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1、高中奥林匹克物理竞赛解题方法四、等效法方法简介在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中， 若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的， 它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法. 等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解. 赛题精讲例 1：如图 41 所示，水平面
2、上，有两个竖直的光滑墙壁 A 和 B，相距为 d，一个小球以初速度v0从两墙之间的 O 点斜向上抛出，与A 和 B 各发生一次弹性碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角. 解析 ：将弹性小球在两墙之间的反弹运动，可等效为一个完整的斜抛运动（见图）.所以可用解斜抛运动的方法求解 . 由题意得：gvvtvdsin2coscos2000可解得抛射角202arcsin21vgd例 2：质点由 A 向 B 做直线运动， A、B 间的距离为L，已知质点在A 点的速度为v0，加速度为 a，如果将L 分成相等的n 段，质点每通过L/n 的距离加速度均增加a/n，求质点到达B 时的速度 . 解析从 A 到 B
3、的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线运动， 而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解. 因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为nannaannanaaaaa2)13(232)1(2末初平由匀变速运动的导出公式得2022vvLaB平解得naLnvvB)13(20名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 例 3 一只老
4、鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s 成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m 的 A 点时，速度大小为scmv/201，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m 的 B 点时，其速度大小?2v老鼠从 A 点到达 B 点所用的时间t=？解析我们知道当汽车以恒定功率行驶时，其速度v 与牵引力F 成反比，即，v=P/F，由此可把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动. 由此分析，可写出kxPFPv当11,vvsx时将其代入上式求解，得2211svPsvPk所以老鼠到达B 点时的速度scmvssv/1020211212再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增
5、加，21222121ksksPt代入有关量可得)(21212211sssvPPt由此可解得svssst5.72.012122)(22112122此题也可以用图像法、类比法求解. 例 4 如图 42 所示，半径为r 的铅球内有一半径为2r的球形空腔，其表面与球面相切，铅球的质量为M.在铅球和空腔的中心连线上， 距离铅球中心L 处有一质量为m 的小球（可以看成质点） ，求铅球对小球的引力 . 解析因为铅球内部有一空腔，不能把它等效成位于球心的质点. 我们设想在铅球的空腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球M，然后在对于小球m 对称的另一侧位置放另一个相同的小铅球M，这样加入的两个小铅球对小球m 的引力
6、可以抵消，就这样将空腔铅球变成实心铅球，而结果是等效的. 带空腔的铅球对m 的引力等效于实心铅球与另一侧M 对 m 的引力之和 . 设空腔铅球对 m 的引力为F，实心铅球与M 对 m 的引力分别为F1、F2. 则F=F1F2 经计算可知：MM71，所以22178)(LGmMLMMmGF图 42 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 222)2(7)2(rLGmMrLMmGF将、代入式，解得空腔铅球对小球的引力为)2(
7、71782221rLLGmMFFF例 5 如图 4-3 所示，小球长为L 的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的54，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程. 解析小球与挡板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，说明碰撞过程中损失能量，每次反弹距离都不及上次大，小球一步一步接近挡板，最终停在挡板处. 我们可以分别计算每次碰 撞 垢 上 升 的 距 离L1、 L2、 、 Ln， 则 小 球 总 共 通 过 的 路 程 为LLLLsn)(221， 然后用等比数列求和公式求出结果，但是这种解法很麻烦. 我们假设小球与挡板碰撞
8、不损失能量，其原来损失的能量看做小球运动过程中克服阻力做功而消耗掉， 最终结果是相同的，而阻力在整个运动过程中都有，就可以利用摩擦力做功求出路程 . 设第一次碰撞前后小球的速度分别为v、1v，碰撞后反弹的距离为L1，则sin21sin211212mgLmvmgLmv其中222111)54(,54vvLLvv所以碰撞中损失的动能为)25161(2121212212mvmvmvEk根据等效性有kELLf)(1解得等效摩擦力sin419mgf通过这个结果可以看出等效摩擦力与下滑的长度无关，所以在以后的运动过程中，等效摩擦力都相同. 以整个运动为研究过程，有sinmgLsf解出小球总共通过的总路程为.
9、941Ls此题也可以通过递推法求解，读者可试试. 例 6 如图 44 所示，用两根等长的轻质细线悬挂一个小球，设 L 和已知，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为. 解析此题是一个双线摆，而我们知道单摆的周期，若将又线摆摆长等效为单摆摆长，则双线摆的周期就可以求出来了. 将双线摆摆长等效为单摆摆长sinLL，则此双线摆的周期为glgLT/sin2/2例 8 如图 45 所示，由一根长为L 的刚性轻杆和杆端的小球组成的单摆做振幅很小图 43 图 44 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
10、- - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 的自由振动 . 如果杆上的中点固定另一个相同的小球，使单摆变成一个异形复摆，求该复摆的振动周期 . 解析复摆这一物理模型属于大学普通物理学的内容，中学阶段限于知识的局限，不能直接求解 . 如能进行等效操作，将其转化成中学生熟悉的单摆模型，则求解周期将变得简捷易行 . 设想有一摆长为L0的辅助单摆，与原复摆等周期，两摆分别从摆角处从静止开始摆动，摆动到与竖直方向夹角为时，具有相同的角速度，对两摆分别应用机械能守恒定律，于是得22)2(21)(21)cos(cos21)cos(coslmlmmgmgl对单摆，得200)(21
11、)cos(coslmmgl联立两式求解，得ll650故原复摆的周期为.65220glglT例 9 粗细均匀的U 形管内装有某种液体，开始静止在水平面上，如图46 所示，已知： L=10cm ，当此 U 形管以 4m/s2的加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差.（g=10m/s2）解析当 U 形管向右加速运动时，可把液体当做放在等效重力场中，g的方向是等效重力场的竖直方向，这时两边的液面应与等效重力场的水平方向平行，即与g方向垂直 . 设g的方向与 g 的方向之间夹角为，则4 .0tanga由图 46 可知液面与水平方向的夹角为，所以，.04.044.010tanmcmLh例 10 光
12、滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为mg33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v. 解析小球同时受到重力和电场力作用，这时也可以认为小球处在等效重力场中. 小球受到的等效重力为mgmgmgG332)33()(22等效重力加速度gmGg332图 46 图 47 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页
13、 - - - - - - - - - 与竖直方向的夹角30， 如图 47 甲所示 .所以 B 点为等效重力场中轨道的最高点，如图 47，由题意，小球刚好能做完整的圆周运动，小球运动到B 点时的速度RgvB在等效重力场中应用机械能守恒定律22021)cos(21BmvRRgmmv将g、Bv分别代入上式，解得给小球的初速度为gRv)13(20例 11 空间某一体积为V 的区域内的平均电场强度（E）的定义为niiniiinnnVVEVVVVEVEVEE11212211如图 48 所示，今有一半径为a 原来不带电的金属球，现使它处于电量为q 的点电荷的电场中，点电荷位于金属球外，与球心的距离为R，试计
14、算金属球表面的感应电荷所产生的电场在此球内的平均电场强度. 解析金属球表面的感应电荷产生的球内电场，由静电平衡知识可知等于电量为q 的点电荷在金属球内产生的电场，其大小相等， 方向相反， 因此求金属球表面的感应电荷产生的电场，相当于求点电荷q 在金属球内产生的电场. 由平均电场强度公式得niniiiiniiiiniiniiiVVrkqVVEVEVVVEE1121111设金属球均匀带电，带电量为q，其密度为Vq，则有niniiiiirqkrVkE11221niiirqk12为带电球体在q 所在点产生的场强，因而有2RkqE，方向从O 指向 q. 例 11 质量为 m 的小球带电量为Q，在场强为
15、E 的水平匀强电场中获得竖直向上的初速度为0v. 若忽略空气阻力和重力加速度g 随高度的变化， 求小球在运动过程中的最小速度. 图 47 甲图 48 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 解析若把电场力Eq和重力 mg 合成一个力，则小球相当于只受一个力的作用，由于小球运动的初速度与其所受的合外力之间成一钝角，因此可以把小球的运动看成在等效重力G（即为合外力） 作用下的斜抛运动，而做斜抛运动的物体在其速度方向与G垂直
16、时的速度为最小，也就是斜抛运动的最高点，由此可见用这种等效法可以较快求得结果. 电场力和重力的合力方向如图49所示，由图所示的几何关系可知Eqmgtan小球从 O 点抛出时， 在 y 方向上做匀减速直线运动，在 x 轴方向上做匀速直线运动. 当在 y 轴方向上的速度为零时，小球只具有x 轴方向上的速度，此时小球的速度为最小值，所以2200min)()(cosEqmgEqvvv此题也可以用矢量三角形求极值的方法求解，读者可自行解决. 例 12 如图 410 所示， R1、R2、R3为定值电阻，但阻值未知， Rx为电阻箱 .当 Rx为101xR时，通过它的电流18;121xxxRRAI为当时，通过
17、它的电流.6. 02AIx则当AIx1. 03时，求电阻.3xR解析电源电动势、内电阻r、电阻 R1、R2、R3均未知，按题目给的电路模型列式求解，显然方程数少于未知量数，于是可采取变换电路结构的方法. 将图 410 所示的虚线框内电路看成新的电源，则等效电路如图 410 甲所示，电源的电动势为，内电阻为r. 根据电学知识，新电路不改变Rx和 Ix的对应关系，有),(11rRIxx),(22rRIxx)(33rRIxx由、两式，得2,12rV，代入式，可得1183xR例 13 如图 411 所示的甲、乙两个电阻电路具有这样的特性：对于任意阻值的RAB、图 49 图 410 图 410 甲名师资
18、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - RBC和 RCA，相应的电阻Ra、Rb和 Rc可确定 . 因此在对应点A 和 a，B 和 b、C 和 c 的电位是相同的，并且，流入对应点（例如A 和 a）的电流也相同，利用这些条件证明：CABCABCAABaRRRRRR，并证明对Rb和 Rc也有类似的结果，利用上面的结果求图411 甲中 P和 Q 两点之间的电阻. 解析图 411 中甲、乙两种电路的接法分别叫三角形接法和星形接法，只
19、有这两种电路任意两对应点之间的总电阻部分都相等，两个电路可以互相等效，对应点A、a、B、b 和C、c 将具有相同的电势. 由 Rab=RAB，Rac=RAC，Rbc=RBC，对 ab 间，有CABCABBCABCAABBCACABbaRRRRRRRRRRRR1)11(同样， ac 间和 bc 间，也有CABCABCABCCAABBCABCAcaRRRRRRRRRRRR1)11(CABCABCABCBCABCAABBCcbRRRRRRRRRRRR1)11(将 +得：CABCABCAABaRRRRRR再通过和+，并整理，就得到Rb和 RC的表达式 . CABCABACBCcCABCABBCABbR
20、RRRRRRRRRRR下面利用以上结果求图412 乙中 P 和 Q 两点之间的电阻. 用星形接法代替三角形接法，可得图412 乙所示电路， PRQS 回路是一个平衡的惠斯登电桥，所以在RS 之间无电流，因此它与图412 丙所示电路是等效的. 因此 PQ 之间的总电阻RPQ可通过这三个并联电阻求和得到 . 图 411 412 甲412 乙412 丙名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4)61181361(1PQR例
21、14 如图 413 所示，放在磁感应强度B=0.6T 的匀强磁场中的长方形金属线框abcd，框平面与磁感应强度方向垂直，其中ab 和 bc 各是一段粗细均匀的电阻丝Rab=5，Rbc=3， 线框其余部分电阻忽略不计.现让导体 EF 搁置在 ab、 cd 边上，其有效长度L=0.5m ，且与 ab 垂直，阻值REF=1，并使其从金属框ad 端以恒定的速度V=10m/s 向右滑动，当EF 滑过 ab 长的 4/5 距离时，问流过aE 端的电流多大？解析EF 向右运动时，产生感应电动势，当 EF 滑过 ab 长的54时，电路图可等效为如图 413 甲所示的电路 . 根据题设可以求出EF 产生的感应电
22、动势，VBLV3)105.06 .0(3,1,4bcEbaERRR此时电源内阻为导体EF 的电阻，1EFRr，则电路中的总电阻为3)()(bcEbaEbcEbaERRRRRRrR电路中的总电流为.1ARI通过 aE 的电流为AIaE5.0例 15 有一薄平凹透镜，凹面半径为0.5m，玻璃的折射率为 1.5，且在平面上镀一层反射层，如图414 所示，在此系统的左侧主轴上放一物S，S 距系统 1.5m，问 S成像于何处？解析本题可等效为物点S先经薄平凹透镜成像，其像为平面镜的物，平面镜对物成像又为薄平凹透镜成像的物，根据成像规律，逐次求出最终像的位置. 根据以上分析，首先考虑物S 经平凹透镜的成像
23、S，根据公式11111fPP其中)( 1)15.01)(15.1()11)(1(1121mRRnf图 413 图 413 甲图 414 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 故有mPP6. 015 .11111成像在左侧，为虚像，该虚像再经平凹透镜成像S后，其像距为mPPP6.0122成像在右侧，为虚像，该虚像再经平凹透镜成像S，有)( 11,6. 0,11112333mfmPPfPP其中故mPP375.016.01
24、133成虚像于系统右侧0.375m 处此题还可用假设法求解. 针对训练1半径为 R 的金属球与大地相连，距球心L 处有一带电量为 +q 的点电荷如图415 所示 . 求（1）球上感应电荷的总电量；（2）q受到的库仑力 . 2如图416所示，设99,40,10,5,80,40654321RRRRRR20,10187RR，求 AB 之间的电阻 . 3电路如图 417 所示，35431RRRR时，12R，求 AB 间的等效电阻. 4有 9 个电阻联成如图418 电路，图中数字的单位是，求 PQ 两点间的等效电阻. 图 415 图 416 图 417 图 418 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下
25、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 5如图 419 所示电路，求AB 两点间的等效电阻. 6如图 420 所示，由 5 个电阻联成的网络，试求AB 两点间的等效电阻. 7由 7 个阻值均为r 的电阻组成的网络元如图421 甲所示 .由这种网络元彼此连接形成的无限梯形网络如图421 乙所示 .试求 P、Q 两点之间的等效电阻. 8图 4 22 表示一交流电的电流随时间而变化的图像，此交流电流有效值是（）AA25BA5CA25 .3DA5 .39磁流体发电
26、机的示意图如图423 所示，横截面为距形的管道长为L，宽为a，高为 b，上下两个侧面是绝缘体，相距为a 的两个侧面是电阻可忽略的导体，此两导体侧面与负载电阻 RL相连 .整个管道放在一个匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向垂直于上下侧面向上 . 现有电离气体（正、负带电粒子）持续稳定的流经管道，为了使问题简化，设横截面上各点流速相同. 已知流速与电离气体所受的压力成正比；且无论有无磁场存在时，都维持管道两端电离气体的压强差皆为p. 设无磁场存在时电离气体的流速为0v. 求有磁场存在时流体发电机的电动势的大小. 已知电离气体的平均电阻率为. 图 419 图 420 图 421 甲图 421 乙
27、图 422 图 423 图 424 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 10一匀质细导线圆环，总电阻为R，半径为 a，圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁场，磁场以速率K 均匀地随时间增强，环上的A、D、C 三点位置对称 . 电流计 G 连接 A、C 两点，如图424 所示，若电流计内阻为RG，求通过电流计的电流大小. 11固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd，各边长为L1，其中 ab 是一端电阻为R 的均匀电阻丝
28、，其余三边均为电阻可忽略的铜线，磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，现有一与 ab 段的材料、粗细、长度都相同的电阻丝PQ 架在导线框上，如图 425 所示，以恒定的速度v从 ad 滑向 bc，当 PQ 滑过 1/3L 的距离时，通过aP段电阻丝的电流是多大？方向如何？12如图426 所示，一根长的薄导体平板沿x 轴放置，板面位于水平位置，板的宽度为 L，电阻可忽略不计，aebcfd 是圆弧形均匀导线，其电阻为3R，圆弧所在的平面与x轴垂直， 圆弧的两端 a 和 d与导体板的两个侧面相接解，并可在其上滑动. 圆弧 ae=eb=cf=fd= （1/8）圆周长，圆弧bc=（1/4）圆周长，一内
29、阻Rg=nR 的体积很小的电压表位于圆弧的圆心O 处，电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与b 和 c 点相连，整个装置处在磁感应强度为 B、方向竖直向上的匀强磁场中. 当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定的速度v沿 x 轴方向平移运动时（1）求电压表的读数；（2）求 e 点与 f 点的电势差（ UeRf）. 13如图 427 所示，长为2a、电阻为 r 的均匀细导线首尾相接形成一个半径为a 的圆.现将电阻为R 的电压表，以及电阻可以忽略的导线，按图a 和图 b 所示的方式分别与圆的两点相连接. 这两点之间的弧线所对圆心角为 .若在垂直圆平面的方向上有均匀变化的匀强磁场，已知磁感应强度的
30、变化率为k，试问在图a、b 两种情形中，电压表的读数各为多少？14一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f 处，垂直于主轴主置一高为 H 的物，其下端位于透镜的主轴上如图428 所示 . （1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实；图 425 图 426 图 427 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - （2）用计算法求出此像的位置和大小. 15如图 429 所示，折射率n=1.
31、5 的全反射棱镜上方6cm 处放置一物体AB ，棱镜直角边长为6cm，棱镜右侧10cm 处放置一焦距f1=10cm 的凸透镜，透镜右侧15cm 处再放置一焦距 f2=10cm 的凹透镜，求该光学系统成像的位置和放大率. 图 28 图 29 答案：12222)(,RLqKRLqLR2111203374455.064.17 1.32r 8C 9LbRaBLaBvpp1010RqRKaG23211RvBL1161a 向 P 12 （1）RnRBavnR232（2）Bavnn)223122(130,2224)2(sin2Rrka14 （1）图略（2）距光心Hf31,3215凹透镜的右侧10cm 处，放大率为2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -