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1、【典例精讲】答案题型一：二次函数的解析式的求法例1已知二次函数满足且的最大值是8，求此二次函数的解析式。解法一：利用二次函数的一般式设由题意得：解得 所求二次函数为解法二：设 抛物线对称轴为 又根据题意函数有最大值为 解之得解法三：利用双根式由已知的两根为故可设，又函数有最大值即 例2设二次函数满足，且的两实数根平方和为10，图象过点(0,3), 求的解析式.解 设 由知，该函数图象关于直线对称, 即 又图象过点，c=3. 由得故题型二：二次函数最值或值域问题例3已知函数在区间0,1上的最大值是2，求实数a的值.解：，对称轴为 （1）当，即时，由得，与矛盾，不合要求（2）当，即时，在0,1上单
2、调递减，有，（3）当，即时，在0,1上单调递增，有，综上，得例4.已知函数在区间上的最大值为1，求实数的值。解：因为是求闭区间上的最值，则最大值可能产生在抛物线的端点或顶点上。 即函数的最大值只能在或或处取得（1）令，解得，此时 故的最大值不可能在处取得。（2）令，解得，此时（对称轴靠近，开口向上）故当时取得最大值1（3）令，解得，要使在处取得最大值， 必需且，所以综上，所求的值为例5. 已知函数，求函数在区间上的最大值解：（1）当即时，在上单调递增， 此时（2）当，即时，（3）当时，在上单调递减。 此时综上可知 例6.函数在闭区间上的最小值为（1）试写出的函数表达式（2）求的最小值解：（1）
3、当，即时，在上是减函数当，即时，当时，在上是增函数 从而（2）当时，当时，当时，综上，的最小值为-8题型三：已知二次函数的解析式，求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求参数的范围，这两类是常见题型，关键是利用二次函数的图像。例7已知二次函数在上递减，则的取值范围是 解：对称轴为 要想在上递减，必需 所以题型四：二次函数的综合应用例8已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且 它在y轴上的截距为4,又对任意的都有。 （1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图象都在直线的下方，求c的取值范围.解：（1）解法一：的对称轴为又为二次函数，可设又当时，得令，得解法二：令二次函数的图像与轴交于
4、且设二次函数又所以（2）由条件知在上恒成立，即对恒成立例9.已知二次函数(a、b为常数且a0)满足条件：,且方程 有等根.（1）求的解析式；（2）设，试求在区间-1,1上的最小值；（3）是否存在实数m、n(mn)，使的定义域和值域分别是m，n和3m,3n?如果存在， 求出m、n的值，若不存在，请说明理由.解：（1）的对称轴又有等根有等根.（2）其对称轴为，函数图象是开口向下的抛物线，故求最小值只需讨论区间两个端点-1与1离对称轴的距离.当，即时，为最小值；当，即时，为最小值.（3）假设存在这样的m、n满足条件，即故二次函数在区间m,n上是增函数，从而有mn,m=-4,n=0.例10.已知函数（
5、1） 当时，恒成立，求的范围（2） 当时，恒成立，求的范围解：（1）恒成立，即恒成立，只需，即（2）当，即时， 由当，即时， 由当，即时，由，得综上得例11.已知函数(1)若函数的值域为，求的值(2)若函数值为非负数，求函数的值域解：（1）函数的值域为（2）对一切函数值均为非负二次函数在上单调递减即的值域为【练习答案】5、已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是 解:本题考查二次函数图象及其性质，由于二次函数的开口向上，对称轴为,若使其在 区间内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即6.已知函数在闭区间上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为 解: ,其对称轴为 当时，,故
6、, 又,.综上，.7.(2008江西文，12）已知函数,若对于任一实数, 与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 解：若时， , 符合题意.若时，在时，；在时，,需要在上恒成立.符合题意.若时,在时，;在时，需使在上恒成立，综上可知，.8、若函数,的图象关于对称，则 .解:函数的图象的对称轴为9.设二次函数的定义域为,则的值域中有 个整数.解: 函数的对称轴为 函数在定义域,上单调递增， ,10.已知函数. （1）若函数的最小值,且c=1, （2）若,且在区间(0,1恒成立，试求b的取值范围.解:（1）由已知,且 解得.（2），原命题等价于在(0,1上恒成立， 第8页 共8页 一元二次函数的图象和性质