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1、高一数学小结复习北师大版必修四【本讲教育信息 】一、教学内容：必修四小结复习二、学习目标1、通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用；2、了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力；3、运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。三、知识要点1、任意角将一条射线绕着它的一个端点旋转并规定了旋转方向（沿着逆时针方向为正方向）所形成的图形，有正角、负角和零角之分；2、弧度制规定：长度等于半径的
2、弧所对的圆心角为1 弧度，记作：1rad。3、任意角的三角函数在坐标系中，利用角的终边上任意一点的坐标来定义；4、三角函数线与诱导公式借助三角函数线推导诱导公式5、三角函数图像与性质通过函数线作图、变换作图（平移、伸缩、对称）6、同角三角函数的基本关系式平方关系、商数关系7、函数)sin(xAy的图像与性质观察参数,A对函数图像变化的影响；8、平面向量的实际背景与基本概念物理学背景；向量、相等向量、相反向量、共线向量、零向量、单位向量等；9、向量的线性运算加、减、数乘10、 平面向量的基本定理与坐标表示平面向量的基本定理是建立向量坐标平面的理论依据；向量运算的坐标表示11、平面向量的数量积及其
3、应用求线段长度与夹角；证明垂直关系12、两角和与差的三角函数公式由两角差的余弦公式导出和角公式与差角公式，进而导出积化和差公式、和差化积公式、二倍角公式、半角公式四、考点解析与典型例题考点一：求角例 1、已知13, 3,21sinxx，求x的值。【 解 】 由 题 意 ，kx26或Zkkx，265。 因 为13,3x， 故619465672656234661126xxxx或或或。【说明】 此类题型可先在R 上求出符合等式条件的角，然后确定k 值，进而求出符合题意的解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
4、- - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 考点二：求三角函数（式）值例 2、已知的值求sincostan,21cossin【解】2cossincossinsincoscossinsincostan22考点三：证明三角恒等式例 3、已知)2sin(sin3:,tan2)tan(求证【证明】 由条件可知：cos)sin()cos(sin2cossin2)cos()(nsitan2)tan(又因为2,，从而左边 = sin)cos(3sin)cos(3cos)sin(3)sin(3sin3，右边 =)cos(sin3)cos(sincos)sin()2s
5、in(左边 =右边，所以等式成立。考点四：证明三角不等式或利用三角函数证明不等关系例 4、已知：112222yxba，求证：11byax。【证明】 设cosa，sinb，cosx，siny，则1|)cos(|sinsincoscos|byax，故11byax。【说明】 如果条件中有122ba，可作代换cosa，sinb；如果条件中有Rbaba，且1，可作代换2cosa，2sinb；如果条件中有222rba，可 作 代 换cosra，sinrb；如 果 条 件 中 有)0(222rrba， 可 作 代 换)|(|sincosrttbta，；如果条件中有1xy， 则可作代换tanx，coty。考点
6、五：三角函数式的化简或求值例 5、不查表求sin220+cos280+3cos20cos80【解】 解法一 ：sin220+cos280+3sin220cos80=21（1cos40） +21（1+cos160）+ 3sin20cos80=121cos40+21cos160+3sin20cos（60+20）=121cos40+21（cos120cos40sin120sin40） +3sin20（ cos60cos 20 sin60sin20）=121cos4041cos4043sin40+43sin4023sin220=143cos4043（1cos40）= 41解法二 ：设 x=sin220
7、+cos280+3sin20cos80y=cos220+sin2803cos20sin80，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - x+y=1+13sin60=21，xy=cos40+cos160+3sin100=2sin100sin60+3sin100=0 x=y=41，即 x=sin220+cos280+3sin20cos80=41. 考点六：研究)sin(xAy的性质例 6、求函数y2sin（31x6）的周期、递
8、增区间、对称轴方程和对称中心坐标【解】 周期：62T。令31x6)62,6(22,22kkxkk即为其单调递增区间；令31x6=kxk322即为其对称轴方程；令31x6=kxk32，故得其对称中心为（k32，0） 。【说明】 在研究)sin(xAy的性质时， 注意将其与函数xAysin进行比照研究。考点七：求三角函数式的最值例 7、求 y=xxsin2sin的最大值和最小值。【解】 法一： y=xxsin22sin2=1xsin22. 当 sinx=1时，得 ymin=1，当 sinx=1 时，得 ymax=31. 法二：原式sinx=yy12（ y1）|yy12|11y31. ymax=31
9、，ymin=1. 【说明】 法一是将原三角函数式化为只含有一个角、一个三角函数的式子，然后通过三角函数的有界性进行求解；法二是直接利用三角函数的有界性进行求解；实际上， 本题还可以利用数形结合的方法求解。考点八：三角函数图像变换例 8、由函数)43sin(2xy的图像经怎样的变化可以得到函数)53sin(3xy的图像。【解】431x3sin2y32）（，故原3y2y,31xx，因此可将)43sin(2xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - -
10、- - - - - - 的图像向右平移31个单位，再保持横坐标不变，将每一点的纵坐标变为原来的23倍即可。考点九：用向量法证明线段平行与垂直例 9、证明：梯形的中位线平行于底且等于上下底之和的一半；等腰三角形底边上的中线和高线重合。【证明】 )DCAB(21MNDCABCNDCMDBNABMAMN2CNDCMDBNABMAMN由向量相等的意义可知：MN 平行于两底，长度为两底和的一半。BCAMACABABACACABBCAM0)(21)()(2122考点十：用向量法求夹角与距离例 10、用向量法证明点到直线的距离公式。【证明】 如果向量n与直线 l：0AxByC垂直，则称向量n为直线的法向量，
11、显然向量( ,)nA Br是直线的一个法向量设)y,x(P00是直线 l 外一点，PQ 垂直直线 l 于)y,x(Q11，如图所示， 则向量PQ与n共线，令nPQ，则)B,A()yy,xx(0101，.Byy,Axx0101又110AxByC，00()()0A xAB yBC，0022()AxByCAB， 由 PQnuuu rr，得222200002222()| |AxByCAxByCPQABABABABuuu r证毕名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页
12、 - - - - - - - - - 考点十一：向量与三角函数的综合应用例 11、已知向量m=（sinA，cosA） ，n=( 3, 1)，mn1，且 A 为锐角 . （）求角A 的大小；（）求函数( )cos24cossin()f xxAx xR的值域 . 【解】 （）由题意得mn3 sincos1,m nAAg12sin()1,sin().662AA由A 为锐角得,.663AA（）由（）知1cos,2A所以213( )cos22sin12sin2sin2(sin).22f xxxxsxx2213( )cos22sin12sin2sin2(sin).22f xxxxsx因为 xR，所以sin
13、1,1x，因此，当1sin2x时， f（x）有最大值32. 当 sinx=1时， f（x）有最小值 3，所以所求函数f（x）的值域是33,2. 五、数学思想方法三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。 学习中要体会三角函数在解决具有周期性变化规律的问题中的作用；向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、 几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义并发展运算能力和解决实际问题的能力；三角恒等变换有利于发展推理能力和运算能力。另外，数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法在本模块的学习中应用十分广泛，要注
14、意培养和训练。【模拟试题】（答题时间： 45 分钟）一、选择题1、设 P是 ABC 所在平面内的一点，2BCBABPuu u ru uu ruuu r，则A.0PAPBuu u ruuu rrB.0PCPAuu u ruu u rrC.0PBPCuuu ruuu rrD.0PAPBPCu uu ru uu ruu u rr*2 、将函数sin2yx的图象向左平移4个单位，再向上平移1 个单位，所得图象的函数解析式是A.cos2yxB.22cosyxC.)42sin(1xyD.22sinyx3、已知函数)(),0(cossin3)(xfyxxxf的图像与直线2y的两个相名师资料总结 - - -精
15、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 邻交点的距离等于，则)(xf的单调递增区间是Zk,132k,6k.DZk,6k,3k.CZk,1211k,125k.BZk,125k,12k.A*4 、如果函数)x2cos(3y的图像关于点43，0中心对称，那么|的最小值为A. 6B. 4C. 3D. 2*5 、已知 a 是实数，则函数()1sinf xaax的图象不可能是*6 、 一质点受到平面上的三个力123,FFF（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已
16、知1F，2F成 60角，且1F，2F的大小分别为2 和 4，则3F的大小为A. 6 B. 2 C. 2 5D. 2 7二、填空题*7 、y=xxsincos2（0 x的最小值是_ 8、已知( )sin(0)363f xxff，且( )f x在区间6 3，内有最小值，无最大值，则_三、解答题9、求函数y = 1cossin1cossinxxxx的最小值（0 x 2）10、已知：122ba，求证：2|2|22baba。11、已知2，02，tan=34，cos（） =513，求 sin的值12、设函数 f（x）=ab，其中向量 a=（m，cos2x） ，b=（1+sin2x，1） ，xR，且函数 y
17、=f（x）的图象经过点2,4，（）求实数m 的值；（）求函数f（x）的最小值及此时x 值的集合 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 【试题答案】一、选择题1. B 2. B 3. C 4. C 5. D 6. D 2、 【解析】：将函数sin2yx的图象向左平移4个单位，得到函数sin2 ()4yx即sin(2)cos22yxx的图象，再向上平移1 个单位，所得图象的函数解析式为21cos22cosyxx，故选
18、B. 4、答案： C。【提示】Q函数)x2cos(3y的图像关于点43，0中心对称423kk42()3kkZ由此易得3|min.故选 C 5、答案： D 【提示】对于振幅大于1 时，三角函数的周期为2,1,2TaTaQ，而 D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于26、 【解析】)60180cos(20021222123FFFFF(180 60)28，所以723F，选 D 二、填空题7、3。【提示】法一：y=xxsincos2ysinx+cosx=221ysin（x+）=2 sin（ x+）=212y（x（ 0，）0212y1y3 . ymin=3 . 法二： y 可视为点 A（ sin
19、x，cosx） ，B（0，2）连线的斜率kAB，而点 A 的轨迹，xyxxcossinx（0，）是单位圆在第二、三象限的部分 （如下图），易知当 A （23，21）时， ymin=kAB=3 . xy- 11B( 0, 2)AO8、143名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 三、解答题9、解： 0 x 2sin x + cos x 1 0 y = 1 + 1cossin2xx= 1+1)4sin(2x（0 x 2）43
20、44x0 )4sin(2x1 21 y1+122=3+22函数 y 在 0 x2范围内的最小值是3+2210、证明：设cosa，sinb，则|2cos2sin|sincossin2cos|2|2222baba2|)42sin(|211、2， tan=34， sin=35，cos=45，又2， 02， 0， cos（） =513， sin（） =1213. sin=sin（）=sincos（） cossin（） =6365. 12、解： （）ba)x(1sin 2 )cos2f xamxxg，由已知1sincos2422fm，得1m（）由（）得( )1sin 2cos212 sin 24f xxxx，当sin 214x时，( )f x的最小值为12，由sin 214x，得x值的集合为38x xkkZ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -