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1、第七节第七节* 矩阵的有理标准形矩阵的有理标准形 前一节中证明了前一节中证明了复数域复数域上上任一矩阵任一矩阵A都可都可相似相似于于一个一个若当形矩阵若当形矩阵. 这一节将这一节将对对任意数域任意数域P来来讨论讨论类似的问题类似的问题. 我们证明我们证明P上上任一矩阵任一矩阵必相似于必相似于一个一个有理标准形矩阵有理标准形矩阵. . 定义定义8 对数域对数域P上的一个上的一个多项式多项式 d()=n+a1n- -1+an称矩阵称矩阵 121100010001000aaaaAnnn(1)为为多项式多项式d()的的伴侣阵伴侣阵. 容易证明，容易证明，A的的不变因子不变因子(即即E- -A的的不变因
2、子不变因子)是是)(,1,1 ,11dn 个个 (见习题见习题3) 定义定义9 下列下列准对角矩阵准对角矩阵 sAAAA21(2)其中其中Ai分别是数域分别是数域P上某些上某些多项式多项式 di() (i=1,2, ,s)的的伴侣阵伴侣阵，且满足，且满足d1()| d2()|ds() ， A就称为就称为P上的一个上的一个有理标准形矩阵有理标准形矩阵. 引理引理 (2)中矩阵的中矩阵的不变因子不变因子为为 1,1, ,1, d1(),d2(),ds() ，其中其中 1 的个数等于的个数等于 d1(), d2(), , ds() 的的次数之和次数之和n减去减去s. 证明证明 因为因为 ssAEAE
3、AEAE 2211进而用初等变换将进而用初等变换将E- -A变成变成 )(11 id由于每个由于每个Ei- -Ai的的不变因子不变因子为为1,1, ,1, di() ，故可，故可用初等变换把它变成用初等变换把它变成 )(11)(11)(1121 sddd(3)在在矩阵矩阵(3)上再进行一些行或列互换，则可变成上再进行一些行或列互换，则可变成 )()(2)(111 sddd由于由于 d1() | d2() | |ds() ，故它是，故它是E- -A的标准形，的标准形，而而1,1, ,1, d1(),d2(),ds()是它的是它的不变因子不变因子. 定理定理14 数域数域P上上nn方阵方阵A在在P
4、上上相似于相似于唯唯一的一个一的一个有理标准形矩阵有理标准形矩阵，称为，称为A的有理标准形的有理标准形. 证明证明 设设A的的(E- -A的的)不变因子为不变因子为 1,1, ,1, d1(),d2(),ds() ，其中，其中d1(),d2(),ds() 的次数的次数1，且，且1的个数的个数d1(),d2(),ds()的次数之和减去的次数之和减去s，设，设di()的伴侣阵是的伴侣阵是Bi ，则作，则作如引理所述，如引理所述，B的不变因子与的不变因子与A的不变因子完全相的不变因子完全相同，故同，故B相似于相似于A ，即，即B是是A的的有理标准形矩阵有理标准形矩阵. 又又B是由是由A的不变因子唯一
5、决定，故的不变因子唯一决定，故B由由A唯一唯一决定决定. 证毕证毕. sBBBB21 定理定理15 设设A是数域是数域P上上n维线性空间维线性空间V的的线性变换线性变换，则在则在V中存在中存在一组基一组基，使，使A在在该基该基下的下的矩阵是有理矩阵是有理标准形标准形，并且，并且这个这个有理标准形有理标准形由由A唯一决定唯一决定的，称的，称为为线性变换线性变换A的的有理标准形有理标准形. 把定理把定理14的结论变成的结论变成线性变换形式的结论线性变换形式的结论就就成为成为例例 设设33矩阵矩阵A的的初等因子初等因子为为(- -1)2, (- -1) ，则它，则它的的不变因子不变因子是是1, (- -1), (- -1)2 ，它的，它的有理标准形有理标准形为为 210100001A1A2