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1、圆的参数方程圆的参数方程(1) 圆的标准方程圆的标准方程;(2) 圆的一般方程圆的一般方程;(3)圆的参数方程圆的参数方程.点点P的位置与旋转角的位置与旋转角有有密切的关系。密切的关系。OPyx圆的方程圆的方程222()()xaybr220 xyDxEyF设点设点P的坐标是（的坐标是（x,y） sincosryrx即即 点在圆点在圆O上从点上从点P0开始按开始按逆时针方向运动到达点逆时针方向运动到达点P， OPP0.0PxO轴的正半轴的交点是轴的正半轴的交点是与与圆圆。r，的的圆圆的的参参数数方方程程半半径径为为求求圆圆心心在在原原点点圆的参数方程圆的参数方程p0rxyoP(x,y) 则把该方
2、程组叫做圆心为原点、半径为则把该方程组叫做圆心为原点、半径为r的的圆的参数方程，圆的参数方程，是参数是参数,也叫旋转角。也叫旋转角。2 , 0O1(a,b)oxyrsinrycosrxsinrbycosrax圆的参数方程圆的参数方程p0rxyoP(x,y)222xyr222()()xaybr2 , 01.圆心在原点圆心在原点,半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程: 为参数）(sincosryrx2.圆心为圆心为(a,b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程: 为参数）(sincosrbyrax圆的参数方程圆的参数方程2 , 0 x =2cosy =2sin 圆圆x2+y2=4的参
3、数方程为的参数方程为xMPAyO解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),可设点可设点P坐标为坐标为(2cos,2sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(3,0)为圆心、为圆心、1为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x =3+cosy =sin例例1. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=4上的一个动点上的一个动点, 点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(6,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例例2 2、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-
4、6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)练习：练习： 1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是sin5cos5yx(0 2 ) 5 5 32,22QQ如果圆上点 所对应的坐标是则点 对应的参数 等于如果圆上点如果圆上点P所对应的参数所对应的参数 ，则点，则点P的坐标是的坐标是 35235,25322cos2.()2sin.,2.,2.xyABCD 选
5、择题：参数方程为参数 表示的曲线是圆心在原点 半径为 的圆圆心不在原点 但半径为 的圆不是圆以上都有可能A半径为表示圆心为参数方程、填空题sin2cos2) 1 (:3yx的圆，化为标准方程为（2，-2）112222yxsin22cos21yx化为参数方程为把圆方程0142)2(22yxyx4.把圆的参数方程化成普通方程：把圆的参数方程化成普通方程： sin23cos211yx）（sin2cos22yx）（例例3：若实数：若实数x、y满足满足x2+y2-2x+4y=0, 求求x-y的最大值。的最大值。分析：化为标准方程分析：化为标准方程 : (x-1)2+(y+2)2=5利用圆的参数方程：利用
6、圆的参数方程：sin52cos51yx则：则：3sin5cos5yx3)4cos(10310)(maxyx圆的参数方程圆的参数方程.cossin)(:的的最最大大值值和和最最小小值值求求函函数数练练习习211 f.yx,x-9yyx,:2的的取取值值范范围围求求满满足足实实数数练练习习2.,)(;)(,),(:的取值范围的取值范围求实数求实数恒成立恒成立若若的取值范围的取值范围求求上的动点上的动点是圆是圆已知已知练习练习ccyxyxyyxyxP02212322椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：12222byax联系：联系：122 sincos不妨有：不妨有： si
7、ncosbyax sincosbyax参数参数 的意义的意义椭圆的参数方程椭圆的参数方程例、例、 如图如图,以原点为圆心，分别以以原点为圆心，分别以a、b（ab0）为半）为半径作两个圆，点径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过A作作ANOx,垂足为垂足为N，过点，过点B作作BM AN，垂足为，垂足为M，求当半径求当半径OA绕绕O旋转时点旋转时点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。这就是所求的点的轨迹的参数方程。这就是所求的点的轨迹的参数方程。也就是也就是 ：解：解：设设M（x,y),是以是以Ox为始边，为始边，OA为终边的正角，为终边的正角， sin ,yN
8、MOB cos ,xONOA cos ,sin .xayb 取取为参数，则为参数，则 消参有：消参有：12222byax为椭圆为椭圆xyoMAB2.参数参数 的意义的意义离心角离心角R一般地：一般地：2 , 0思考：思考：xoM对吗？对吗？xoMP是椭圆是椭圆sin2cos32yx（ 为参数）上一点，为参数）上一点，OP的倾斜角为的倾斜角为 ，则点，则点P的坐标为（的坐标为（ ）4(A)(B)(C)(D)3, 32()3, 3()2, 6()3 , 4(B)练习练习(A)椭圆的参数方程椭圆的参数方程sincosbyax2 , 0为参数为参数（ ）例例1、把下列参数方程化为普通方程、把下列参数方
9、程化为普通方程3cos ,5sin .xy（1）8cos ,6sin .xy（2）22149xy（3）22116yx（4）例例2 把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程例题与练习例题与练习例例3 已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD， 求矩形求矩形ABCD的最大面积的最大面积22110064xyyXOA2A1B1B2F1F2ABCD例例4 在椭圆在椭圆 上上, 到直线到直线 最短距离是最短距离是 .22147xy:32160lxy8 1313练习：已知椭圆的参数方程为练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是是参数参数) ，则此椭圆的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（ ），短
10、轴长），短轴长为（为（ ）,焦点坐标是（焦点坐标是（ ）,准线方程是准线方程是（ ），离心率是（），离心率是（ ）。）。424 33x 3203, sincosyx2 练练2: 设椭圆设椭圆 和和x的正半轴的交点为的正半轴的交点为A，和和y的正半轴的交点为的正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，为第一象限内椭圆上的点，则四边形则四边形OAPB面积的最大值为（面积的最大值为（ ） 12222byax(A)(B)(C)(D)ab2ab22ab2ab21CxyoABPab练练1：(05福建高考福建高考)设设 , 则则 的最小值为（的最小值为（ ）62,22baRbaba(A)(B)(C)(D)
11、;335; 3; 2227B思考：（思考：（0505重庆重庆9 9）若动点若动点 P(x,y) 在曲线在曲线 上运动，上运动，则则 x2+2y 的最大值为（的最大值为（ ）(A)(B)(C)(D)b2), 4;2)4 , 0(, 442bbbb42b), 2;2)2 , 0(, 442bbbbA)0(14222bbyx例例4：如图，已知点：如图，已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个上的一个动点，点动点，点A是是x轴上的定点，坐标为（轴上的定点，坐标为（12，0）当点当点P在圆上运动时，线段在圆上运动时，线段PA的中点的中点M的轨的轨迹是什么？迹是什么？AOPyMx.)(:;)()().,(
12、),(:4616212221222222yxyxyxPyxM即即有有则则设设解解一一例例:如图，已知点如图，已知点P是圆是圆x+y=16上的一个动点，点上的一个动点，点A是是x轴上的定点，坐标是（轴上的定点，坐标是（12，0）。当点）。当点P在圆上运在圆上运动时，线段动时，线段PA的中点的中点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？解二：设点解二：设点M的坐标是（的坐标是（ x，y）。）。圆圆x+y=16的参数方程为：的参数方程为：sin4cos4yx设点设点P的坐标为（的坐标为（4cos，4sin）。）。由线段中点坐标公式得点由线段中点坐标公式得点M的的轨迹的参数方程为：轨迹的参数方程为：sin2cos26yx所以线段所以线段PA的中点的中点M的轨迹是以点（的轨迹是以点（6，0）为圆）为圆心、心、2为半径的圆。为半径的圆。AOPyMx.)(sincos:)(sincos:.:的的交交点点个个数数是是参参数数线线与与曲曲是是参参数数判判断断曲曲线线作作业业 22212221yxCyxC.sinsincos,.的中心的轨迹方程的中心的轨迹方程求椭圆求椭圆若若024842202222 yxyx