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1、. . . . 高三一轮复习 6.6直接证明与间接证明【教学目标】1. 了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2. 了解反证法的思考过程和特点. 【重点难点】 1. 教学重点 了解分析法、综合法及反证法的思考过程2. 教学难点 学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图考纲传真 1. 了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2. 了解反证法的思考过程和特点. 真题再现 ; 1.(2014 山东， 4) 用反证法
2、证明命题“设a，b为实数则方程x3axb0 至少有一个实根”时，要做的假设是 () A.方程x3axb0 没有实根B.方程x3axb0 至多有一个实根C.方程x3axb0 至多有两个实根D.方程x3axb0 恰好有两个实根解析至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3axb0 没有实根” . 答案A 2.(2012 福建，17) 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数sin213 cos217sin 13 cos 17 ；sin215 cos215sin 15 cos 15 ；sin218 cos212sin 18 cos 12 ；sin2( 18) co
3、s248 sin( 18)cos 48；。学生通过对高考真题的解决， 发现自己 对知识 的掌握情况。通 过 对 考 纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . . . sin2( 25) cos255 sin( 25)cos 55.(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2) 根据(1) 的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 解(1)
4、 选择式，计算如下sin215 cos215sin 15 cos 15 112sin 30 11434. (2) 三 角 恒 等 式 为sin2 cos2(30 ) sin cos(30) 34. 证明如下sin2cos2(30) sin cos(30) sin2(cos 30 cos sin 30 sin )2sin (cos 30 cos sin 30 sin ) sin234cos232sin cos 14sin232sin cos 12sin234sin234 cos234. 3(2013江苏卷 ) 已知ab0，求证 2a3b32ab2a2b. 证明 2a3b3(2ab2a2b) 2a
5、(a2b2) b(a2b2) (a2b2)(2ab) (ab)(ab)(2ab) 因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而 (ab)(ab)(2ab) 0，即 2a3b32ab2a2b. 知识梳理知识点 1 直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、 公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
6、 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . . . 条件( 已知条件、 定理、定义、公理等)为止的证明方法思维特点由因导果 ( 顺推证法 )执果索因 ( 逆推证法) 实施流程P?Q1Q1?Q2Q2?Q3Qn?QQ?P1P1?P2P2?P3错误 !书写格式“因为所以”“由得”等“要证”“只需证明”“即证”等知识点 2 间接证明1反证法的定义；假设原命题不成立( 即在原命题的条件下， 结论不成立 )，经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法2利用反证法证题的步骤；(1) 反设假设所要证的结论不成立， 而设结论的反面( 否定命题 ) 成立
7、；( 否定结论) (2) 归谬将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与假设矛盾，与已知条件、已知的定义、 公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；( 推导矛盾 ) (3) 立论因为推理正确， 所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立( 命题成立 ) 1 必会结论；反证法证明中， 常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有一个也没对所有x成存在某个x不学生通过对高考真题的解决， 感受高考 题的考 察视角。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师
8、精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . . . 环节二一个有立成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1 个p或q p且q至多有n个至少有n1 个p且q p或q2. 必知联系；分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用考点分项突破考点一综合法1.(2015 安徽高考) 设nN*，xn是曲线yx2n21在点 (1,2) 处的切线与x轴交点的横坐标(1) 求数列 xn 的通项公式；
9、(2) 记Tnx21x23x22n1，证明Tn14n. 【解】(1)y (x2n21) (2n2)x2n1，曲线yx2n21 在点(1,2)处的切线斜率为2n2，从而切线方程为y2(2n2)(x1) 令y0，解得切线与x轴交点的横坐标xn11n1nn1，所以数列xn的通项公式xnnn1. (2) 证明由题设和 (1) 中的计算结果知，Tnx21x23x22n11223422n12n2. 当n1 时，T114. 当n2 时，因为x22n12n12n22n122n22n1212n22n22nn1n，所以Tn1221223n1n14n. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
10、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . . . 综上可得，对任意的nN*，均有Tn14n. 跟踪训练1.(2015 北京高考) 设函数f(x) x22kln x，k0. (1) 求f(x) 的单调区间和极值；(2) 证明若f(x) 存在零点，则f(x) 在区间 (1，e 上仅有一个零点【解】(1) 由f(x) x22kln x(k0)， 得x0且f(x)xkxx2kx. 由f(x) 0，解得xk( 负值舍去) f(x) 与f(x)在区间 (0，) 上的情况如下x (0 ，k
11、)k (k，)f(x)0f(x)k1ln k2所以，f(x) 的单调递减区间是(0 ，k) ，单调递增区间是 (k，) f(x) 在xk处取得极小值f(k)k1ln k2. (2) 证明由 (1) 知，f(x) 在区间 (0 ，) 上的最小值为f(k) k1ln k2. 因为f(x) 存在零点，所以k1ln k20，从而ke. 当ke 时，f(x) 在区间(1 ，e) 上单调递减， 且f(e) 0，所以xe是f(x) 在区间 (1 ，e 上的唯一零点当ke 时，f(x)在区间 (1 ，e) 上单调递减，且f(1) 120，f(e)ek20，求证a21a22a1a2. 【证明】要证a21a22a
12、1a2，只需证a21a22a1a2. a0，故只需证a21a222a1a22，即a21a24a21a24a221a222a1a2，从而只需证2a21a22a1a，只需证 4a21a22a221a2，即a21a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立跟踪训练1. ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c. 求证1ab1bc3abc. 【证明】要证1ab1bc3abc，即证abcababcbc3，也就是cababc1，只需证c(bc)a(ab) (ab)(bc)，引导学 生通过 对基础知 识的逐 点扫描， 来澄清 概念，加强理解。 从而为后 面的练 习奠定基础 .
13、在解题 中注意 引导学生 自主分 析和解决问题， 教师及时点 拨从而 提高学生 的解题 能力和兴趣。教师引导学生及时总结， 以帮助学生形 成完整 的认知结构。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . . . 需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，
14、由余弦定理，得b2c2a22accos 60 ，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立归纳 分析法证题的技巧1逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键2证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价( 或充分 ) 的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证考点三反证法(1) 一个命题的结论是“自然数a，b，c中恰有一个偶数”，用反证法证明该命题时，正确的假设是() A假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数B假设a，b，c都是偶数C假设a，b，c至少有两个偶
15、数D假设a，b，c都是奇数(2) 等差数列 an 的前n项和为Sn，a112，S3932. 求数列 an 的通项an与前n项和Sn；设bnSnn(nN*) ，求证数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列【解析】(1) “恰有一个”的否定是“一个也没有”或“至少有2 个”，因此正确的假设是“假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”，故选 A.【答案】A (2) 由已知得a121，3a13d932，d2，故an2n12，Snn(n2) 证明由 (1) 得bnSnnn2. 题技能。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
16、 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . . . 假设数列 bn 中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等 ) 成等比数列，则b2qbpbr，即(q2)2(p2)(r2) ，(q2pr) 2(2qpr) 0，p，q，rN*，q2pr0，2qpr0.pr22pr，即(pr)20. pr，与pr矛盾假设不成立，即数列bn 中任意不同的三项都不可能成等比数列跟踪训练 1. 设an 是公比为q的等比数列(1) 推导an的前n项和公式；(2) 设q1，证明数列 an1 不是等比数列【解】(1) 设an 的前n项和为Sn，
17、当q1 时，Sna1a1a1na1；当q1 时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得， (1 q)Sna1a1qn，Sna11qn1q，Snna1，q1，a11qn1q，q1.(2) 证明假设 an1 是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21) ，a2k12ak11akak2akak21，a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1. q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列归纳 反证法的适用范围及证题的关键1适用范围当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”
18、或以否定形式出现时，宜用反证法来证2关键在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . . . 环节三课堂小结1. 了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2. 了解反证法的思考过程和特点. 学生回顾，总结. 引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。环节四课后作业学生版练与测学 生 通 过 作业进行课外反思，通过思 考发散 巩固所学的知识。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -