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1、 第一章 基本初等函数2 指数函数的图像及性质 一、学习目标1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质二、知识梳理1指数函数的定义一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2指数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域R，值域(0，)图象过定点(0,1)，即x0时，y1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数三、典型例题知识点一指数函数的概念例1给出下列函数：y23x；y3x1；y3x；yx3；y(2)x.其中，指数函数的个数是()A0 B1
2、 C2 D4答案B解析中，3x的系数是2，故不是指数函数；中，y3x1的指数是x1，不是自变量x，故不是指数函数；中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故是指数函数；中，yx3的底为自变量，指数为常数，故不是指数函数中，底数20，不是指数函数规律方法1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.2求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件跟踪演练1若函数y(43a)x是指数函数，则实数a的取值范围为_答案a|a，且a1解析y(43a)x是指数函数，需满足：解得a且a1.故a的取值范围为a|a，且
3、a1知识点二指数函数的图象例2如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cd Bba1dcC1abcd Dab1dc答案B解析方法一在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大由指数函数图象的升降，知cd1，ba1.ba1dc.方法二作直线x1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知ba1dc.故选B.规律方法1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数yax(a0，a1)的图象与直线x1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相
4、应的底数由小变大2处理指数函数的图象：抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；巧用图象平移变换；注意函数单调性的影响跟踪演练2(1)函数y|2x2|的图象是()(2)直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_答案(1)B(2)0a解析(1)y2x2的图象是由y2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y|2x2|的图象是由y2x2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的(2)当a1时，在同一坐标系中作出函数y2a和y|ax1|的图象(如图(1)由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解当0a1，作出函数y2a和y|ax1|的图象(如图(
5、2)若直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个交点，由图象可知02a1，所以0a.知识点三指数型函数的定义域、值域例3求下列函数的定义域和值域：(1)y；(2)y；(3)y.解(1)由x40，得x4，故y的定义域为x|xR，且x4又0，即1，故y的值域为y|y0，且y1(2)由12x0，得2x1，x0，y的定义域为(，0由02x1，得12x0，012x1，y的值域为0,1)(3)y的定义域为R.x22x3(x1)244，416.又0，故函数y的值域为(0,16规律方法对于yaf(x)(a0，且a1)这类函数，(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；(2)值域问题，应分以下两
6、步求解：由定义域求出uf(x)的值域；利用指数函数yau的单调性求得此函数的值域跟踪演练3(1)函数f(x)的定义域为()A(3,0 B(3,1C(，3)(3,0 D(，3)(3,1(2)函数f(x)x1，x1,2的值域为_答案(1)A(2)，2解析(1)由题意，自变量x应满足解得3x0.(2)1x2，x3，x12，值域为.四、课堂练习1下列各函数中，是指数函数的是()Ay(3)x By3xCy3x1 Dyx答案D解析由指数函数的定义知a0且a1，故选D.2yx的图象可能是()答案C解析01且过点(0,1)，故选C.3y2x，x1，)的值域是()A1，) B2，)C0，) D(0，)答案B解析
7、y2x在R上是增函数，且212，故选B.4函数f(x)ax的图象经过点(2,4)，则f(3)的值是_答案解析由题意知4a2，所以a2，因此f(x)2x，故f(3)23.5函数yx21的值域是_答案(0,2解析x211，y12，又y0，函数值域为(0,21.指数函数的定义域为(，)，值域为(0，)，且f(0)1.2当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快五、巩固练习1y2x1的定义域是()A(，) B(1，)C1，) D(0,1)(1，)答案A解析不管x取何值，函数式都有意义，故选A.2已知集合M1,1，N，则MN 等于()A1,1
8、 B1 C0 D1,0答案B解析2x14，212x122，1x12，2x1.又xZ，x0或x1，即N0，1，MN13函数y2x1的图象是()答案A解析当x0时，y2，且函数单调递增，故选A.4当x2,2)时，y3x1的值域是()A(，8 B，8C(，9) D，9答案A解析y3x1，x2,2)上是减函数，321y321，即y8.5指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_答案1a2解析由题意可知，02a1，即1a2.6函数yax51(a0)的图象必经过点_答案(5,2)解析指数函数的图象必过点(0,1)，即a01，由此变形得a5512，所以所求函数图象必过点(5,2)7已知函数f
9、(x)ax1(x0)的图象经过点(2，)，其中a0且a1.(1)求a的值；(2)求函数yf(x)(x0)的值域解(1)f(x)的图象过点(2，)，a21，则a.(2)由(1)知，f(x)()x1，x0.由x0，得x11，于是0()x1()12，所以函数yf(x)(x0)的值域为(0,28函数y5|x|的图象是()答案D解析当x0时，y5|x|5x()x，又原函数为偶函数，故选D.9已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于()A3 B1 C1 D3答案A解析依题意，f(a)f(1)212，2x0，a0，f(a)a12，故a3，选A.10方程|2x1|a有唯一实数解，则a的取值范围是
10、_答案a|a1，或a0解析作出y|2x1|的图象，如图，要使直线ya与图象的交点只有一个，a1或a0.11求函数y()x22x2(0x3)的值域解令tx22x2，则y()t，又tx22x2(x1)21，0x3，当x1时，tmin1，当x3时，tmax5.故1t5，()5y()1，故所求函数的值域，12函数f(x)ax(a0，且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大，求a的值解若a1，则f(x)是增函数，f(x)在1,2上的最大值为f(2)，最小值为f(1)f(2)f(1)，即a2a.解得a.若0a1，则f(x)是减函数，f(x)在1,2上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，f(1)f(2)，即aa2，解得a综上所述，a或a.13设0x2，y432x5，试求该函数的最值解令t2x,0x2，1t4.则y22x132x5t23t5.又y(t3)2，t1,4，y(t3)2，t1,3上是减函数；t3,4上是增函数，当t3时，ymin；当t1时，ymax.故函数的最大值为，最小值为. 8 / 8