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1、4.1 任意角的正弦函数、余弦 函数的定义1.1. 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. . （重点）（重点）2.2.理解正弦函数、余弦函数在四个象限内的符理解正弦函数、余弦函数在四个象限内的符号号. .（重点）（重点）3.3.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义数的定义. .( (难点难点) )思考：锐角三角函数是怎么定义的？思考：锐角三角函数是怎么定义的？sin_;cos_.aa=邻邻边边斜斜边边对对边边斜斜边边对边对边邻边邻边斜边斜边你能把锐角的正弦、余弦坐标化吗？你能把锐角的正弦、余弦坐标化吗？_
2、;cos_;sin(u,0)OP(u,v)yMx22vuu22vuv 以原点为以原点为O圆心，以单位长圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆度为半径的圆叫做单位圆A(1,0)OP(u,v)yMx 下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角进一步研究锐角 的正弦函数、余弦函数。的正弦函数、余弦函数。sin,cos,MPvOPOMuOP 当点当点P(u,v) 就是就是 的终边与的终边与单位圆单位圆的交点时的交点时,锐角三角函数会有什么结果？锐角三角函数会有什么结果？探究新知探究新知 设设是一个任意的象限角，那么当是一个任意的象限角，那么当在第一、在第一、二
3、、三、四象限时，二、三、四象限时，sinsin的取值符号分别如何？的取值符号分别如何？coscos的取值符号分别如何？的取值符号分别如何？sinvcosu一、任意角的正弦函数、余弦函数定义一、任意角的正弦函数、余弦函数定义：xyOP(u,v)A(1,0) 如图，设如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆是一个任意角，它的终边与单位圆交于点交于点P(u,v)，那么：，那么：（1）v叫做叫做的正弦，记的正弦，记作作sin， 即即 sin= = v （2）u叫做叫做的余弦，记作的余弦，记作 cos，即，即 cos= =u探究新知探究新知22vuv22vuu 22, )0,sinsin,coscos.3
4、x yrxyyyrrxxrr如图，在直角坐标系设 是一个任意角， 终边上任意一点P 除了原点 的坐标为（，它与原点的距离为那么比值叫作 的正弦，记作，即比值叫作 的余弦，记作，即利用角终边上一点的坐标定义正弦函数、余弦函数r任意角任意角，即可以用角度制表示，也可以用弧度，即可以用角度制表示，也可以用弧度制表示。制表示。例如：给定一个例如：给定一个0 09090的角（不包括的角（不包括0 0和和9090 ）就可以得到一个正弦函数值、余弦函数值与之对）就可以得到一个正弦函数值、余弦函数值与之对应应.如图所示：如图所示：1 1313sin30,cos30.22 2 23030由上一节引入的弧度的概念
5、，我们由上一节引入的弧度的概念，我们可可以将以将sin30sin30写成写成 ，sin6以后若不做特殊说明，角的单位均为弧度以后若不做特殊说明，角的单位均为弧度.正弦、余弦函数是以实数为自变量的函数正弦、余弦函数是以实数为自变量的函数 角角（其弧度数等于这个实数）（其弧度数等于这个实数）三角函数值三角函数值（实数）（实数）实数实数三角函数三角函数定义域定义域值域值域y=y=sinsinx xR R-1,1-1,1y=y=coscosx xR R-1,1-1,1根据三角函数的定义，研究三角函数的值在各个象限的符号根据三角函数的定义，研究三角函数的值在各个象限的符号. .OxyOxysiny co
6、sx sincos+_+_口诀：口诀： 全正，全正，正弦，正弦，全负，全负，余弦余弦提升总结：提升总结：正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号 象限象限 第一象限第一象限 第二象限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限 图示图示 正弦函正弦函数符号数符号 余弦函余弦函数符号数符号 + + +- -+ + +- - - -正弦、余弦函数值符号的确定判断下列三角函数值的符号(1)sin4cos4；(2)sin8cos8.思路分析确定4rad,8rad所在象限，则符号易定正弦、余弦函数值符号的确定判断下列三角函数值的符号(1)sin4cos4；(2)sin8c
7、os8.思路分析确定4rad,8rad所在象限，则符号易定解：解：（1 1）如图，以原点为角的顶点，以）如图，以原点为角的顶点，以 x x轴非负半轴为始轴非负半轴为始边，顺时针旋转边，顺时针旋转 ，与单位圆交于点，与单位圆交于点P P， 即为所求作的角即为所求作的角. .例例1 1 在直角坐标系的单位圆中，在直角坐标系的单位圆中，(1) (1) 画出角画出角；(2) (2) 求出角求出角的终边与单位圆的交点坐标；的终边与单位圆的交点坐标；(3) (3) 求出角求出角的正弦函数值、余弦函数值的正弦函数值、余弦函数值. .4 22(3)sin(),cos().4242 4MOP 22(2)PP.4
8、22 由于，点 在第四象限，所以点 坐标为（，）,4 Oy yM Mx x1 1P P-4变式变式1：求求 的的正弦函数值、余弦函数值。 xyOPA(1,0)M分析分析：如左图所示，角在第四象限；如左图所示，角在第四象限；随堂演练随堂演练35 =回顾归纳总结回顾归纳总结:求已知角的三角函数确定角的终边角的终边是基础，求出角终边与单位圆的交点坐标交点坐标是关键。），（23-215313-22易知的终边与单位圆的交点为（ ，）21cos23-sin=，即例例2 2 已知角已知角 终边上一点终边上一点P P 求角求角 的正弦函数值、的正弦函数值、余弦函数值余弦函数值. .解解: : 因为点因为点P
9、P 在角在角 的终边上，的终边上，所以所以 可知可知则则sin = sin = coscos = =3(,2),23(,2)23 3x = -,y = 2,x = -,y = 2,2 222223535r = OP = (- ) +2 =.r = OP = (- ) +2 =.2222y24,5r523x32.5r52 1.1.已知角的终边经过已知角的终边经过 ，求的正弦函数值、，求的正弦函数值、余弦函数值余弦函数值P23，解：解：y33 13sin,r1313x22 13cos.r1313 所以22x2,y3,r( 2)( 3)13, 因为所以x xy yO OP P1.任意角的正弦、余弦函数的定义：任意角的正弦、余弦函数的定义： 2.计算计算任意角的正弦、余弦函数值。任意角的正弦、余弦函数值。 3.三角函数符号的判断三角函数符号的判断本堂小结本堂小结(1)初中已经学习过的锐角 正弦函数、余弦函数定义, （2）利用单位圆定义正弦函数、余弦函数）利用单位圆定义正弦函数、余弦函数 3 利 用 角 终 边 上 一 点 的 坐 标 定 义 正 弦 函 数 、余 弦 函 数