2022年非常全面的《概率论与数理统计》复习材料 .pdf-淘文阁

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1、概率论与数理统计复习大纲第一章随机事件与概率基本概念随机试验 E-指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。样本点 -随机试验 E 的每一个可能出现的结果样本空间-随机试验 E 的样本点的全体随机事件 -由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。必然事件 -每次试验中必定发生的事件。不可能事件-每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含 AB 相等 A=B 对立事件，也称A 的逆事件互斥事件 AB=也称不相容事件A，B 相互独立P(AB)=P(A)P(B)

2、例 1 事件 A，B 互为对立事件等价于（D）A、A，B 互不相容B、A，B 相互独立C、ABD、A，B 构成对样本空间的一个剖分例 2 设 P(A)=0 ，B 为任一事件，则（C ）A、A=B、AB C、A 与 B 相互独立D、A 与 B 互不相容事件之间的运算事件的交 AB 或 AB 例 1 设事件 A、B 满足 AB =，由此推导不出(D) A、 AB B、A B C、AB=B D、AB=B 例 2 若事件 B 与 A 满足B A=B，则一定有(B) A、 A=B、AB=C、AB =D、B=A 事件的并 AB 事件的差A-B 注意：A-B = AB= A-AB = (A B)-B A1

3、,A2, ,An构成的一个完备事件组(或分斥 )指 A1,A2, ,An两两互不相容，且i=1nAi=运算法则交换律 AB=BA AB=B A 结合律 (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律 (AB)C=(AC) (BC) (AB)C=(AC)(BC) 对偶律AB=ABAB=AB文氏图事件与集合论的对应关系表记号概率论集合论样本空间，必然事件全集不可能事件空集基本事件元素A 事件全集中的一个子集AA 的对立事件A 的补集AB 事件 A 发生导致事件B 发生A 是 B 的子集A=B 事件 A 与事件 B 相等A 与 B 相等AB 事件 A 与事件 B 至少有一个发生A 与 B 的

4、并集AB 事件 A 与事件 B 同时发生A 与 B 的交集A-B 事件 A 发生但事件B 不发生A 与 B 的差集AB=事件 A 与事件 B 互不相容（互斥）A 与 B 没有相同的元素名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 古典概型古典概型的前提是=1, 2, 3, , n, n 为有限正整数，且每个样本点i出现的可能性相等。例 1 设 3 个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1 个的事件 A1，最多为 2 个

5、的事件 A2的概率。解：每个球有 4 种放入法， 3 个球共有 43种放入法，所以| |=43=64。(1)当杯中球的个数最多为1 个时，相当于四个杯中取3 个杯子，每个杯子恰有一个球，所以 |A1|= C433！=24；则 P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为2 个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有 2个球 (C41C32)，另有一个杯子恰有1个球 (C31C11)，所以 |A2|= C41C32C31C11=36；则 P(A2)=36/64 =9/16 例 2 从 1,2, ,9 ，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10 的概率 p1；(2)三数之积

6、为 21 的倍数的概率p2。解：p1=4C93=121, p2= C31C51+C32C93= 314P(A)=A包含样本总个数样本点总数=|A|几何概型前提是如果在某一区域任取一点，而所取的点落在中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。若 A，则 P(A)= A的度量的度量例 1 把长度为 a 的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。解：设折得的三段长度分别为x,y和a-x-y ，那么，样本空间，S=(x,y)|0 x a,0 y a,0 a-x-y a。而随机事件A：” 三段构成三角形 ” 相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则，

8、B|Ak)P(Ak)i=1nP(B|Ai)P(Ai)应用题例 1 设两两相互独立的三个事件A, B 和 C 满足条件： ABC=，P(A)=P(B)=P(C)0，则事件 A 与 B 独立 P(B|A)=P(B) 2. 事件 A 与事件 B 独立事件 A 与事件B独立事件 A与事件 B 独立事件A与事件B 独立事件 A1,A2, ,An相互独立 -指任意 k 个事件 Ai1,Ai2, ,Aik满足 P(Ai1Ai2 Aik) =P( Ai1)P(Ai2) P(Aik)，其中 k=2,3, ,n 。可靠性元件的可靠性P(A)=r 系统的可靠性：串联方式P(A1A2An)=rn 并联方式P(A1A2

9、An)=1-(1-r)n , 贝努里概型指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A)=1-p。二项概率 -在 n 重独立试验中，事件A 恰好发生 k 次的概率为b(k;n,p)，则b(k;n,p)= Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,n)。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第二章随机变量与概率分布随机变

10、量的分布函数分布函数定义：F(x)=Px, -x+分布函数 (x)实质上表示随机事件Px 发生的概率。分布函数 F(x)的性质(1)0F(x)1; (2) limx-F(x)=0, limx+F(x)=1 (3)单调非减，当 x1x2时，F(x1)F(x2) (4)右连续limxx0+F(x)=F(x0) 一些概率可用分布函数来表示Pa b=F(b)-F(a), P =a=F(a)-F(a-0), P a=1-F(a), P a=1-F(a-0), 例 1.设随机变量的分布函数为F(x)= 0 x0sinx 0 x /21 x/2, 则 P /4 = ( ) (选 C，因为 P /4 =F(/

11、4)=sin /4) A、 0 B、1/2 C、2 /2 D、1 例 2.设随机变量1和2的分布函数分别为F1(x)和 F2(x)，为使 F(x)=aF1(x) - bF2(x)是某随机变量的分布函数，则在下列给定的各组数值中应取( ) A、a=3/5,b=-2/5 B、a=3/5,b=2/5 C、a=3/5,b=-3/5 D、a=2/5,b=2/5 (选 A，因为 F(+)=1= aF1(+) - bF2(+)=a-b ) 例 3.连续型随机变量的分布函数为F(x) = A + B arctanx, -x求： (1) 常数 A,B； (2) 落入（ -1，1）的概率。解：因为 F(+)=1,

12、 F(-)=0，所以 A + B/2=1，A - B /2=0，解得 A=1/2, B=1/ . 即 F(x) = 12+ 1arctanx . 落入（ -1，1）的概率为P-1 1=F(1)-F(-1) =12+ 1arctan1 (12+ 1arctan(-1)= 14+ 14= 12离散型随机变量定义：随机变量只能取有限个或可数个孤立的值离散型随机变量的概率分布简称为分布列：X x1x2x3. xn. 概率p1p2p3. pn.其中每一个pi0 且i=1pi=1 离散型随机变量的分布函数是非降的阶梯函数。离散型随机变量常见分布：1)两点分布 X(0,1) ；X 的取值只有0 或 1，其概

13、率为PX=0=p, PX=1=1-p 2)二项分布 XB(n,p) ；分布律为b(k;n,p)= PX=k= Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,n) 其中0p1 3)泊松分布 XP( )；分布律为PX=k= kk!e-(k=0,1,2,3,) 。4)几何分布： XGe(p) ；分布列为PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 。在伯努利试验序列中，记每次试验中事件A 发生的概率为p，如果 X 为事件 A 首次出现时的试验次数，则X 的可能取值为1,2, , 称 X 服从几何分布。5)超几何分布： X h(n,N,M) ；分布列为PX=k=CMkCN-Mn-kCNn

14、(k=0,1,2,3,r, 其中 r=minM,n) 。设有 N 个产品，其中有M 个不合格品，若从中不放回地随机抽取n 个，则其中含有的不合格品个数X 服从超几何分布。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 离散型例题例 1 设随机变量的分布列为P =k=C2k，k=1,2, ，则常数 C= ( ) A、1/4 B、1/2 C、1 D、2 (因为k=1P =k=1, 即c/21-1/2=1, 所以 c=1 ) 例 2

15、某射手有 5 发子弹，射一次命中的概率为0.9，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用仅。求耗用子弹数的分布列。解：的分布列为1 2 3 4 5 概率 p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001例 3 设离散型随机变量的概率分布为0 1 2 p 0.3 0.5 0.2 其分布函数为F(x) ，则 F(3)= ( ) A、0 B、0.3 C、0.8 D、1 (选 D，因为 F(3)=p(0)+p(1)+p(2)=1)连续性随机变量定义：-随机变量可能取的值连续地充满一个范围, 如果对于随机变量的分布函数F(x)，存在非负可积函数p(x)，使得对于任意实数 x，有F(x)=

16、-xp(u)du，则称为连续型随机变量，其中 p(x)为的概率密度函数. 密度函数必须满足条件：(1) p(x)0, -x+ (2) -+p(x)dx=F(+ )=1 连续型型随机变量的性质：1.分布函数是连续函数；2 F (x)=p(x); 3 P =a=0, 所以Pab= Pab= Pab= Pab= abp(x)dx 4 Pxx+ x p(x) x 常见连续型型随机变量的分布：1)均匀分布Ua,b ；密度函数p(x)=1b-aa x b0 其他分布函数 F(x)= 0 xb2)指数分布exp( )；密度函数p(x)=e- xx 00 x0分布函数 F(x)= 1-e- xx 00 x

17、03)正态分布N(,2)；密度函数p(x)= 12e-(t- )222(-x+) 分布函数 F(x)=12-xe-(t- )222dt 标准正态分布N(0,1)，它的分布函数(x)可查表得到，一般F(x)=( x-)。正态分布的密度函数的曲线是钟形对称曲线，对称轴为直线x= ，y=0 是它的水平渐近线。连续型例题例 1 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则PX=EX2= . 解：因为 X 服从参数为1 的泊松分布，所以EX2=DX+ (EX)2=1+12=2，于是 PX=EX2=PX=2=12e 1例 2 设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间EX 为

18、5 小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2 小时便关机。试求该设备每次开机无故障的时间Y 的分布函数F(y)。解: XE( ), 因为 EX=1/=5 =1/5, 每次开机无故障的时间Y=minX,2, 易见当 y0 时， F(y)=0 ；当 y 2 时， F(y)=1；当 0 y2 时， F(y)=PYy=P minX,2y=PXy=1-e-y/5。所以 Y 的分布函数F(y)= 0 若y01-e-y/5若0 y21 若y 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

19、- - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 随机变量的函数的概率分布1离散型的求法设离散型随机变量X的分布律为：X x1x2 xkP p1p2 pk, 则X的函数Y=g(X) 的分布律为：Y g(x1) g(x2) g (xk) P p1p2 pk, 当 g(xj)有相同情况时，概率为相应之和。2连续型的公式法：设 X 为连续型随机变量，其密度函数为fX(x)，设 g(x)是一严格单调的可导函数，其值域 , ，且 g (x) 0，记 x=h(y)为 y=g(x) 的反函数，则Y=g(X) 的密度函数为fY(y)=fX(h(

20、y)|h (y)| y0 其它3连续型的直接变换法(分布函数法 )：FY(y)=PYy= Pg(x)y= PXS，其中 S=x|g(x)y ，然后再把FY(y)对 y 求导，即得fY(y) fY(y)=dFY(y)/dy 当FY(y)在y处可导时0 当FY(y)在y处不可导时随机变量的函数的概率分布的例题例 1 设 X 的分布律为：X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4，求 Y=(X-1)2的分布律。解：先由 X 的值确定Y 的值，得到X -1 0 1 2Y 4 1 0 1，将 Y 的值相同的X 的概率合在一起，得到Y 的分布律Y 4 1 0 P 0.2 0.7 0.1。例 2

21、设随机变量 X 的分布函数为FX(x)，求随机变量Y=3X+2 的分布函数FY(y). 解：FY(y)=PYy= P3X+2y= PXy-23= FX(y-23) 例 3 设随机变量 X 的密度函数为fX(x)= 32x2-1x10 其它,求随机变量Y=3X+2 的密度函数fY(y). 解：用公式法：设y=g(x)=3x+2, y=g(x) 的反函数为x=h(y)= y-23, -1y-231 -1y5, |h (y)|= 13则 Y=g(X) 的密度函数为fY(y)=fX(h(y)|h (y)| y0 其它=32(y-23)213-1y50 其它=118(y-2)2-1y50 其它例 4

22、设 X 在区间 0,2 上服从均匀分布，试求Y=X3的概率密度。解：因 XU0,2 ，所以fX(x)= 1/2 0 x 20 其它。用分布函数法分段讨论：当y0 时, FY(y)=PYy= PX3y= 0 ，当 0y8 时, FY(y)=PYy= PX3y= PX3y=03y12dx， fY(y)= FY(y)= 1213(y)-23= 163y2,当 y 8 时, FY(y)=PYy= PX3y= PX3y=0212dx =1，fY(y)= FY(y)= 0. fY(y)= 163y20y80 其它名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

23、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第三章多维随机变量及其概率分布二维随机变量二维随机向量 ( , )的联合分布函数指F(x,y)=Px,y 0 F(x,y)1 ; F(-,+)= F(x,- )= F(-,y)=0; F(+,+)=1; Px1x2,y1y2=F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1) 二维随机向量 ( , )的边缘分布函数F (x)= Px=F(x,+ ), F (y)= Py=F(+ ,y) 二维离散随机变量二维离散型随机变量及其概率分布P =xi,

24、 =yj=pij , 其中i=1 j=1pij=1 且 pij0 可用一个分布列表或分布列矩阵(pij) 来表示的边缘分布列为P =xi=j=1pij = pi* 的边缘分布列为P =yj=i=1pij = p*j例 1 设二维随机向量（, ）的联合分布律为1 2 1 1/6 1/3 2 1/4 则常数= （）A、1/6 B、1/4 C、1/3 D、1/2 答案：i=1 j=1pij=1 所以=1/4 , 选 B. 二维连续随机变量二维连续型随机向量( , )的分布函数F(x,y)= -x-yp(u,v)dudv p(x,y) 称为随机向量 ( , )的联合密度函数p(x,y) 0, -+-

25、+p(x,y)dxdy=1 , 2F(x,y)x y=p(x,y) 利用密度函数求概率P( , )D=Dp(x,y)dxdy 二维连续型随机向量( , )的边缘分布 , p(x)，p (y) 称为边缘密度函数p (x)= -+p(x,y)dy p (y)= -+p(x,y)dx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 条件分布离散型：在条件Y=yj下随机变量X 的条件概率分布为PX=xi|Y=yj=PX=xi，Y=yjP

26、Y=yj= pijp*j, i=1,2,连续型：在条件Y=y 下随机变量X 的条件分布函数FX|Y(x|y)与条件概率密度函数fX|Y(x|y)分别为：FX|Y(x|y)= -xf(u,y)fY(y)du fX|Y(x|y) = f(x,y)fY(y)例 1：设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布，在X=x (0 x1) 的条件下，随机变量Y 在区间 (0,x)上服从均匀分布，求：随机变量X 和 Y 的联合概率密度；解：X 的概率密度为fX(x)= 1 0 x10 其他，在 X=x (0 x1) 的条件下，Y 的条件概率密度为fY|X(y|x)= 1/x 0yx0 其他当 0yx1 时，

27、随机变量X 和 Y 的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x) = 1/x 在其它点(x,y) 处，有f(x,y) =0 ，即 X 和 Y 的联合概率密度为f(x,y) = 1/x 0yx10 其他例 2：设随机变量X 与 Y 相互独立， X 概率分布为PX=i=1/3 (i=-1, 0 1) ，概率密度为fY(y)=1 0 y 10 其它，记 Z=X+Y ，求 PZ1/2 | X=0 。解：(1) PZ12|X=0= PX+Y12|X=0= PY12=01/21dy= 12. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

28、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 二元正态分布二元正态分布N(1,2,12,22, )的密度函数p(x,y)= 12121-2exp-12(1-2)(x-1)212- 2 (x-1)(y-2)12+ (y-2)222 二元正态分布N(1,2,12,22, )的边缘密度分布仍是正态分布N(1,12) , N(2,22) 边缘概率密度为fX(x)= 112e-(x-1)2212, fY(y)= 122e-(y-2)2222二元均匀分布(X,Y) 在区域 D 上服从均匀分布设 D 是 xOy 面上的有界区域，其面

29、积为 A。如果二维随机变量(X,Y) 具有概率密度f(x,y)= 1A(x,y)D0 其他，则称 (X,Y) 在区域 D 上服从均匀分布。例 1:设 (X,Y) 服从区域 D： (x, y)：axb, cyd上的均匀分布，求（1）(X,Y) 的联合概率密度p(x, y) ；（2）X, Y 的边际概率密度pX(x) , pY(y) ; 解：(1) f(x,y)= 1(b-a)(d-c)a x b c y d0 其他; (2) pX(x)= -+p(x,y)dy =1b-aa x b0 其他, pY(y)= -+p(x,y)dx=1d-cc y d0 其他例 1 设二维随机变量 (X,Y) 的分

30、布函数F(x,y)=A(B+arctanx2)(C+arctany3)。试求：(1)常数 A,B,C；(2) (X,Y) 的概率密度。解：由分布函数性质，得到F(+,+)=A(B+2)(C+2), F(x,-)=A(B+arctanx2)(C-2)=0, F(-,y)=A(B-2)(C+arctany3)=0, 解得 A=12, B=C=2. 即 F(x,y)= 12(2+arctanx2)(2+arctany3)。(2) f(x,y) = 2F(x,y)x y= 62(x2+9)(y2+4). 例 2: 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0,3 上的均匀分布，求PmaxX,Y1

31、。. 解：PmaxX,Y1=PX1 且 Y 1，因为 X 与 Y 相互独立，所以PX1 且 Y 1= PX1PY1=1313= 19。（这里 PX1=0113dx= 13）例 3:设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为f(x,y) = 1，0 x1 ，0y2x0，其它求： (1) (X,Y) 的边缘概率密度fX(x), fY(y)；(2) Z=2X-Y的概率密度fZ(z) 。解：(1) fX(x)=-+f(x,y)dy =0 x112x1dy= 2x, 所以边缘概率密度fX(x)= 2x 0 x10 其它fY(y)=-+f(x,y)dx =0y2y/211dx= 1-12y, 所以边缘概率

32、密度fY(y)= 1-y/2 0y20 其它(2) FZ(z)=P2x-yz=2x-yzf(x,y)dxdy=0z/211-D11dxdy=1-z/21dx02x-z1dy =1-z/21(2x-z)dx= z - z24得到 FZ(z)=0 z0z-z2/4 0 z21 z 2，所以 Z 的概率密度fZ(z)=FZ(z)=1-z/2 0 z20 其它名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 例 4 设二维随机变量 (X

33、,Y) 的概率密度为f(x,y)= x2+cxy 0 x 1.0 y 20 其他求(1)常数 C; (2)PX+Y1;(3) 联合分布函数F(x,y). 解：(1)由的概率密度性质得到1=-+-+f(x,y)dxdy=0102(x2+cxy)dxdy=23+c c=13; (2) PX+Y1=x+y 1f(x,y)dxdy=Df(x,y)dxdy =01dx1-x2(x2+xy3)dy=01(56x3+43x2+12x)dx = 6572(3) 当 x0 或 y0 时，F(x,y)= -x-yp(u,v)dudv=0; 当 0 x1, 0 y2 时，F(x,y)= -x-yp(u,v)dudv

34、=0 x0y(u2+uv3)dudv=x3y3+x2y212; 当 0 x1, y 2 时，F(x,y)= -x-yp(u,v)dudv=0 x02(u2+uv3)dudv=2x33+x23; 当 x 1, 0 y2 时，F(x,y)= -x-yp(u,v)dudv=010y(u2+uv3)dudv=y3+y212; 当 x 1, y 2 时，F(x,y)= -x-yp(u,v)dudv=1 综上所述F(x,y)= 0 x0或y0 x3y3+x2y2120 x1及0 y22x33+x230 x1及y 2y3+y212x 1及 0 y21 x 1及y 2独立性若 F(x,y)=F(x)F (y)

35、，则称随机变量与相互独立。几个充要条件：连续型随机变量与相互独立p(x,y)=p (x)p (y) 离散型随机变量与相互独立pij=pipj二元正态分布N(1,12,2,22, ) 随机变量与相互独立=0。X 与 Y 相互独立f(X) 与 g(Y) 也相互独立。例：袋中有 2 只白球， 3 只黑球 ,现进行无放回地摸球，定义： = 1 第一次摸出白球0 第一次摸出黑球= 1 第二次摸出白球0 第二次摸出黑球求:(1)（，）的联合分布；（2），的边际分布；（3），是否相互独立？解:( , )的联合分布与边际分布为 0 1 p0 3/10 3/10 6/10 1 3/10 1/10 4/1

36、0 p6/10 4/10 因为p(0,0)=3/10p (0)p (0)=9/25 所以与不独立。例 2：设 A, B 是二随机事件；随机变量X=1 若A出现-1 若A不出现Y=1 若B出现-1 若B不出现试证明随机变量X 和 Y 不相关的充分必要条件是A 与 B 相互独立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 例 3 设(X,Y) 的概率密度为， f(x,y)= 8xy 0 x 1及0 y x0 其他, 求：关于

37、 X 及关于 Y 的边缘概率密度，并判断X 与 Y 是否相互独立。解：关于 X 的边缘概率密度fX(x)= -+f(x,y)dy, 当 0 x 1 时，fX(x)= 0 x8xydy=4x3, 当 x1 时， fX(x)=0; 所以 fX(x)= 4x30 x 10 其他。同理当0 y 1 时， fY(y)= y18xydx=4y(1-y2), 其它情况fY(y)=0, 所以关于Y的边缘概率密度fY(y)= 4y(1-y2) 0 x 10 其他. 因为当 0 x 1, 0 y 1 时， f(x,y) fX(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立。两个随机变量的函数的分布几条结论：1. X

38、P(1), YP(2), 若 X 与 Y 相互独立，则X+YP(1+2); 2. XN(1,12), Y N(2,22), X 与 Y 相互独立，则X+Y N(1+2,12+22); 3.(卷积公式 )设(X,Y) 是二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y) ，关于 X,Y 的边缘概率密度分别为fX(x), fY(y)，设X 与 Y 相互独立，则 Z=X+Y 的概率密度为fZ(z)= -+fX(x)fY(z-x)dx=-+f(x, z-x)dx 或 fZ(z)= -+fX(z-y)fY(y)dy=-+f(z-y, y)dy. 例 1:已知的联合概率分布为X|Y 0 1 20 1/4 1/1

39、0 3/101 3/20 3/20 1/20, 求(1)X+Y 的概率分布； (2)XY 的概率分布。解：令 Z1=X+Y ，则 Z1的加法表为X+Y 0 1 20 0 1 21 1 2 3,令 Z2=XY ，则 Z2的乘法表为XY 0 1 20 0 0 01 0 1 2, (1) Z1的分布律为Z10 1 2 3P 1/4 3/20+1/10 3/20+3/10 1/20, 即Z10 1 2 3P 1/4 5/20 9/20 1/20(2) Z2的分布律为Z10 1 2P 1/4+3/20+1/10+3/10 3/20 1/20, 即Z10 1 2P 4/5 3/20 1/20例 2:设随机

40、变量X,Y 相互独立，且都服从0,1上的均匀分布，求X+Y 的概率密度。解：XU0,1, YU0,1, 所以 Z=X+Y 在有效区间 0,2上取值。利用卷积公式得到fZ(z)= -+fX(x)fY(z-x)dx。积分变量的有效区域为0 x 1, 0 z-x 1 0 x z, z-1 x 1. 当 0 z 1 时， fZ(z)= 0z1 1dx=z; 当 1z 2 时， fZ(z)= z-111 1dx=2-z; 当的其余取值时，fZ(z)=0。所以 Z 的概率密度 fZ(z)= z 0 z 12-z 1z 20 其他多维随机变量n 维随机变量 (X1,X2, ,Xn)的分布函数F(x1,x2

41、, ,xn)=PX1x1, X2x2, ,Xnxn .如果 X1,X2, ,Xn相互独立，且每个XiN(i,i2), 则 X=a1X1+a2X2+anXn N(i=1naii, i=1nai2i2) 如果 X1,X2, ,Xn相互独立， Xj的分布函数为FXj(xj)，则 M=maxX1,X2, ,Xn 的分布函数为Fmax(z)=FX1(x1)FX2(x2) FXn(x1n)，则 m=minX1,X2, ,Xn 的分布函数为Fmin(z)=1- (1-FX1(x1)(1-FX2(x2) (1 -FXn(x1n)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

42、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第四章随机变量的数字特征数学期望1. 随机变量数学期望的定义离散型E( )=i=1xipiE(g( )=i=1g(xi)pi连续型 E( )=-+xp(x)dx E(g( )=-+g(x)p(x)dx 2. 二维随机变量 (X,Y) 的数学期望：离散型E(X)=i=1xipi*=ijxipijE(Y)= jyjp*j=ijyipij连续型 E(X)=-+xfX(x)dx=-+-+xf(x,y)dxdy E(Y)=-+yfY(y)dy=-+-+yf(x,y)d

43、xdy 3. 二维随机变量X 的函数 Y=g(X) 的数学期望：Eg(X,Y)= ijg(xi,yj)pijEg(X,Y)= -+-+g(x,y)f(x,y)dxdy 4. 数学期望的性质E(c)=c , E(a )=a , E()=EE若与相互独立，则E()=E E例 1：设的密度函数p(x) = c/x2x1，30 其它求： E解1=-+p(x)dx c=3/2; E =-+xp(x)dx=13x32x2dx=32lnx=32ln3. 例 2设 x1，x2 是随机变量的两个任意取值，证明：E( - x1+x22)2 D。证：E( - x1+x22)2=E2- (x1+x2)+ (x1+x

44、22)2 = E2-(E )(x1+x2)+ (x1+x22)2- (E )2+(E )2=D +(E )2- (E )(x1+x2)+ (x1+x22)2=D +(E - x1+x22)2D . 例 3设随机变量的概率密度为fX(x)= 12e- |x| , -x0 均匀分布 Ua,b p(x)=1b-a a x b 0 其他a+b2(b-a)212几何分布 XGe(p) 分布列为PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 1p1-pp2超几何分布X h(n,N,M) PX=k=CMkCN-Mn-kCNnk=0,1,2,3, minM,nnMNnM(N-M)(N-n)N2(N-

45、1)指数分布 exp( ) p(x)=e- x x 0 0 x0112正态分布 N( ,2) p(x)= 12e-(x- )222(-x+ ) 2 二维正态分布N(1,12,2,22, ) p(x,y)= 12121-2exp-12(1-2)(x-1)212- 2 (x-1)(y-2)12+ (y-2)222 E =1E =2 D =12D=22 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第五章大数定律及中心极限定理切

46、比雪夫不等式切比雪夫不等式：P| -E |D2, P| -E | 1 - D2例 1：设随机变量1, 2, 3，独立同分布，且i服从参数为的指数分布， i=1,2,3，试根据切比雪夫不等式证明：P01+2+36/ 2/3 . 证：iexp( ), EI=1/ ; 令X=1+2+3,则EX=E(1+2+3)=3/， DX=D(1+2+3)=3/2.P01+2+36/ = P0X6/= P-3/X-3/3/ = P|X-3/|3/ 1 - DX2= 1- 3/2(3/ )2= 1- 39= 23例 2：已知随机变量X 的期望 E(X)=100 ，方差 D(X)=10 ，估计 X 落在 (80,1

48、独立，服从同一分布，且具有数学期望EXk= ，则对任意给定正数，恒有limnP| 1ni=1nxi | = 1 中心极限定理棣莫弗 (Demoiver)- 拉普拉斯 (Laplace)定理：设随机变量Yn (n=1,2,3,)服从参数为n, p 的二项分布，即YnB(n,p)，则对任意实数x，恒有limnPYn-npnpqx= (x) = -x12e-t22dt ab12e-t22dt 这一定理说明，服从二项分布B(n,p)的随机变量Yn作标准化后的随机变量Yn-npnpq的极限分布是标准正态分布N(0,1)。中心极限定理 (林德贝格 -勒维 )：设随机变量X1,X2, ,Xn, 相互独

49、立，服从同一分布，且具有数学期望EXk= ，和方差 D(Xk)=20，随机变量 Yn=(k=1nxk-n )/n的分布函数为Fn(x)，则对任意实数x，恒有limnFn(x)= limnPYnx= (x) = -x12e-t22dt 这一定理说明，k=1nxk的标准化随机变量Yn=(k=1nxk-n )/n的极限分布是标准正态分布N(0,1)。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 中心极限定理的用例 1：某计

50、算机系统由120 个终端，每个终端在1 小时内平均有3 分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少由10 个终端同时使用打印机的概率。解：设X 为同时使用打印机的终端的个数，则XB(120,p) ，这里p=3/60=0.05 。 E(X)=np=1200.05=6, D(X)=npq=60.95=5.7 。则 PX10=1 PX10=1 PX10=1 PX-65.710-65.7 利用中心极限定理上式近似等于=1-(1.6754)=1- 0.9621=0.0379. 即至少由 10 个终端同时使用打印机的概率为0.0379 例 2：在

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