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1、知识提要知识提要一、向量的概念一、向量的概念 既有既有_又有又有_的量叫做向量。用有向线段的量叫做向量。用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的表示向量时，有向线段的长度表示向量的_，有向线段的箭头所指的方向表示向量的有向线段的箭头所指的方向表示向量的_ _ _叫零向量叫零向量 _叫做单位向量叫做单位向量 _的的_向量叫做平行向量，因为任一组平向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做向量也叫做_ _ 。零向量与任一向量平行。零向量与任一向量平行_且且_的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量 知识提要知识提要一、
2、向量的概念一、向量的概念 _叫做相反向量叫做相反向量 二、向量的表示方法二、向量的表示方法 几何表示法、字母表示法、坐标表示法几何表示法、字母表示法、坐标表示法 知识提要知识提要三、向量的加减法及其坐标运算三、向量的加减法及其坐标运算 四、实数与向量的乘积四、实数与向量的乘积 定义：实数定义：实数 与向量与向量 的积是的积是 一个向量，一个向量，记作记作 a a 五、平面向量基本定理五、平面向量基本定理如果如果e e1 1、e e2 2是同一个平面内的两个不共线向量，是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量a a，有且只有一，有且只有一对实数对实
3、数1 1,2 2，使，使a a=1 1e e1 1+2 2e e2 2 , ,其中其中e e1 1，e e2 2叫叫基底基底知识提要知识提要六、向量共线六、向量共线/ /平行的充要条件平行的充要条件七、非零向量垂直的充要条件七、非零向量垂直的充要条件八、线段的定比分点八、线段的定比分点设设 是是 上的两点，上的两点，P P是是 上上_的任意的任意一点，则存在实数一点，则存在实数 ，使，使_，则，则 为点为点P P分分有向线段有向线段 所成的比，同时，称所成的比，同时，称P P为有向线段为有向线段 的定比分点的定比分点 21, ppll12p p 12p p 定比分点坐标公式及向量式定比分点坐标
4、公式及向量式知识提要知识提要九、平面向量的数量积九、平面向量的数量积(1)(1)设两个非零向量设两个非零向量a a和和b b，作，作OAOAa a，OBOBb b，则则AOBAOB叫叫a a与与b b的夹角，其范围是的夹角，其范围是00，| |b b|cos|cos叫叫b b在在a a上的投影上的投影(2)|(2)|a a|b b|cos|cos叫叫a a与与b b的数量积，记作的数量积，记作a ab b，即即 a ab b| |a a|b b|cos|cos(3)(3)平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示知识提要知识提要十、平移十、平移( , )( , )(,)P x yah
5、 kP xyxxhyyk 将将按按平平移移到到，则则平平移移公公式式：典例解读典例解读1 1、给出下列命题：、给出下列命题：若若| |a a|=|=|b b| |，则，则a a= =b b；若若A A，B B，C C，D D是不共线的四点，则是不共线的四点，则AB= DCAB= DC是四边形是四边形ABCDABCD为平行四边形的充要条件；为平行四边形的充要条件；若若a a= =b b, ,b b= =c c，则则a a= =c c；a a= =b b的充要条件是的充要条件是| |a a|=|=|b b| |且且a ab b；若若a ab b, ,b bc c，则，则a ac c 其中，正确命题
6、的序号是其中，正确命题的序号是_2 2、已知、已知a a, ,b b方向相同，且方向相同，且| |a a|=3|=3，| |b b|=7|=7，则，则|2|2a a- -b b|=_|=_3 3、若将向量、若将向量a a（2 2，1 1）绕原点按逆时针方向旋）绕原点按逆时针方向旋转转 得到向量得到向量b b，则向量，则向量b b的坐标为的坐标为_4 典例解读典例解读4、下列算式中不正确的是、下列算式中不正确的是( ) (A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC (C) 0AB=0 (D)(a)=()a 5 5、若向量、若向量a a=(1,1),=(1,1),b b=(1,-1),=
7、(1,-1),c c=(-1,2)=(-1,2)，则，则c c=( ) =( ) 13.22Aab13.22Bab 31.22Cab 31.22Dab6 6、函数、函数y=xy=x2 2的图象按向量的图象按向量a a=(2,1)=(2,1)平移后得到的平移后得到的图象的函数表达式为图象的函数表达式为( ) ( ) (A)y=(x-2)(A)y=(x-2)2 2-1 (B)y=(x+2)-1 (B)y=(x+2)2 2-1 -1 ( (C C)y=(x-2)y=(x-2)2 2+1 (D)y=(x+2)+1 (D)y=(x+2)2 2+1+1 7 7、平面直角坐标系中，、平面直角坐标系中，O O
8、为坐标原点，已知两点为坐标原点，已知两点A(3A(3，1)1)，B(-1B(-1，3)3)，若点，若点C C满足满足OC=OA+OBOC=OA+OB，其中其中 、RR，且，且+=1,+=1,则点则点C C的轨迹方程的轨迹方程为为( ) ( ) (A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)(A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=5 =5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0(C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0典例解读典例解读9 9、设、设P P、Q Q是四边形是四边形ABCDABCD对角线对角线ACAC、BDBD中点，中点，BC=BC=a a
9、,DA=,DA=b b，则，则 PQ=_PQ=_8 8、已知、已知A(5,-1)A(5,-1)、B(-1,7)B(-1,7)、C(1,2)C(1,2)，求，求ABCABC中中AA平分线长平分线长1010、若、若a a、b b、c c是非零的平面向量，其中任意两个是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则向量都不共线，则( ) ( ) (A)(A)(a a) )2 2( (b b) )2 2=(=(a ab b) )2 2 (B)|(B)|a a+ +b b| | |a a- -b b| | (C)(C)(a ab b) )c c-(-(b bc c) )a a与与b b垂直垂直 ( (D)
10、(D)(a ab b) )c c-(-(b bc c) )a a=0 =0 典例解读典例解读1111、设设a=(1,0),b=(1,1)a=(1,0),b=(1,1)，且，且(a+b)(a+b)b b，则，则实数实数的值是的值是( ) ( ) (A)2 (B)0 (A)2 (B)0 (C)1 ( (C)1 (D D)-1/2)-1/2典例解读典例解读12( 2,3)(2,7)1|3ABPABAPABP 、已已知知点点和和，点点 在在直直线线上上，且且，求求点点 的的坐坐标标典例解读典例解读13(cos,sin),(cos,sin),(0)(1)abababbakb 、设设在在平平面面上上有有两
11、两个个向向量量：试试证证：与与互互相相垂垂直直；(2)(2)两两个个向向量量 kaka与与的的模模相相等等时时，角角 - -等等于于多多少少？其其中中k k为为非非零零实实数数1414、在三角形、在三角形ABCABC中，中， = =（2 2，3 3），）， = =（1 1，k k），），且三角形且三角形ABCABC的一个内角为直角，求实数的一个内角为直角，求实数k k的值的值ABAC1515、在、在ABCABC中，点中，点M M为为BCBC的中点，的中点，A A，B B，C C三点的坐标分别为三点的坐标分别为(2,-2)(2,-2)，(5,2)(5,2)，(-3,0)(-3,0)，点点N N在
12、在ACAC上，且上，且 ，AMAM与与BNBN的的交点为交点为P P，求点，求点P P分向量分向量 所成的比所成的比的的值，并求点值，并求点P P的坐标的坐标2ANNC AM 典例解读典例解读典例解读典例解读1616、利用向量证明：、利用向量证明：ABCABC中，中，M M为为BCBC的中的中点，则点，则 ABAB2 2+AC+AC2 2=2(AM=2(AM2 2+MB+MB2 2) )1818、O O是平面上一定点，是平面上一定点，A A、B B、C C是平面上不共线是平面上不共线的三个点，动点的三个点，动点P P满足满足 = += +（ + + ） 00，+）则则P P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC的（的（ ）A A外心外心B B内心内心C C重心重心D D垂心垂心OP| ACACOA| ABAB1717、已知、已知ABCABC中，中，A(2,-1)A(2,-1)，B(3,2)B(3,2)，C(-3,-1)C(-3,-1)，BCBC边上的高为边上的高为ADAD，求点，求点D D和和向量向量 AD