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1、第八章第八章 交通流理论交通流理论2目目 录录18-2 交通流的统计分布特性28-4 排队论的应用38-3 跟驰理论简介48-5 流体动力学模拟理论513一、概念一、概念交通流理论交通流理论数学数学 物理学物理学力学力学 规划规划设计设计营运营运管理管理各种交通现象各种交通现象交通规律交通规律形成机理形成机理作为交通工程学作为交通工程学理论基础理论基础的交通流理论是的交通流理论是运用物理学和数学的方法运用物理学和数学的方法来描述交来描述交通特性的通特性的一门边缘科学一门边缘科学，它用分析的方法阐述，它用分析的方法阐述交通现象及其机理交通现象及其机理，使我们能，使我们能更好地理解交通现象及其本质
2、，并使城市道路与公路的规划设计和营运管理更好地理解交通现象及其本质，并使城市道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功效。发挥最大的功效。4二、发展二、发展v20世纪世纪30年代年代才开始发展，最早采用的是概率论方法。才开始发展，最早采用的是概率论方法。1933年，金蔡年，金蔡(Kinzer.J.P)论述了泊松分布应用于交通分析的可能性；论述了泊松分布应用于交通分析的可能性；1936年，亚年，亚当斯当斯(Adams.W.F)发表了数值例题；格林希尔茨（发表了数值例题；格林希尔茨（Greenshields）发表了用概率论和数理统计的方法建立的数学模型，用以描述交通流量发表了用概率论和数理统计的方
3、法建立的数学模型，用以描述交通流量和速度的关系。和速度的关系。v40年代，年代，由于二战的影响，交通流理论的发展不多。由于二战的影响，交通流理论的发展不多。v50年代，年代，随着汽车工业和交通运输业的迅速发展，交通量、交通事故和随着汽车工业和交通运输业的迅速发展，交通量、交通事故和交通阻塞的骤增，交通阻塞的骤增， 交通流中车辆的独立性越来越小，采用的概率论方法交通流中车辆的独立性越来越小，采用的概率论方法越来越难以适应，迫使理论研究者寻求新的模型，于是相继出现了跟驰越来越难以适应，迫使理论研究者寻求新的模型，于是相继出现了跟驰（Car Following）理论、交通波（）理论、交通波（Traf
4、fic Wave Theory）理论）理论（流体动力学模拟）和车辆排队理论（流体动力学模拟）和车辆排队理论（Queuing Theory）。这一时）。这一时期的代表人物有期的代表人物有Wardrop、Reuschel、Pipes、Lighthill、Whitham、Newel、Webster、Edie、Foote、Herman、Chandler等。等。5v 1959年年12月，月，交通工程学应用数学方面学者交通工程学应用数学方面学者100多人多人在底特律举行首届在底特律举行首届交通流理论国际研讨会交通流理论国际研讨会，并确定每三年并确定每三年召开一次。从此，交通流理论的研究进入了一个迅速发展召
5、开一次。从此，交通流理论的研究进入了一个迅速发展的时期。的时期。v 1975年年丹尼尔丹尼尔(Daniel I.G)和马休和马休(marthow，J.H)汇集了各方面的研究成果，出版了汇集了各方面的研究成果，出版了交通流理论交通流理论一书，一书，较全面、系统地阐述了交通流理论的内容及其发展。较全面、系统地阐述了交通流理论的内容及其发展。v 1990年年美国美国Adolf DMay出版了出版了Traffic Flow Fundamentalsv 1996年，年，美国联邦公路局（美国联邦公路局（The Federal Highway Administration，FHWA）出版了）出版了Monog
6、raph on Traffic Flow Theory。主编。主编Nathan HGartner，Carroll Messer，Ajay KRathi等。等。涉及的内容包括：涉及的内容包括：交通流特性、人的因素、车辆跟驰模型、交通流特性、人的因素、车辆跟驰模型、连续流模型、宏观交通流模型、交通影响模型、无信号交连续流模型、宏观交通流模型、交通影响模型、无信号交叉口理论、信号交叉口交通流理论、交通模拟和交通分配。叉口理论、信号交叉口交通流理论、交通模拟和交通分配。6三、种类三、种类交通流量、速度和密度的相互关系及量测方法；驾驶员处理信息的特性；.交通流模拟。7目目 录录8-1 概述128-3 排
7、队论的应用38-4 跟驰理论简介48-5 流体动力学模拟理论518一、交通流统计分布的含义与作用一、交通流统计分布的含义与作用：在某固定时段内车辆到达某场所的波动性；（也可描述某一路段上所拥有车辆数的分布特性）。泊松分布/二项分布/负二项分布：研究发生的的统计特性，如车头时距的概率分布。负指数分布/移位负指数分布/爱尔朗分布9是所谓的随机变数随机变数，描述这类随机变数的统计规律用的是离散型分布二、离散型分布二、离散型分布泊松分布泊松分布二项分布二项分布10()(1),1,2,0( )lim(),1,2,.,!( ) (1)!()!(1)(2)(1)( ) (1) (1)!1211 (1) (1
8、)(1)(1!kkn kknnnnnknnkn kkknkkPP xkC ppknnpP xkeknknPk nknnn nnnkknnnkknnn波松定理设，为常数，则有) (1)lim()!nkknnnnP xkeke11112222211122111111110222211001122100)()!1()()!2()()!1()()!1()(1()!1()(1) 1()!1()(!)()()()()!1()(!)()(21,1) 1(,! 0, 2 , 1,!)()()(1)(:0,!)(xEDkekekekkekkekkeekkxExExEDeekeekkkPxEMPkPPkekkPe
9、kPeePnkekkxPxxekkxPPkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk、均值和方差有则得，则由若、递推公式性质：，则称波松分布定义：若121. 1. 泊松分布泊松分布v 车流密度不大，车辆之间相互影响较小，其他外界干扰因素基本上不存在，即。(1) (1) 适用条件适用条件(2) (2) 基本公式基本公式!)(ketPtkkk=0,1,2, Pk在计数间隔t内到达k辆车的概率 单位时间间隔的平均到达率，辆/s t每个计数间隔持续的时间(s) e自然对数的底，取值2.71828131. 1. 泊松分布泊松分布(3) (3) 递推公式递推公式!)(ketPtkkmeP0kkPkm
10、P11tmv 分布的均值M和方差D都等于 (4) (4) 特征特征t计数间隔t内平均到达的车辆数D=M 14【例4-1】设60辆车随机分布在4km长的道路上，服从泊松分布，求任意400米路段上有4辆及4辆车以上的概率。解：t=400 m， =60/4000 辆/m，m= t=6辆15【例4-2】 Adams数值例题数值例题v对某一交叉口观测数据如下对某一交叉口观测数据如下,车辆到达数超过车辆到达数超过3辆辆的概率是多少？的概率是多少？16解：t=10s， =111/（180*10） 辆/m，m= t=0.6175397. 00meP3328. 001 mPP1026. 0212PmP0211.
11、 0323PmP0037. 0)(11)3(1)3(321030PPPPPPPki17【例4-3】某信号灯交叉口的周期C =97s，有效绿灯时间g =44s，在有效绿灯时间内排队的车流以s=900（辆/h）的交通量通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯交叉口上游车辆的到达率q=369（辆/h），服从泊松分布，求到达车辆不至于两次排队的周期数占周期总数的最大百分率。18。为排队的周期所占百分率到达车辆不致发生两次辆车的概率为不足，得由递推公式得辆，则由数为周期内能够到达的车辆中，上游车辆一个信号队。泊松叉口，就要发生二次排灯时间内都不能通过交辆车在该有效绿，则后面的，车辆的排
12、队长度大于大于内到达的车辆数，或者说如果周期辆车则不能通过交叉口辆，随后的第车辆数为个周期内能通过的最大灯时间内通过，所以一由于车流只能在有效绿解的最大百分率。致两次排队的周期能占使到达车辆不，且服从波松分布，求辆辆的到达率设信号灯交叉口上游车车辆要停车排队。有效绿灯时间外到达的的流量通过交叉口，在辆的车流以队，在有效绿灯时间内排，有效绿灯时间某信号灯交叉口的周期、%71087 . 0) 11(2111254. 011/9 . 9 25051 . 010/9 . 9 26311 . 09/9 . 9 11483. 08/9 . 9 09279. 07/9 . 9 06561. 06/9 . 9
13、 03976. 05/9 . 9 02008. 04/9 . 9 00811. 03/9 . 9 00246. 02/9 . 9 000497. 09 . 9 ) 1/(,00005. 0! 0/9 . 9 !9 . 99 . 93600/36997分布11N1111N12113600/90044：/h369q/h900s44sg97sC 2例110ii1011910897867564534231201109 . 909 . 9PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPkmPPePekPqCtmgsAkkkk192.2.二项分布二项分布v 车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。(1) (
14、1) 适用条件适用条件(2) (2) 基本公式基本公式k=0,1,2,n Pk一在计数间隔t内到达k辆车的概率；一平均到车率(辆/s)； t一每个计数间隔持续的时间(s) n一正整数，观测间隔t内可能到达的最大车辆数。knkknkntntCP)1 ()()!( !knknCknknkknkppCP)1 (p= t/n 一辆车到达的概率一辆车到达的概率 202.2.二项分布二项分布(3) (3) 递推公式递推公式v 均值v 方差(4) (4) 特征特征npP)1 (0kkPppkknP111knkknkppCP)1 (npM )1 (pnpDDM 212.2.二项分布二项分布(5) (5) 参数
15、估计参数估计msmp222smmnNiiNm11NiimNs122)(1122【例4-3】以15s间隔观测到达车辆数，得到结果。解：469. 71.03112.043311NiiNm999. 3)(11)(11122122NiiNiiNmNmNs465. 0469. 7/ )999. 3469. 7(p08.16465. 0/469. 7/Dmn231、基本公式：P(k) =C n-1k+n-1Pn(1-P)k ，k=0、1、2、3 式中：P、n为负二项分布参数，0P1，n为正整数。 此处的P m/n，n就是一个分布参数，不是能到达的最大车辆数。2、递推公式：P(0) =Pn ，3、适用条件：
16、适用于车辆达到的波动性很大的车流。如观测的时间段很长，包括了高峰期和非高峰期，或观测断面的地点在信号交叉口的下游，到达的车流具有很大波动性。 4、判断条件： ， 有M1时（明显大于1），可采用负二项分布。 ， （取正整数） (k)(k-1)k+n-1P =(1-P)Pk(1)nPMP2(1)nPDP2mPs22mnsm3.3.负二项分布负二项分布24四、离散型分布的拟合优度检验四、离散型分布的拟合优度检验-2 2检验检验 1 1、建立原假设、建立原假设2 2、计算统计量、计算统计量2 2：式中：N为样本计数间隔总数（不是总车辆数）； g为分组（段）数； fi 为实际观测值出现在第i组的频数；
17、Fi 为理论上观测数值出现在第i组的频数。且有：fi =N，Fi =N 3 3、确定统计量的临界值确定统计量的临界值2 2a a 2a值与置信水平和自由度DF有关，通常取0.05 。 DF=g-q-1，式中，q为约束数，指原假设中需确定的未知数的个数，对泊松分布q=1（只有m需确定），对二项分布和负二项分布q=2（需确定P、n两个参数）。22ggii2ii=1i=1iif -Ff = =()-NFF25 4 4、判断统计检验结果、判断统计检验结果 若：22a ，原假设被接受（成立） 22a ，原假设不成立。进行2检验的注意事项： 总频数N应较大，即样本容量N应较大； 分组应连续，分组数g不小于
18、5； 各组内的理论频数Fi不小于5，若某组内的Fi 5，则应将相邻若干组合并，直至合并后的Fi5为止，但此时应以合并后的实有组数作为计算2自由度的g值。26【检验举例】 对某一路段的一个方向车流，以30s的计数间隔对其车辆到达数进行连续观测，得到232个观测值。试求其统计分布，并检验之。 解： S2/m=1.285 说明可用泊松分布或负二项分布拟合是合适的。 若用泊松分布拟合，其参数m=5.254 若用负二项分布拟合，其参数 =0.78， =18.4 gi ii=1K fm=5.254N2g2iii=11S =(K -m) f =6.753N-12mPs22mnsm27 用2检验法判别这两种分
19、布的优劣： 泊松分布：把理论频数Fi 小于5的到达数合并后，并成10组，则： 由DF=g-q-1=10-1-1=8，取0.05，查表得：20.05=15.512 说明泊松分布拟合是不可接受的。 负二项分布：把理论频数Fi 小于5的到达数合并后，并成11组，则： 由DF=g-q-1=11-2-1=8，取0.05，查表得：20.05=15.512 说明负二项分布拟合是可以接受的。2222g2ii=1if172014 =-N=+23220.04F7.616.79.822222172086 =+2327.2212.120.76.47.5 28车流到达的统计规律除了可用计数分布来描述外，还可用车头时距分
20、布来描述，这种分布属于连续型分布。三、连续型分布三、连续型分布负指数分布负指数分布移位负指数分布移位负指数分布291.1.负指数分布负指数分布v 负指数分布负指数分布用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布，若车辆到达符合泊松分布，则车头时距就是负指数分布。(1) (1) 适用条件适用条件301.1.负指数分布负指数分布(2) (2) 基本公式基本公式tethP )( 式中，P(h t)到达的车头时距h大于t秒的概率。 车流的平均到达率(辆/s)。)(0thPePt!)(ketPtkk31【例题】对于单向平均流量为对于单向平均流量为360360辆辆/h/h的车流，求的
21、车流，求车头时距大于车头时距大于10s10s的概率。的概率。解：车头时距大于解：车头时距大于10s10s的概率也就是的概率也就是10s10s以内无车以内无车的概率。的概率。 由由 =360/3600=0.1=360/3600=0.1 同样，车头时距小于或等于同样，车头时距小于或等于10s10s的概率为：的概率为：37. 0)10()(101 . 0ehPethPt63. 01) th( teP321.1.负指数分布负指数分布由上例可见，设车流的单向流量为由上例可见，设车流的单向流量为QQ（辆（辆/h/h），则），则 =Q/3600=Q/3600，于是负指数公式可改写成：，于是负指数公式可改写成
22、：l负指数分布的均值负指数分布的均值MM和方差和方差D D分别为：分别为：3600)(QtethP211 DM331.1.负指数分布负指数分布车头时距服从负指数分布的车流特性车头时距服从负指数分布的车流特性 见图，曲线是见图，曲线是单调下降的，说明车头时距愈短，出现的概率愈大。单调下降的，说明车头时距愈短，出现的概率愈大。这种情形在不能超车这种情形在不能超车的单列车流中是不可的单列车流中是不可能出现的，因为车辆能出现的，因为车辆的车头与车头之间至的车头与车头之间至少存在一个车长，所少存在一个车长，所以车头时距必有一个以车头时距必有一个大于零的最小值大于零的最小值。342.2.移位负指数分布移位
23、负指数分布：用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。:：)(1)()()()()(tethPtethPtt211 DM352.2.移位负指数分布移位负指数分布 服从移位负指数分布的车头时距愈接近出现的可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的心理习惯和行车特点的。 车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后降。36【例题】在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道的次数，如果单向流量增加到900辆/h， 1h中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少？37解：行人
24、横过单向行车道所需要的时间： t =7.5/1=7.5s 因此，只有当h7.5s时，行人才能安全穿越，由于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大于7.5s的概率为： 对于 Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360，其中h7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：47240360057360360057.).(eePQth（次）（次）17047240360 .38当Q = 900辆/h时，车头时距大于7.5s的概率为：1h内车头时距次数为900，其中h7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：15340360057900360057.).(eePQ
25、th（次）（次）13815340900 .39目目 录录8-1 概述18-2 交通流的统计分布特性28-4 排队论的应用348-5 流体动力学模拟理论5140一、引言一、引言 原理原理：跟驰理论是运用动力学方法，探究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，用数学理论描述后车跟随前车的行驶状态。 发展发展：1950年 鲁契尔与1953年派普斯奠定基础； 1960年 赫尔曼与罗瑟瑞进一步扩充； 1961年 伽塞斯提出了最一般跟驰模型。 适用范围适用范围：非自由行驶状态下车队的特性：密度高、车间距离不大，车队中任一辆车的车速都受前车速度的制约，司机只能按照前车所提供的信息采用相应的车速。41二、车辆跟
26、驰特性分析二、车辆跟驰特性分析：司机不愿落后很多，而是紧跟前车前进：后车速度不能长时间大于前车的速度，否则会追尾：前后车之间必须保持一个安全距离42二、车辆跟驰特性分析二、车辆跟驰特性分析v 前车运行状态改变之后，后车也要相应作出改变，但是这种改变不是同步的。有一个反应时间的延迟。v 第1辆车的状态改变第2辆车状态改变第3辆车改变v 由于延迟性的存在，这种传递不是平滑连续的，而是脉冲一样间断连续的43三、线性跟驰模型三、线性跟驰模型跟驰模型是一种刺激反应的表达式。一个驾驶员所接受的是指其前方导引车的加速或减速以及随之而发生的这两车之间的和的变化；该驾驶员对刺激的是指其为了紧密而安全地跟踪前车地
27、加速或减速动作及其实际效果。44三、线性跟驰模型三、线性跟驰模型45三、线性跟驰模型三、线性跟驰模型46三、线性跟驰模型三、线性跟驰模型47三、线性跟驰模型三、线性跟驰模型)()(1)(1.1.txtxTTtxnnn48三、线性跟驰模型三、线性跟驰模型缺陷：缺陷：后车反应只依赖于它与前导车的速度差，而与两车间距及后随车本身的速度无关事实上：事实上：两车间距愈小，尾撞危险越大；后车速度越高，一旦尾撞事故越严重，要求反应越迅速有效。因此将模型推广为：)()()()()()(1111txtxtxtxTtxTtxnnlnnmnn 49v 非自由行驶的车队，在受到刺激后会向后传递运动状态。但当刺激很小时
28、，这种传递很快就会消失；当刺激很大时，这种传递会有扩大化的趋势，甚至会造成追尾，以至打破了车辆的正常运行。只有当刺激是某一数值时，这种状态变化才能稳定地传递下去。v 定义：C=T，称为反映车头间距变化的特征参数。（认为车头间距的变化与反应时间和反应强度大小有关）v 研究表明研究表明，当C=1/2时，车头间距是摆动的，但其变化也是衰减的，车队是稳定的。当C1/2时，车头间距是摆动的，而且向后的传递是增大变动幅度的，最终将导致发生追尾事故。因此，C=1/2是车队稳定与不稳定的判断界限。四四、线性跟驰模型、线性跟驰模型稳定性稳定性50 线性跟驰模型中反应仅与前后车的速度差有关。实际上，在相同速度差的
29、情况下，车头间距的大小也直接影响反应的大小，而且车头间距越小，反应越强烈。因此，有人提出了非线性跟驰模型： 五五、非非线性跟驰模型线性跟驰模型式中：是一比例常数，而且认为：=Vm= 1/2Vf51 还有人认为：后车的反应除跟前后车的速度差、车头间距有关外，还与后车速度有关。因此提出了跟驰模型的一般公式： 六六、跟驰模型的一般公式跟驰模型的一般公式11111()()( )( )( )( )mnnnnnnXtTXtTXtXtXtXt52v 跟驰模型是用于分析车辆跟驰驶的运动状态的，而实际上，对于通常状态的车流，也可看成是跟驰状态的一个特例。由上式也可以推出其车速密度关系曲线。v 如：取m=1，l=
30、2，则：11121()()( )( )( )( )nnnnnnXtTXtTXtXtXtXt忽略反应时间T，对其进行积分，并两边取ln，得：C) t (X) t (X) t (Xln1nn1n假定车辆以相同速度行驶，且车头时距相同，则有： lnV= -K+CV) t (X1nK1) t (X) t (X1nn53当K=0时，V=Vf；K=Km时，V=Vm可推出： （指数模型）同样：当取m=0，l=2时，可推出： （线性模型） 当m=0，l=1时，可推出： （对数模型）1mKKfeVVln21)KK1 (VVjfjmKV=V ln()K54目目 录录4-1 概述14-2 交通流的统计分布特性234
31、-3 跟驰理论简介44-5 流体动力学模拟理论5155一、引言一、引言：排队论是研究服务系统因“需求”拥挤而产生等待行列(即排队)的现象，以及合理协调“需求”与“服务关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称随机服务系统理论。 【食堂、医院、超市、银行、买火车票等等】56一、引言一、引言：v 1905年：丹麦 提出并应用于电话自动交换机设计；v 1936年：用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误问题v 1951年：予以推广应用v 1954年：应用排队模型估计收费亭的延误的报告中，将其应用于车辆 等候交通流空档的实验报告。 57一、引言一、引言：v 研究排队论实质上是解决最
32、优化问题，在交通设计和管理方面有动态优化和静态优化：是指排队系统的运营，也就是按什么方式接收服务，常见的例子有：行人管理、交通信号控制、对车行道上延滞的处理：是指合理的设计方案，比如：高速公路收费口的设计、地上地下停车场的设计、加油站的设计等。58二、排队论的基本原理二、排队论的基本原理v (1) ：要求服务的人或物（车）。v (2) ：为顾客服务的人或物。（交叉口、收费站）v (3) ：等待服务的顾客，不包括正在被服务的顾客。v (4) ：既包括了等待服务的顾客，又包括了正在被服务的顾客。59二、排队论的基本原理二、排队论的基本原理v (5) ：有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，平均顾客数
33、（期望值）。v (7) ：顾客到达时起至开始接受服务时止的这段时间。v (8) ：一个顾客在系统中停留的时间。v (9) ：服务台连续繁忙的时期。60二、排队论的基本原理二、排队论的基本原理：就是指各种类型的顾客(车辆或行人)按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如：v D定长输入：顾客等时距到达。v M泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。v Ek爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。61二、排队论的基本原理二、排队论的基本原理：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如：v 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。v 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，
34、他们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、消防车优先)等多种规则。v 混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队伍；若队伍长大于等于L，顾客就离去，永不再来。62二、排队论的基本原理二、排队论的基本原理服务次序：按顾客到达的先后次序给予服务。：电梯；钢板。：按照轻重缓急给予服务，重病号/轻病号、主干路/支路。：当一个顾客服务完了，在排队中随机取一个，电话总机。63二、排队论的基本原理二、排队论的基本原理：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。v D定长分布：每一顾客的服务时
35、间都相等；v M负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。v Ek爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。64二、排队论的基本原理二、排队论的基本原理65二、排队论的基本原理二、排队论的基本原理v 肯道尔(D.G.Kendall)1971年 国际排队符号标准会议v M/M/1/K/FCFS 66三、三、M/M/1M/M/1系统及其应用系统及其应用v M/M/1M/M/1系统（单通道服务系统）的基本概念：由系统（单通道服务系统）的基本概念：由于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因此也叫做此也叫做“单通道服务单
36、通道服务”系统。系统。服务服务（收费站）（收费站）输出输出输入输入M/M/1系统系统67三、三、M/M/1M/M/1系统及其应用系统及其应用主要参数：主要参数：v设平均到达率为设平均到达率为，则两次到达的平均间隔时间，则两次到达的平均间隔时间（时距）为（时距）为1/；设排队从单通道接受服务后出来；设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为的系统平均服务率（输出率）为， 则平均服务则平均服务时间为时间为1/ ；比率：比率： v称为交通强度或利用系数，由比率称为交通强度或利用系数，由比率即可确定各即可确定各种状态的性质。种状态的性质。 68三、三、M/M/1M/M/1系统及其应用系统
37、及其应用v当1（即），且时间充分，每个状态都会以非0的概率反复出现；当1（即），任何状态都是不稳定的，且排队会越来越长。要保持稳定状态，确保单通道排队消散的条件是1。v例如：某高速公路进口收费站平均每10s有一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要8s，即: 1/=10s； 1/=8s 如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。8081101./ 69三、三、M/M/1M/M/1系统及其应用系统及其应用为（即没有接受服务，也没有排队）：为（包括接受服务的顾客与排队的顾客之和）：为（平均接受服务的顾客与排队的顾客之和）： 10P)1 (nnP（辆）（辆）1)1 (n70： 当0.8以后，平均排
38、队长度迅速增加，排队系统变得不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。：v 是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。三、三、M/M/1M/M/1系统及其应用系统及其应用)1()1/(22 )(辆辆辆或辆或 s/ h/1 nd71三、三、M/M/1M/M/1系统及其应用系统及其应用 这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。)()(辆辆辆辆或或 s/ h/1 dw72三、三、M/M/1M/M/1系统及其应用系统及其应用： 这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。（辆）（辆）)(112 nnq73三、三、M/M/1M
39、/M/1系统及其应用系统及其应用： 即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。（辆）（辆）)(qqqww 1174三、三、M/M/1M/M/1系统及其应用系统及其应用 11)1 (1)1 (.)1 (1 (1P-1)(1)(kkkk0iiknPknP75三、三、M/M/1M/M/1系统及其应用系统及其应用 即系统中顾客数超过k+1的概率 2) 1()(kknPkQP76【例题】某条道路上设一观测统计点，车辆到达改点是随机的，单向车流量是800辆/h，所有车辆到达该点要求停车领取OD调查卡片，假设工作人员平均能在4s内处
40、理一辆汽车，符合复指数分布。试估计在该点上排队系统中的：平均车辆数；平均排队长度； 非零平均排队长度； 平均消耗时间； 平均等待时间；77 解：这是一个M/M/1系统，=800 (辆/h), =1/4 (辆/s)=900 (辆/h) =/=0.89 1 ，排队系统是稳定的。 系统中的平均车辆数平均排队长度非零平均排队长度系统中的平均消耗时间排队中的平均等待时间辆辆/36/0088shnd辆s/324631dw（辆）09. 989. 01111wq)(88009008001辆n)(7.110.89-8辆nq78【例题】某收费公路入口处设有一收费亭，汽车进入公路必须向收费亭交费。收费亭的收费时间服
41、从负指数分布，平均每辆车的交费时间为7.2秒，汽车到达率为400辆/h，并服从泊松分布。求： 收费人员空闲的概率； 收费亭前没有车辆排队的概率； 收费亭前排队长度超过12辆的概率； 平均排队长度； 车辆通过收费亭所花费时间的平均值； 车辆的平均排队时间。79 解：M/M/1系统，=400 (辆/h), =3600/7.2=500 (辆/h) =/=0.8 1 ，排队系统是稳定的。 即系统中没有车辆的概率：P0=1-=1-0.8=0.2当系统中没有车辆或只有1辆车时，便没有排队：排队超过12辆： 0.36)8 . 01 (8 . 0)8 . 01 ()1 ()1 () 1(10PPP)(36)(
42、0.0140050011shd）（s 28.8(h) 0.00850010.011dw044. 0)(2122kkQP（辆）2 . 38 . 018 . 0122q80【例题】修建一个服务能力为100辆/h的停车场，布置一条进入停车场的引道，车辆到达率为60辆/h，进入停车场的引道长度能够容纳6辆车，是否合适 。解： =60（辆/h）, =100 （辆/h） =/=0.6 1 ，排队系统是稳定的。进入停车场的引道长度能够容纳6辆车,如果系统中的平均车辆数小于6辆车则是合适的，否则，准备停放的车辆必然影响交通。合适辆辆)(6)(1.56 . 016 . 01n81验证系统中平均车辆数超过6辆车的
43、概率P(n6)，如果P(n6)很小，则得到 “合适”的结论正确。由：验证结果表明：系统中平均车辆数超过6辆车的概率P(n6)不足5%，概率很小，进入停车场的引道长度是合适的。03. 0)6(161knP82【例题】有一超市的收款员平均每小时服务30人，顾客平均每小时25人的速率到达。问（1）有一名顾客或更多顾客排队的平均队长？ （2）欲使平均队长减少一人，服务时间要如何改进才能适应需求？解： =25（人/h）, =30 （人/h） =/=0.83 1 ，排队系统是稳定的。则得到p=0.8， =/得到=31 （人/h）（人）611wq（2）511wq（1）83一、一、相关概念补充相关概念补充1.
44、 1. 行车时间行车时间v 行车时间指汽车沿一定路线在实际交通条件下从一处到达另一处行车所需的总时间(包括停车和延误)。2. 2. 延误延误v 延误指车辆在行驶中，由于受到驾驶员无法控制的或意外的其他车辆的干扰或交通控制设施等的阻碍所损失的时间。四、简化排队论的延误分析四、简化排队论的延误分析84二二、行车时间与延误的含义及延误产生的原因、行车时间与延误的含义及延误产生的原因：由交通控制装置所引起的延误，与道路交通量多少及其他车辆干扰无关的延误。：由于各种交通组成间相互干扰而产生的延误。一般它含纵向、横向与外部和内部的干扰，如停车等待横穿、交通拥挤、连续停车以及由于行人和转弯车辆影响而损失的时
45、间。：指车辆在实际交通流条件下由于该车本身的加速、减速或停车而引起 时间延误，即与外部干扰无关的延误；：由于某些原因使车辆实际停止不动而引起的时间延误。四、简化排队论的延误分析四、简化排队论的延误分析85二二、行车时间与延误的含义及延误产生的原因、行车时间与延误的含义及延误产生的原因3. 3. 延误产生的原因延误产生的原因v 基本延误主要产生在车辆通过交叉口时，这种延误与交通流动特性无关，是由信号、停车标志、让路标志及平交道口等原因造成的。v 运行延误是因受其他车辆或行人干扰而产生的。车辆干扰，如车辆停止、启动、转弯、故障以及行人过街等的干扰交通内部干扰，如交通量增大产生拥挤、道路通行能力不足
46、、合流及交织交通等的影响。四、简化排队论的延误分析四、简化排队论的延误分析86四、简化排队论的延误分析四、简化排队论的延误分析8788【例题】已知信号控制交叉口，其进口道的红灯时间为40S，绿灯时间为45S，黄灯时间为5S。假设该进口道上游的交通流均匀到达，其到达率为600辆/小时，绿灯亮启后的饱和流率为1200辆/小时，每周期绿灯信号结束时进口道无残留排队车辆。试求该进口的排队延误、最大排队车辆、绿灯亮启后排队的消散时间，受阻车辆总数。8990目目 录录4-1 概述14-2 交通流的统计分布特性24-3 排队论的应用34-4 跟驰理论简介45191一、流体动力学理论建立 v车流连续性方程的建
47、立 设车流顺次通过断面和的时间间隔为t，两断面的间距为x。车流在断面的流入量为Q、密度为K；同时，车流在断面得流出量为：(Q+Q)， (K-K)，其中：K的前面加一负号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量增加而减小。 x tQ KQ+Q K-K KQ(K,Q)(K-K,Q+Q )92一、流体动力学理论建立 v车流连续性方程的建立：车流连续性方程的建立： 根据物质守恒定律，在根据物质守恒定律，在t时间内：时间内： 流入量流入量-流出量流出量=x内车辆数的变化，内车辆数的变化， 即：即： Q-(Q+Q)t=K-(K-K)x 或：或： ，取极限可得：，取极限可得： 含义为：当车流量随距离而降低时，车辆
48、密度随含义为：当车流量随距离而降低时，车辆密度随时间而增大。时间而增大。0 xQtK 0 xQtK93一、流体动力学理论建立v车流波及波速：车流波及波速： 列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后，列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度高的队列；当绿灯即陆续停车排队而集结成密度高的队列；当绿灯开启后，排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有开启后，排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有适当密度的队列。适当密度的队列。 车流中两种不同密度部分的分界面掠过一辆车流中两种不同密度部分的分界面掠过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。 此车
49、流波动沿道路移动的速度称为波速。此车流波动沿道路移动的速度称为波速。94二、车流波动理论v波速公式的推导：波速公式的推导： 假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（区域（K1和和K2）用垂线）用垂线S分割这两种密度，称分割这两种密度，称S为波阵面，设为波阵面，设S的速度为的速度为w（ w为垂线为垂线S相对于相对于路面的绝对速度），并规定垂线路面的绝对速度），并规定垂线S的速度的速度w沿车沿车流运行方向为正。由流量守恒可知，在流运行方向为正。由流量守恒可知，在t 时间内时间内由由A进入进入S面的车辆数等于由面的车辆数等于由S面驶入面驶入B的车辆数，的
50、车辆数，即：即： 式中式中: (V1-w)、(V2-w)分别为车辆进出分别为车辆进出S 面面前后相对于前后相对于S 面的速度。面的速度。tKwVtKwV2211)()(95二、车流波动理论V1=100km/hK1=10辆辆/kmV2=80km/h K2=14辆辆/km 车头间距车头间距71mwwK1 V1K2 V2ABSS96二、车流波动理论 由：由： 规定：当规定：当K2K1，密度增加，产生的，密度增加，产生的w为集结波。为集结波。12121112221211221122122221112211)()()(KKQQwKVQKVQKKKVKVwKVKVKKwwKKVwKKVtKwVtKwV 得