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1、数学学习能力 的考法赏析,说明一关于“数学学习能力”的构成要素，有不同角度和不同的认识，各有相应的道理。,说明二数学学习能力既反映在学生对已学知识掌握的情况和程度上，更体现在学生数学学习的潜在能力上。,在这样的认识基础上，则数学学习能力的考法可以分为三个层面：,第一个层面，通过对已学知识掌握的概括化程度来考查学生的数学学习能力；,第二个层面，通过在已学知识基础上做深入化或延展性的探究来考查学生的数学学习能力；,第三个层面，通过“新知识”或“一般性方法”的获得及运用来考查学生的数学学习能力,一、通过对已学知识掌握的概括化程度来考查学生的数学学习能力,1、从“实际背景”概括到数学基本模型,例1绵阳
2、市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨 (1)王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ (2)若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？,2007年四川省绵阳市课改中考试题,例2一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图11所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图12所示，它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过
3、O点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大, 求使图11花圃面积为最大时Rr的值及此时花圃面积，其中R、r分别为大圆和小圆的半径； 若L=160m，r=10m，求使图2面积为最大时的值,2007年安徽省芜湖市中考题,例3如图3，小山上有一棵树现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端到水平平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB,要求： (1)画出测量示意图； (2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）； (3)根据(2)中的数据计算AB,2007年四川乐山中考题,2、从数学的“非基本模式”概括到“基本模式”,例4图21是三个直立于水平
4、面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）将它们拼成如图22的新几何体，则该新几何体的体积为 cm3（计算结果保留）,【2007年河北省中考试题】,例5某班数学兴趣小组在一次学习研讨中，兴奋地发现一个真命题，内容如下： 如图41，正三角形ABC中，在AB，AC边上分别取点M，N，使BM=AN，连接BN，CM，那么BN=CM，且NOC=60 (1)请证明上述真命题 (2)请你运用类比的思想，大胆猜测，在横线上填写适当内容，得到一个类似的真命题：,如图42，正方形ABCD中，在AB，AC边上分别取点M，N，使AM=BN，连接AN，DM，那么AN= ，且DON= 度（不要求证明）,200
5、7年四川省成都市双流县中考题,例6 如图5，ABCD是边长为1的正方形，其中的圆心依次是点A，B，C (1)求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长； (2)判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由,【2007年河南省中考试题】,二、通过在已学知识基础上做深入化探究和拓展性探究来考查学生的数学学习能力,(一)在一般性认识的基础上做进一步的深入探究,1. 探究一个整体或一个过程中的某一特殊的“存在性”,例1已知：在RtOAB中，OAB=90，BOA=30，AB=2，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图6所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内
6、的点C处, 求点C的坐标； 若抛物线 经过C，A两点，求此抛物线的解析式； 若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由,（注： 抛物线的顶点坐标为 ，对称轴公式为 ）,【2007年河南省中考试题】,例2如图7，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a3 ）动点M，N同时从B点出发，分别沿B到A，B到C 运动，速度是1厘米秒过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q当点N到达终点C时，点M也随之停止运动设运动时间为t秒 若a=4厘米，t=
7、1秒，则PM=_厘米； 若a=5厘米，求时间t，使 PNB PAD ，并求出它们的相似比； 若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；, 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由,【2007年江苏省扬州市中考试题】,2.探究某一特殊结论或特殊条件,例3如图10，点O是等边ABC 内一点，AOD= 110， BOC = 将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，连接OD 求证：COD是等边三角形； 当=150时，试判断AOD的形状，并说明理由；,【2007年
8、福建省宁德市中考试题】, 探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形？,(二)在某一“特殊”的认识基础上做拓展性探究,1探索拓展过程中的“不变性”,例4如图11，已知ABC中，AB=BC=1，ABC=90，把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转 在图11中，DE交AB于M，DF交BC于N, 证明DM=DN； 在这一旋转过程中，直角三角板DEF与ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积,是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； 继续旋转至如
9、图11的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；, 继续旋转至如图11的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明,【2007年山东省临沂市中考试题】,例5 如图111，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且FAE=EAD，那么EFAE”他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图112、图113、114)，其他条件不变，发现仍然有“EFAE”的结论 你同意小明的观点吗？若同意，请给
10、结合图114加以证明；若不同意，请说明理由,【2007年辽宁省大连市中考试题】,2.探索拓展过程中的“变化规律”,例6在ABC中，AB=AC，点P为ABC所在平面内一点，过点P分别作PEAC交AB于点E，PFAB交BC于点D，交AC于点F,若点P在BC边上（如图14），此时，可得结论：PD+PE+PF=AB ,请直接应用上述信息解决下列问题： 当点P分别在ABC内（如图14），ABC外（如图14）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明,【2007年黑龙江省中考试题】,例7如图8，已知AB=AC， (1)若CE
11、=BD，求证：GE=GD；(6分) (2)若CE=mBD(m为正数)，试猜想GE与GD有何关系(只写结论，不证明),【2007年湖南省常德市中考试题】,三、设置学习与应用新知识或掌握与运用一般性方法的过程来考查学生的数学学习能力,1、设置“新知识”的学习与应用过程,例1 如图16，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等,【2007年江苏省常州市中考试题】, 设矩形相邻两条边长分别是a 和b（ab），将矩形的“接近度”定义为 ，于是 越小，矩形越接近于正方形 你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“
12、接近度”一个合理定义, 设菱形相邻两个内角的度数分别为m和n，将菱形的“接近度”定义为 ，于是， 越小，菱形越接近于正方形 若菱形的一个内角为70，则该菱形的“接近度”等于 ； 当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形,例2如图17，我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边 写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；, 如图，已知格点（小正方形的顶点）O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，请你画出以格点为顶点，OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；, 如图，将
13、ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60，得到DBE，连结AD，DC，DCB=30求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形,【2007年内蒙古自治区鄂尔多斯市中考试题】,2、实践一个具有“一般性方法”意义的探究过程,例3 阅读材料并解答问题： 与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正n(n3)边形的面积为S正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积 (1)如图，当n=3时， 设AB切P于点C，连结 OC，OA，OB， OCAB，OA=OB，,AC=rtan60，AB=2rtan
14、60,(2)如图，当n=4时，仿照(1)的方法和过程可求得：,(3)如图，当当n=5时，仿照（1）的方法和过程求S正五边形； (4)如图，根据以上探索过程，请直接写出S正n边形 ,【2007年山西省临汾市中考试题】,例4如图19，点C将线段AB分成两部分，如果 ，那么称点C为线段AB的黄金分割点,某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积 分别为S1，S2，如果 ，那么称直线l为该图形的黄 金分割线,(1)研究小组猜想：在ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图19)，则直线CD是ABC的黄金分割线你认为对吗？为什么？ (2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ (3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DFCE，交AC于点F，连接EF(如图19)，则直线EF也是ABC的黄金分割线 请你说明理由,【2007年江苏省连云港市中考试题】,(4)如图19，点E是 的边AB的黄金分割点，过点E作EFAD，交DC于点F，显然直线EF是的黄金分割线请你画 的一条黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点,