《《球的表面积和体积》ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《球的表面积和体积》ppt课件.ppt（51页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、人类的家地球人类未来的家火星探索火星的航天飞船 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？为什么？ 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？哪一个球充入的气体较多？为什么？ 怎样求球的表面积和体积？怎样求球的表面积和体积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，
2、怎样求球的表面积和体积呢？平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积曹冲称象曹冲称象H假设将圆n等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多边形)(2113221AAAAAApn正多边形pC21圆正多边形时，当CCRpn,2221RRRS圆pA3回顾圆面积公式的推导回顾圆面积公式的推导 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了积公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”他用加倍的方式他
3、用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”这样这样重复下去，就达到了重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”这是世界上最早的这是世界上最早的“极限极限”思想思想,21RRr,)(222nRRr已知球的半径为已知球的半径为R,用用V表示球的体积表示球的体积.)2(223nRRrAOAOB2C2r2r3r1OR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)
4、1(22niinRRri irOAnininRnRrVii,2, 1,)1(1232niinRRri,2, 1,)1(22nVVVV21半球)1(2122223nnnnR6) 12() 1(123nnnnnnR6)12)(1(1123nnnR) 1(1 21 11 1222223nnnnnR6)12()1()1(21222nnnn6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn时时当当.343233RVRV 从从而而半半球球334RVR 的的球球的的体体积积为为：定定理理：半半径径是是 在球的体积公式的推导过程中，使用了在球的体积公式的推导过程中，使用了“分割、求近似值、再将近似值转化为
5、球的体分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积积”的方法：的方法： 即先将半径即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积等分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当近似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的无限变大时，就可得到半球的体积体积例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. .3336125)25(3434cmRV 例题讲解例题讲解(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7
6、.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由计算器算得由计算器算得:24. 2 x5 . 42 x例题讲解例题讲解 球面不能展开成平面图形，所以求球的球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢公式呢? ? 回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, , 得到启发，得到启发，可以借助极限思想方法来推导球
7、的表面积公可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式式第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVnVVVVV 321iSOO第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O第第三三步：步：化化为为准准确确和和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: : “
8、小锥小锥体体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的体体积积为为：RiS iVihiSO OiV,31343RSRRhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径 .42RS从而例1已知球的表面积为已知球的表面积为4，求它的体积，求它的体积解设球的半径为设球的半径为R，则，则4R24，解得，解得R1，所以球的表面积所以球的表面积S4R243236.所 以 球 的 体 积34R4V =33变式练习1 已知球的体积为已知球的体积为36，求它的表面积（，求它的表面积（ ）A 12 B 24 C 36 D
9、4834 RR=36R=33解：设球的体积是 ，则，解得c题型一球的表面积与体积 题型二球的组合体与三视图 例2（2016年辽宁卷）某个几何体的三视图如图所示，则这个几何某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积体的表面积_ .解：由三视图可知该几何体的由三视图可知该几何体的下部是棱长为下部是棱长为2的正方体，上部是的正方体，上部是半径为半径为1的半球，该几何体的表面的半球，该几何体的表面积为积为该几何体的表面积是为该几何体的表面积是为24+24+反思与感悟1.由三视图求球与其他几何体的简单组合由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的体的表面积和体积，关键要
10、弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义结构特征和三视图中数据的含义.2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为原来的则半径变为原来的 倍倍. .(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的 倍倍. .(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是 . .(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是 . .2422:134:1 影响球的
11、表面积及体积的只有一个元素，影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是就是球的半径球的半径. . n方法一：方法一：直接法直接法n方法二：方法二：构造直角三角形构造直角三角形n方法三：方法三：补形补形正方体的内切球正方体的内切球, 棱切球棱切球,外接球外接球正方体与球正方体与球切点：切点：各个面的中心各个面的中心。球心：球心：正方体的中心正方体的中心。直径：直径：相对两个面中心连线相对两个面中心连线。o球的直径等于正方体棱长。aR 2一、正方体的内切球一、正方体的内切球例题3(2015年全国卷改编年全国卷改编)一个球内切于棱长为一个球内切于棱长为2的正方体，的正方体，求它的表面积。求它的表面积。
12、题型三球的切接问题A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O大显身手我最棒大显身手我最棒 S=41R二、正方体的棱与球相切（棱切球）二、正方体的棱与球相切（棱切球）球的直径等于正方体一个面上的对角线长aR22切点：切点：各棱的中点各棱的中点。球心：球心：正方体的中心正方体的中心。中学学科网中学学科网直径：直径： “对棱对棱”中点连线中点连线例例4 4、 一个球与这个棱长为一个球与这个棱长为2 2的正方的正方体各条棱相切，求它的体积。体各条棱相切，求它的体积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O8 23222 2RaA
13、BCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面对角面正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。三、正方体的外接球三、正方体的外接球2a23RaaR32例例5 5、一、一个球过这个棱长为个球过这个棱长为2 2的正方体的的正方体的各个顶点，求这个球的表面积各个顶点，求这个球的表面积. .A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O12232 3Ra正方体的内切球，棱切正方体的
14、内切球，棱切球，外接球球，外接球三个球心合一三个球心合一1:2 :3半径之比为半径之比为：长方体的外接球长方体的外接球对角面对角面22ab2222R a b c Rcbalcba2222，则、分别为设长方体的长、宽、高例例6 6、长方体的一个顶点上三条棱长分别是长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,53,4,5，且它的且它的8 8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（是（ ） A A2525 B B 50 50 C C 125 125 D D都不对都不对B【解题关键】正方体的体对角线与球的直径相等。练习练习. .如图，正方体如图，正方体ABCD-AA
15、BCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的它的各个顶点都在球各个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A
16、 A1 1O O正方体的外接球正方体的外接球变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。关键关键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系2a2 2 a 二、构造直角三角形二、构造直角三角形 1. 用一个平面去截球，截面是用一个平面去截球，截面是圆面圆面；用一个平面去；用一个平面去 截球面，截球面， 截线是截线是圆圆。大圆大圆-截面过球心截面过球心,半径等于球半径半径等于球半径; 小圆小圆
17、-截面不过球心截面不过球心A2. 球心和截面圆心的连线球心和截面圆心的连线垂直垂直于截面于截面2223.dRrRrd球心到截面的距离 与球的半径及截面圆的半径 的关系：.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;81256)34(343433 RV例例7.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的的距离等于球半径的一半，且距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积求球的体积，表面积12 变式、 平面截球O所得截面圆的半径是 ，球心O到截面的距离是， 则此球的体
18、积是 解析如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，2,1OOOM则22( 2)13OM34( 3)4 33V= 3R即球的半径4 3反思与感悟反思与感悟：利用球半径、截面圆半径、：利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把球心到截面的距离构建直角三角形是把空间空间问题问题转化为转化为平面问题平面问题的主要途径的主要途径.MOOMOO三、三、补形法补形法ACBPO Oa例8：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，其外接球的表面积是?类型一、棱两两垂直类型一、棱两两垂直23 aADCBP（高 考 题 全 国 卷 第题 ）在 四 棱 锥中 ， 棱两 两 垂 直 ， 顶 点
19、都 在 球上 ，则 球的 表 面 积 是 （ ） 20159P-ABCDAB,AD,APAD=1,AB=6 ,AP=3P,A,B,C,DOOA4B 8 C 16D 20C,aDAABCABBC DAABOABCDOBC变式2：已知球 的面上四点 、 、 、 ，则球 的体积等于？平面，,32Ra332Va2014A-BCDAB,AC,ADAB=1,AD= 6,AC=3A,B,C,DOOA 4B 8 C 16D 20年全国卷改编题在三棱锥中，侧棱两两垂直，顶点都在球 上，则球 的表面积是（ ） C 9P-ABCABCPA=8PB=PC= 73AB=3例 ：已知三棱锥中，三角形为等边三角形，且，则其
20、外接球的体积为？类型二、直棱柱类型二、直棱柱4,3dr2219Rdr76 193V解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理弦值再利用正弦定理 得到小圆半径得到小圆半径 ，从而解决问题。，从而解决问题。rCc2sin112 1 sin6032AA 解：由已知条件得：12AA2222cos603ABCBCABACABAC在中由余弦定理得3BCABCr设的外接圆的半径为 ，22sin60BCr则1r 22221=+= 1 +1 = 22AARr外接球的半径（）2=48SR32,1,60ABACBAC111ABCABCABCDOABCDO求正四面体外接球的半径求正四面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径例例10. 求棱长为求棱长为 a 的正四面体的正四面体 D ABC 的外接球的外接球的表面积的表面积。64Ra232a类型四、正四面体与球类型四、正四面体与球