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1、株洲市 2018 届高三年级教学质量统一检测（二）文科数学第卷（共 60分）一、选择题：本大题共12个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合A = ?|?2- 2?-3 1是? 2成立的充分不必要条件；C.?:? +9?的最小值是6；?：直线?; 3?+ 4?+ 6 = 0被圆(?- 3)2+ ?2= 25截得的弦长为3；Dp:抛物线?2= 8?的焦点坐标是(2,0); ?:过椭圆?24+?23= 1的左焦点的最短的弦长是 3 6.?ABC，中，? = 4,? = 6, ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 12, 在
2、线段?上任取一点?，则?的面积小于4 3的概率是 ( ) A12 B13 C.23 D357. 设函数? (? ) = ? sin ?+ cos ?的图象在点?, ?(?)处切线的斜率为?(?)，则函数?= ?(?)的图象一部分可以是( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - A BC.D8. 九章算术中盈不足章中有这样一则故事：“ 今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十二
3、里；驽马初日行九十七里，日减二里”为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图. 若输出的? 的值为 360 ，则判断框中可以填( ) A? 6? B? 7? C.? 8? D? 9?9. 已知函数? (? ) = 2 sin (? + ? ) + 1 (? 0, |? | ?2), 其图象与直线?= -1相邻两个交点的距离为,若?(?) 1对?(-?12,?3)恒成立，则的取值范围是 ( ) A(?6，?3) B?12,?3 C. ?12,?2 D?6,?310. 已知某空间几何体的三视图如图所示，左视图是正方形，则该几何体的体积是( ) A56+12 B1 +12 C. 56+4
4、D23+12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 11. 已知双曲线C:?2?2-?2?2= 1的右焦点为F，其中一条渐近线与圆(? -? )2+ ?2= ?2(?2= ?2+ ?2,? 0)交于?,?两点，?为锐角三角形，则双曲线?的离心率的取值范围是( ) A( 62,+) B( 2, +) C.(1, 2) D( 62, 2)12. 已知f(? ) = ?2,?0?,? 0，若?(?) 2= ?恰有两个根?1,
5、?2, 则?1+ ?2的取值范围是 ( ) A(-1, + ) B(-,2 ln 2 -2) C. (-1,2ln 2 -2) D(- ,2 -2 ln 2第卷（共 90 分）二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数? (? ) = log2? , ? 03?,?0，则? (12)的值为14. 设变量?, ?满足约束条件?+ ? 2?-? 0?-1，则目标函数? = 2?+ ?的最大值为15. 已知点?,?,?,?在同一个球的球面上，? = ? = 2, ? = 2，若四面体?的体积为2 33，球心?恰好在棱?上，则这个球的表面积为16. 已知数列?的前?项
6、和为?,?1= 1，且满足?+1= 2?，数列?满足?1= 15, ?+1- ?= 2?，则数列?中第项最小三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 已知?中，角?, ?,?所对的边分别是?, ?, ?, 且?sin? + ?sin? - ?sin? = 2?sin?. (1) 求角?的大小；(2) 设向量? = (cos ?,cos 2? ),? ?= (12, -5)，边长?= 4，当? ? ?取最大值时，求?边的长 . 18. 在党的第十九次全国代表大会上，习近平总书记指出：“ 房子是用来住的，不是用来炒的” 为了使房价回归到收入可
7、支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区 50 户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元，）的户数频率分布直方图如下图：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 其中，赞成限购的户数如下表：人平均月收入1,3)3,5)5,7)7,9)9,11)11,13)赞成户数4 9 12 6 3
8、1 (1) 求人平均月收入在1,3)的户数，若从他们中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；(2) 求所抽取的 50 户的人平均月收入的平均数；(3) 若将小区人平均月收入不低于7 千元的住户称为“ 高收入户 ” ，人平均月收入低于7 千元的住户称为“ 非高收入户 ” 根据已知条件完成如图所给的2 2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “ 收入的高低 ” 与“ 赞成楼市限购令” 有关 . 非高收入户高收入户总计赞成不赞成总计附：临界值表P(?2? )0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ?2.072 2.706
9、3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：?2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?),?= ?+ ?+ ? + ?. 19. 如图，在四棱锥?-? ?中，底面?为梯形，AB/CD, CD = 2AB, PA = PD = 2, APD= 90，且? 平面?. (1) 证明：平面?平面?；(2) 当直线?与平面?所成角为30 时，求四棱锥?-?的表面积 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - -
10、- - - - - - 20. 已知椭圆C:?2?2+?2?2= 1(? ? 0)过点( 3,12)，两个焦点为?1,?2，椭圆的离心率为 32，?为坐标原点 . (1) 求椭圆? 的方程；(2) 过左焦点?1作直线 ? 交椭圆于 ? 、?两点（异于左右顶点），求?PQF2的内切圆半径的最大值21. 已知函数? (? ) =? ln ?+?(? 2且?0)，函数? (? )在点(1, ?(1)处的切线过点(3,0). (1) 求?, ?满足的关系式，并讨论函数?(?)的单调区间；(2) 已知? (? ) = ?+2?-?-2，若函数? (? ) = ? (? ) + ?(?)在(0,2上有且只
11、有一个零点，求实数? 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系?中，曲线?的参数方程为：?= 2 cos ?= sin ?, 以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系 . (1) 若把曲线?上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2 倍，得到曲线?1，求?1的极坐标方程；(2) 直线?的极坐标方程是sin (?+?3) = 3, 与曲线?1交于?、?两点，求三角形?的面积 . 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数? (? ) = |?- 2? | + |?+ ?|(? 0)(1) 当?
12、= 1时，求该函数的最小值；(2) 解不等式：? (? ) 5?. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 数学（文科）答案及评分标准一、选择题1-5:BACDB 6-10: CACDA 11、12：DB 二、填空题13. 13 14.5 15. 16 16.4 三、解答题17. 解：（ 1）由题意，sinsinsin2 sinaAcCbBaC2222acbac22222cos222acbacBacac所以.4B（2）
13、因 为234312cos5cos210(cos)55m nAAAv v，所以当3cos =5A时，v vm n取最大值，此时，4sin =.5A由正弦定理得，sin5 2sin2BbaA18. 解：（ 1）由直方图知：第一组对应频率/ 组距值为0.05 ，月收入在1,3的住户有5 户，赞成楼市限购令的有4 户，从中随机抽取两户，共10 种选法，所抽取的两户都赞成楼市限购令的共6 种，故所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 1
14、1 页 - - - - - - - - - 63105P（2）所以所调查的50 户的人平月收入的平均数为：(20.0540.160.1580.12100.06120.02)26.4x千元（3）2250(25 105 10)4006.356.63535 15302063K所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为 “ 收入的高低 ” 与“ 赞成楼市限购令” 有关. 19解：（ 1）证明：因为090APD，所以APPD，因为AB平面,PAD PA平面PCD, 所以ABPA, 因为/ /ABCD，所以PACD. 因为CDPDDI，所以AP平面PCD，又AP平面PAB，所以平面PAB平面PCD.
15、 （2）如图，取CD的中点M，连接,PMAM，因为2,/ /CDAB ABCD，所以四边形ABCM为平行四边形，/ /AMBC，由（ 1）得：PAPCD面则AMP为直线,AMPCDBCPCD与面的夹角 即与面的夹角即030AMP，又2PA，所以4AM，4BC而22222 2AD，所以224(2 2)2 2DM，所以42,2 2CDAB，非高收入户高收入户总计赞成25 10 35 不赞成5 10 15 总计30 20 50 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 1
16、1 页 - - - - - - - - - 2 3,6PBPC3616125cos2466PCB,11sin6PCB111462 1126PCBS-10分所以：四棱锥PABCD的表面积为：(224 2)2 222 24 22 11146 22 11220. 解：（ 1）32caQ，12ba，2ab，又因为椭圆过点1( 3,)2，所以22311,1,24babb所以椭圆C的方程为2214xy（2）设内切圆半径为?，则22211()42422PF QSPQPFQFrararr当2PF QS最大时，?最大。设1122(,),(,),PQ: xmy3,P xyQ xy代入2214xy得：22(4)2
17、310mymy1212222 31,44myyyymmABDCPM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 22121212222222222 31()4444124(4)41(4)4myyyyy ymmmmmmm令2t11,m则1224442 33332 3tyyttt当且仅当t31,m2时取得最大值。212121212121211SSS2 3222 33323PQFQF FPF FF Fyyyyyy当且仅当m2时取得
18、最大值。max1r221. 解：（ 1），?(1) = ?，= ab，切线方程为：?= (?)(?1)，切线过点（3，0），?= 2?， 当a （0，2时，单调递增，单调递减， 当a （ ，0）时，单调递减，单调递增（2）等价方程在（0，2只有一个根，即?2（ a+ 2）x + alnx + 2a + 2 = 0在（0，2只有一个根，令h（x） = x2（ a + 2）x + alnx + 2a + 2，等价函数h（x）在（0，2与?轴只有唯一的交点，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
19、- - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 当?0时，?(?)在?(0，1)递减，x （1，2的递增，当? 0时，h（x） +，要函数?(?)在（0，2与?轴只有唯一的交点，h（1） = 0或h（2） 0，?=1或. 当a （0，2）时，h（x）在递增，的递减，x （1，2递增，当x 0时，h（x） ，h（x）在与?轴只有唯一的交点， 当?= 2，h（x）在x （0，2的递增，h（e-4） = e-84e-420，h（2） = 2 + ln2 0，h（x）在x （0， 2与?轴只有唯一的交点，故?的取值范围是?=1或或0? 222. 解：（ 1）设曲线?上任意一点
20、P（x，y）经过坐标变化后得到(,)Pxy，依题意：2xxyy所以：2cos2sinxy故曲线C1的标准方程为224xy，极坐标方程为：2（2）（法一）直线?与曲线C1的交点为?、?，则?、?的极坐标满足方程组：2sin()33解之得：?(2，0)、B（2，），122sin323AOBS（法二）直线?与曲线C1的交点为A、B，则?、?的直角坐标满足方程组：22432 3xyxy联立方程可得:A（ 1，）、 B（2，0）, 所以|2AB，AB边上的高为3，12332AOBS23. 解：（ 1）当1a时，31212)(xxxxxf当12x时，取等号，此时该函数的最小值为3名师资料总结 - - -精
21、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - （2）axf5)(，即：5aax2a-x（1）当0a时，Rx（2）当0a时， 当ax，不等式可化为：5aa-x-x-2a，则-2ax 当2axa-，不等式可化为：5aaxx-2a，无解 当2ax，不等式可化为：5aax2a-x，则3ax3ax-2ax或综上可知，不等式的解集为：当0a时，Rx；当0a时，3ax-2ax |x或名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -