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1、用心爱心专心高一数学均值不等式教人实验版（B）【本讲教育信息 】一、教学内容：均值不等式二、学习目标1. 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，并会简单运用；2. 利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等” . 三、知识要点1、算术平均数：如果Rba,，那么2ba叫做这两个正数的算术平均数。2、几何平均数：如果Rba,，那么ab叫做这两个正数的几何平均数。3、定理：如果Rba,，那么abba222（当且仅当a=b 时取“ =”号）4、均值定理：如果Rba,，那么abba2（当且仅当a=b 时取“ =”号）5、基本不等式：若Rba,，则baabbaba1122222当且仅当
2、a=b 时取“ =”号【典型例题】例 1、若2lg,lglg21,lglg, 1baRbaQbaPba，试比较P，Q ，R 的大小。解：0lglg, 1babababalglglglg21，即 QP又baabbaabbalglg21lg2lg,2，QR即PQR例 2、已知Rba,且 a+b=1 求证：91111ba证一：91441baab24ba2ab21bba1aba1b11a1证二：因为Rba,且 a+b=1，所以abba2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页
3、，共 6 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心21ab981ab41abab41abba21ab1baabab1b1a1b11a1例 3、已知 a，b 为实常数，求函数22bxaxy的最小值。解：2222222baxbaxbxaxy22222,22222minbababababaybax时另解：2ba2xbax2xbaxbxaxy222222当且仅当 x-a=b-x ，即2bax时，22minbay例 4、 （1）设340 x，求)34(xxy的最大值。（2）已知45x，求函数54124xxy的最大值。解： （1）340 x034x)34(xxy34)2343(31)34(33
4、12xxxx当xx343即32x时，34maxy（2）045,45xx13234514554124xxxxy当且仅当xx45145，即 x=1 时“ =”成立当 x=1 时1maxy例 5、已知zyx,为正数，若191yx，求yx2的最小值；（2）若2zyx，求证：29111zyx。解： （1）191yx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心26199221992181)91)(2(2yxxyyxxyyxy
5、xyx当且仅当yxxy92时，上式取等号，所以yx2的最小值为2619（2）)(111(21111zyxzyxzyx29)2223(21)zxxz()yzzy()yxxy(321当且仅当32zyx时，上式取等号例 6、某客运公司买了每辆a2万元的大客车投入运营，根据调查得知，每辆客车每年客运收入约为a万元，且每辆客车第n年的油料费、 维修费及其他各种管理费用总和)(nP（万元）与年数n成正比，又知第3 年每辆客车的上述费用是该年客运收入的48% 。（1）写出每辆客车运营的总利润y（万元）与n 的函数表达式；（2）每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？解： （1）根据第 n 年的各种费用
6、总和P（n）与年数 n 成正比，设 P（n）=kn，k 为常数 第 3 年费用是该年客运收入的48% ，则ka348.0ak16. 0，得annP16.0)(运营的总利润aanananaany292.008. 02)21(16.02，*Nn（2）运营的年平均利润为anaananaanny92. 0208.0292. 0208.0aaa12.092.08.0当且仅当naan208.0时成立，*Nn，即5n时取等号 运营 5 年可使其运营的年平均利润最大且最大值为a12. 0本讲涉及的主要数学思想方法1、注意均值定理的应用条件，在解决问题的过程中注重分类讨论的使用。2、于实际问题中，要建立好数学模
7、型，注重等价转化思想的运用，在实际问题中注意各个量的取值范围。【模拟试题】（答题时间： 40 分钟）一、选择题1、设,0yx则下列各式中正确的是（）A. yxy2yxx B. xxyyxy2C. xyyyxx2D. xxyyxy2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心2、下列不等式的证明过程正确的是（）A. 若,Rba则22baabbaabB. 若Ryx,，则yxyxlglg2lglgC. 若,Rx则442
8、4xxxxD. 若,Rx则222222xxxx3、设实数ba,满足,0ba且, 1ba则下列四数中最大的是（）A. 22baB. ab2 C. aD. 1/ 2*4 、已知,22,xycyxRyx那么c的最大值为（）A. 1B. 1/ 2 C. 2 /2 D. 1/ 4*5 、设ba,为实数且, 3ba则ba22的最小值是（）A. 6 B. 24 C. 22 D. 626、 设Rba,， 则在2)1 (baab； （2）baba211（3）abba222； （4）babaab22这四个不等式中，不正确的有（）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个二、填空题*7 、若x，Ry且1222
9、yx，则21yx的最大值为。8、函数xxysin21sin（x0）的最小值为。*9 、设0 x，0y且4xy，则yxxy取最小值时，x的值是。三、解答题*10 、已知 a， b，c 为不等的正数，且abc=1，求证：cbacba11111、求4522xxy的最小值。12、某食品厂定期购买面粉。已知该厂每天需用面粉6t ，每吨面粉的价格为1800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3 元，购面粉每次需支付运费900 元。（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210t 时，其价格可享受9 折优惠（即原价的90% ） ，
10、问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心试题答案1、A 2 、 D 3 、A 4 、 B 5 、B 6 、B 7 、423 8 、2 9 、2 10、证明： a ，b，c 为不等的正数，且abc=1 cbacabbcaabcbabccabacabcabacbccba222222111所以cbacba11111、解：41422xxy设42xt（2t）tty1 当2t时，
11、即0 x时，25212miny12、解： （ 1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为xt6由题意知，面粉的保管等其他费用为)1(9 1626)1(663xxxx设平均每天所支付的总费用为1y元，则18006900)1(911xxxy109891080999002108099900 xxxx当且仅当xx9009，即10 x时取等号，即该厂应每隔10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少。（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35 天购买一次面粉设该厂利用此优惠条件后，每隔)35(xx天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为2y元，则90.018006900) 1(912xxxy)
12、35(97299900 xxx令)35(100)(xxxxf，3512xx，则212112221121)100)()100()100()()(xxxxxxxxxxxfxf3512xx0100,0, 0212112xxxxxx)()(,0)()(2121xfxfxfxf即xxxf100)(，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心当35x时为增函数 当 x=35 时，)(xf有最小值，此时109892y， 该厂应接受此优惠条件。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -