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1、2.3.2 平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理12.在立体几何中，在立体几何中，“异面直线所成的角异面直线所成的角”是怎样定义的？是怎样定义的？ 直线直线a、b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线，分别引直线a /a， b/ b，我们把相交直线，我们把相交直线a 和和 b所成的锐角所成的锐角 （或直角）叫做异面（或直角）叫做异面直线所成的角直线所成的角. 3.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角是怎样定义的？是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，
2、叫做这条直线和这个平面所成的角线和这个平面所成的角. 范围：范围：( 0o, 90o 范围：范围： 0o, 90o 2空间两个平面有空间两个平面有平行平行、相交相交两种位置关系两种位置关系.在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的角转化为二维空间的角将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画，即平面角来刻画.接下来，接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题我们同样来研究平面与平面的角度问题. 两个相交平面的相对位置是由这两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的两个平面所成的“角角”来确定的来确定的3(
3、1) 半平面的定义半平面的定义一、二面角的概念一、二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面半平面l半平面半平面半平面半平面(2) 二面角的定义二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱，每个半平面叫做，每个半平面叫做二面角的面二面角的面l棱棱面面面面4平卧式：平卧式：直立式：直立式：l lAB (3) 二面角的画法和记法：二面角的画法和记法：面面1棱面棱面2点点1棱点棱点2二面角二面角 l 二面角二
4、面角 AB 二面角二面角CAB DABCD5直立式直立式 3 3、举出二面角的实例，并画出二面角。、举出二面角的实例，并画出二面角。平卧式平卧式二面角画法二面角画法 由上可知：各二面角的由上可知：各二面角的“张角张角”不同，那么如不同，那么如何度量二面角的大小呢？何度量二面角的大小呢？ 6 AOlB(4) 二面角的平面角二面角的平面角ABO以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于在两个面内分别作垂直于棱的两条射线棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. .如图，如图， ，则，则AOB成为二面角成为二面角
5、 的平面角的平面角. 它的大小与点它的大小与点O的选取无关的选取无关.,OAl OBll 二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足：角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱角的顶点在棱上角的顶点在棱上角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内78质疑二质疑二:在二面角的平面角的定义中在二面角的平面角的定义中O点是在棱上点是在棱上任取的，那么任取的，那么AOB的大小与点的大小与点O在棱上的位置在棱上的位置有关系吗？有关系吗？OAOB=BOA 等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）lABAB二面角的平面角大小与点二面角的平
6、面角大小与点O在棱上的位置无在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。关，只与二面角的张角大小有关。结论：结论：二面角是用它的平面角来度量的，一二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。多少度的二面角。O.8 lOAB00。，180180。 (4) 二面角的平面角二面角的平面角二面角的范围为：二面角的范围为：注注1：当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角大小为当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角大小为0 0。，当完，当完全展开是规定二面角的大小为全展开是规定二面角的大小为180；平面角是直角的二面角叫
7、做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角，此时称两半平面所在的两，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直个平面互相垂直.OAB9定义法定义法垂线法垂线法作棱的垂面法作棱的垂面法一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角 -l- 的的棱棱 l，且与两半平面的交线分别是射线且与两半平面的交线分别是射线 OA、OB，O 为垂足，则为垂足，则AOB AOB 为为二面角二面角 -l- 的平面角的平面角(5) 二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：OABl lOAB,ABABAAOl过 作,OBOBl连接则oABll补充10练习：练习：指出下列各图中的二面角的平面角：指出下列各图中的二面角的平面角：B
8、ACDAABCCDDB二面角二面角B-BC-AOEO二面角二面角A-BC-D14正方体AC中（定义法）（定义法）（垂线法）（垂线法）11寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角在正方体在正方体ABCD-AABCD-AB BC CD D中，找出下列二面角中，找出下列二面角的平面角：的平面角：（1 1）二面角）二面角D D-AB-D-AB-D和和A A-AB-D-AB-D；（2 2）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C和和C C-BD-A.-BD-A.BACDABCD12BACDABCD寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角在正方体在正方体ABCD-AABCD-AB BC CD D中，找出下列二面角
9、中，找出下列二面角的平面角：的平面角：（1 1）二面角）二面角D D-AB-D-AB-D和和A A-AB-D-AB-D；（2 2）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C和和C C-BD-A.-BD-A.13寻找二面角的寻找二面角的 平面角平面角BACDABCDO寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角在正方体在正方体ABCD-AABCD-AB BC CD D中，找出下列二面角中，找出下列二面角的平面角：的平面角：（1 1）二面角）二面角D D-AB-D-AB-D和和A A-AB-D-AB-D；（2 2）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C和和C C-BD-A.-BD-A.14BACDABCD
10、O寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角在正方体在正方体ABCD-AABCD-AB BC CD D中，找出下列二面角中，找出下列二面角的平面角：的平面角：（1 1）二面角）二面角D D-AB-D-AB-D和和A A-AB-D-AB-D；（2 2）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C和和C C-BD-A.-BD-A.15例例1 在正方体在正方体AC1中，中，E为为BC中点，中点，AB1C1DA1BCD1FAB1C1DA1BCD1EGH（1）（2）O1、求二面角、求二面角AB1CB的正弦值的正弦值; 2、求二面角、求二面角EB1D1C1的正切值。的正切值。16A .O解解：则则AD l .sin
11、ADO= 432 ADO=60.即二面角即二面角 l 的大小为的大小为60 .在在RtADO中，中，AOAD练练1： 已知二面角已知二面角 l ，A为面为面 内一点，内一点，A到到 的距离的距离为为 ，到，到l的距离为的距离为 4. 求求二面角二面角 l 的大小的大小. lD过过 A作作 AO 于于O，过过 O作作 OD l 于于D，连，连AD，2 3,4AOAD且ADO 就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角.2 3back练练 在二面角在二面角- -l- -的一个平面的一个平面内有一条直线内有一条直线AB，它与棱，它与棱 l 所成所成的角为的角为45，与平面，与平面所成的角为所成的角为
12、30，则这个二面角的大小是，则这个二面角的大小是_.45或或13517CDHG6003003：如图，山坡倾斜度是：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路度，山坡上一条路CD和坡底和坡底线线AB成成30度角度角.沿这条路向上走沿这条路向上走100米，升高了多少米，升高了多少? AB练习18一、计算二面角的关键是作出二面角的平面角，作出二面角的平面角， 其作法主要有：(1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二面角的平面角(2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所成的角是二面角的平面角二、求二面角的思路是 “一作、二证、三算”19如何检
13、测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？二、二、平面平面与平面垂直的判定与平面垂直的判定20文字语言：如果一个平面经过另一个平面文字语言：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，那么这两个平面的一条垂线，那么这两个平面 互相垂直互相垂直aa面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理符号语言符号语言： aAB图形语言：图形语言：该定理作用：该定理作用：“线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直”应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.21课堂练习：课堂练习：1.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的一
14、条直线，则内的一条直线，则.（ ）3. 如果平面如果平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内内的两条相交直线的两条相交直线, 则则.（ ） 一、判断：一、判断：4.若若m，m ，则，则.( )2.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的两条直线，则内的两条直线，则.（ ）221.过平面过平面的一条垂线可作的一条垂线可作_个平面个平面 与平面与平面垂直垂直.2.过一点可作过一点可作_个平面与已知平面垂直个平面与已知平面垂直.二、填空题：二、填空题：3.过平面过平面的一条斜线，可作的一条斜线，可作_个平个平 面与平面面与平面垂直垂直.4.过平面过平面的一条平行线可
15、作的一条平行线可作_个平个平 面与面与垂直垂直.一一无数无数无数无数一一23. aa已知：，求证： 证明：证明：CDABE在平面在平面内过内过B点作直线点作直线BECD，则则ABE就是二面角就是二面角- -CD- -的平面角，的平面角，设设=CD，AB在在上，上，则则BCD.AB，CD ，ABCD.AB，BE ， ABBE. 二面角二面角- -CD- -是直二面角，是直二面角，.aback24ABCPO O证明：证明：由由AB是圆是圆O的直径，可得的直径，可得ACBCPAABCBCABC平面平面BCPAC 平面PABCBCACPAACABCPBC 平面平面PAC平面PBC例例1: 如图，如图，
16、AB是圆是圆O的直径，的直径，PA垂直于圆垂直于圆O所在的平所在的平面于面于A，C是圆是圆O上不同于上不同于A、B的任意一点的任意一点.求证：平面求证：平面PAC平面平面PBC练习25例例2、已知直线、已知直线PA垂直正方形垂直正方形ABCD所在的平面，所在的平面，A为垂足。为垂足。求证：平面求证：平面PAC 平面平面PBD。证明：证明：。平面PBD平面PBD平面PAC平面PAC B BD DC C正正方方形形A AB BC CD D中中，A ABDBDPAPA平面ABCD平面ABCDBDBD平面ABCD平面ABCDPAPAA APAPAACAC平面PAC平面PAC平面PAC，PA平面PAC，
17、PAACAC平面PAC平面PACBDBD 平平面面P PB BD DB BD D ABDPCO262.2.如图所示：在如图所示：在RtRtABCABC中，中，ABC=90ABC=900 0 ,P ,P为为ABCABC所在平所在平面外一点，面外一点，PAPA平面平面ABCABC，你能发现哪些平面互相垂直，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？为什么？PABCPAABCPABABCPAPAB面面面面PAABCPACABCPAPAC面面面面27归纳小结：归纳小结： (1)判定面面垂直的两种方法：判定面面垂直的两种方法： 定义法定义法 根据面面垂直的判定定理根据面面垂直的判定定理(2)面面垂直的判定定理不仅是面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面判定两个平面互相垂直互相垂直的依据，而且是的依据，而且是找出垂直于一个平找出垂直于一个平面的另一个平面面的另一个平面的依据；的依据；(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看从面面垂直的判定定理我们还可以看出出面面面垂直面垂直的问题可以转化为的问题可以转化为线面垂直线面垂直的问题来的问题来解决解决. 28