 S-ABCD的所有棱长均为1 米, 一只小虫从 S点出发沿四棱锥的棱爬行, 若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的. 设小虫爬行n米后恰好回到S点的概率为nP(1) 求2P、3P的值 ; (2)求证 : 131(2,)nnPPnnN(3) 求证 : 2365(2,)24nnPPPnnN,例 5 已知函数2fxxx. (1) 数列na满足 : 10a,1nnafa,若11112niia对任意的nN恒成立 , 试求1a的取值范围 ;
17、 (2) 数列nb满足 : 11b,1nnbf bnN, 记11nncb,kS为数列nc的前k项和 , kT为数列nc的前k项积 , 求证1710nkkkkTST. 例 6 (1) 证明 : ln 1(0)xx x (2)数列na中. 11a, 且11211122nnnaann; 证明 : 724nan21naen【专题训练】1已知无穷数列an 是各项均为正数的等差数列，则有（）Aa4a6a6a8Ba4a6a6a8Ca4a6a6a8Da4a6a6a82设 an 是由正数构成的等比数列，bnan+1an+2，cnanan+3，则（）AbncnBbncnCbncnDbncn3已知 an 为等差数列
18、， bn为正项等比数列，公比q1 ，若 a1b1，a11b11，则（）Aa6b6Ba6b6Ca6b6Da6b6或 a6b64已知数列 an 的前 n 项和 Snn29n，第 k 项满足 ak，则 k（）A9 B8 C7 D6 5已知等比数列an 的公比 q0，其前 n 项的和为 Sn，则 S4a5与 S5a4的大小关系是（）AS4a5S5a4BS4a5S5a4CS4a5S5a4D不确定6设 Sn123n，nN*，则函数 f(n)Sn(n32)Sn+1的最大值为（）A120B130C140D1507已知 y 是 x 的函数，且lg3， lg(sinx12)，lg(1y)顺次成等差数列，则（）Ay
19、 有最大值 1，无最小值By 有最小值1112，无最大值Cy 有最小值1112，最大值 1Dy 有最小值 1，最大值 1 8已知等比数列an 中 a21，则其前 3 项的和 S3的取值范围是（） (， 1 ( ， 1)(1， ) 3， ) (， 1 3，)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 9设3b 是 1a 和 1a 的等比中项，则a3b 的最大值为 ( ) A1 B2 C3 D4 10设等比数列 an的首相为 a
20、1，公比为 q，则 “a10，且 0q1” 是“ 对于任意 nN*都有 an+1an” 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分比要条件D既不充分又不必要条件11an为等差数列，若a11a10 1，且它的前n 项和 Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n（）A11 B17 C19 D21 12设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数，对任意实数x、yR，都有 f(x)f(y) f(xy)，若 a112，anf(n)(n N*) ，则数列 an的前 n 项和 Sn的取值范围是（）A12，2) B12，2 C12，1) D12， 1 13等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a4a2
21、8，a3a526，记 TnSnn2，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn M 都成立则 M 的最小值是 _14无穷等比数列an 中， a11，|q| 1，且除 a1外其余各项之和不大于a1的一半，则q 的取值范围是 _. 15已知 x0，y0，x，a，b，y 成等差数列， x，c，d，y 成等比数列，则(ab)2cd的最小值是 _. 0 1 2 4 16等差数列 an 的公差 d 不为零， Sn是其前 n 项和，给出下列四个命题：A若 d0，且 S3S8，则 Sn 中，S5和 S6都是Sn中的最大项；给定n，对于一定 kN*(k n)，都有 an kan+k2an；若 d0，则 Sn 中
22、一定有最小的项；存在kN*，使 akak+1和 akak 1同号其中真命题的序号是_. 17已知 an 是一个等差数列，且a21，a5 5 （）求 an的通项na； （）求 an 前 n 项和 Sn的最大值18已知 an 是正数组成的数列，a11，且点 (an，an+1)(nN* ）在函数 yx21 的图象上 .()求数列 an的通项公式； ()若列数 bn满足 b11,bn+1bn2an，求证： bn bn+2b2n+1. 19设数列 an的首项 a1(0，1)，an3an 12，n2，3，4，.（）求 an 的通项公式；（）设 bnan32an，证明 bnbn+1，其中 n 为正整数20已
23、知数列 an 中 a12，an+1(21)( an2)，n1，2，3，.（）求 an 的通项公式；（）若数列 an 中 b12，bn+13bn42bn3，n1，2，3，. 证明：2bna4n 3，n1，2，3，21已知二次函数yf(x) 的图像经过坐标原点，其导函数为f (x)6x2，数列 an 的前 n 项和为 Sn，点 (n，Sn)(nN*) 均在函数 yf(x)的图像上 .（）求数列 an 的通项公式；（）设 bn1anan1，Tn是数列 bn 的前 n 项和，求使得Tnm20对所有 nN*都成立的最小正整数m 22数列na满足11a，21()nnanna（12n， ，） ，是常数 （）
24、当21a时，求及3a的值； （）数列na是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（）求的取值范围，使得存在正整数m，当nm时总有0na利用导数处理与不等式有关的问题一、利用导数证明不等式（一） 、利用导数得出函数单调性来证明不等式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 某个区间上导数大于（或小于）0 时，则该单调递增（或递减） 。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明
25、该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。1、 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小） ，来证明不等式成立。例 1：x0 时,求证； x2x2ln(1+x) 0 2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。例 2：已知： a,bR,bae, 求证:abb a, (e 为自然对数的底 ) （二） 、利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数
26、取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。例 3、求证： nN*,n3 时， 2n 2n+1 例 4、xb22g(x)(1)(1)Aax的定义域是A=a,b)，其中 a,bR+,af(x) ( 或 mf(x) 恒成立，于是m 大于 f(x)的最大值（或m 小于 f(x) 的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。例 6、已知函数a9f (x)(x)(aR)x,对 f(x)定义域内任意的x 的值， f(x)27 恒成立，求 a 的取值范围例 7、已知 a0，n 为正整数，（）设 y=nax)(，证明1)(naxny；（）设 fn(x)=xnnax)(，对任意 na，证明 f n+1 (n+1) （ n+1）f n（n） 。三、利用导数解不等式例 8：函数 f(x)=2x1ax(a0),解不等式 f(x)1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -