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1、u上节内容回顾：上节内容回顾：1、模型中的参数、模型中的参数X X具有先验信息，求具有先验信息，求X X的最佳估计称的最佳估计称“滤波滤波”；2 2、另有非模型中的参数、另有非模型中的参数XX与模型中参数有相关关与模型中参数有相关关系称系称“推估推估”；3 3、协方差函数的确定。协方差函数的确定。最小二乘配置（拟合推估）最小二乘配置（拟合推估）u解决的问题：解决的问题： 既包含求定既包含求定信号信号的估值内容，又包含求定倾向的估值内容，又包含求定倾向参参数数的估值内容，即兼有求定信号和参数的估值情况，的估值内容，即兼有求定信号和参数的估值情况，称为称为“最小二乘配置法最小二乘配置法”。u最小二
2、乘配置与滤波最小二乘配置与滤波- -推估区别：推估区别： 前者求参数与信号估值；后者求定信号估值。前者求参数与信号估值；后者求定信号估值。（信号：已测点和未测点）u可见： 测量平差中的测量平差中的“滤波滤波”也就是通过也就是通过L(L(观测值观测值) )求定求定信号信号( (随机参数）随机参数）X X和和XX的估值的方法；的估值的方法； “配置配置”是既求是既求信号信号又求又求参数参数的估值方法，或者说的估值方法，或者说当观测方程中含有非随机性质和随机性质的两类参当观测方程中含有非随机性质和随机性质的两类参数时，数据处理需用配置方法。数时，数据处理需用配置方法。 故，可以说，故，可以说，“配置
3、配置”是一种概括了是一种概括了经典最小二乘经典最小二乘平差、平差、滤波和推估滤波和推估的广义平差法。的广义平差法。例如：在重力测量中，每一个点上的重力观测值都是正常重力、重力异常和观测误差之和，即：正常重力取决于所采用的参考系统的正常重力取决于所采用的参考系统的4 4个基本参数，个基本参数，是不具有随机性质的变量（倾向）；是不具有随机性质的变量（倾向）；重力异常则是随机量，亦即信号。重力异常则是随机量，亦即信号。()ggXg 例：在卫星观测中，距离观测值S是卫星正常轨道参数X以及由地球重力场所引起的扰动T的函数，于是， 其中：X是不具有随机性质的变量（倾向参数），地球重力场所引起的扰动T则是随
4、机量，即信号。以上这类问题，都是：如何根据观测数据同时确定以上这类问题，都是：如何根据观测数据同时确定非随机参数和信号的最优估值，在测量平差中称为非随机参数和信号的最优估值，在测量平差中称为“最小二乘配置法最小二乘配置法”。12(, )uSXXXTn 不难看出，配置的数学模型可表示为：不难看出，配置的数学模型可表示为： 其中：其中：X X为滤波信号为滤波信号 XX推估信号、推估信号、 Y Y为倾向参数（非随机参数为倾向参数（非随机参数 ） 12110ttLBXGYXBIXX， 1 1、最小二乘配置的估值公式、最小二乘配置的估值公式函数模型：根据广义最小二乘原理，则可写出观测方程为：LBXGYX
5、XXXLXLXLBXGY随机参数的方差阵为XXXZX XXXZXDDDDD令：则：误差方程或写为：权阵：XXXXVXLVXLVBXGYLZZZVZLVB ZGYL120ZZZDDPDD先考虑先考虑D DX X=0=0，D D =0=0情况，即：情况，即：由广义最小二乘原则由广义最小二乘原则 求自由极值，求自由极值，得：得：minTTZZZV PVV PV12000ZDPD()()0;()()0TTZZZTTZZZV PVV PVZZV PVV PVYYZZZVZLVB ZGYL00TZZZTB PVPVG PV即等价：而：按矩阵求导，得：回代到观测方程得法方程：解法方程：解的方差阵：()TTT
6、ZZZZZZZTTTZB P BP ZB P GYB P LP LG P B ZG P GYG P L1TTTZZZZZZZTTZTZB P BPB P GB P LP LG P BG P GG P LY 1 TTZZYZZZZTTYZYZDDB P BPB P GDDG P BG P G02等于1 也可以利用矩阵反演公式（取单位权方差也可以利用矩阵反演公式（取单位权方差0 02 2=1=1），可变换公式为：），可变换公式为：11111()() ()() ()() ()TTTTXXXTTXXXXTTXX XXXYGBD BDGGBD BDLBLXLD BBD BDLGYBLXLDBBD BDL
7、GYBL 111111()()()()()TTXYTTTTXXXXXXYTTTTXXX XXXXXYDGBD BDGDDD BBD BDEGD GBD BDBDDDDBBD BDEGD GBD BDBDl以上求的的实际是估值误差的方差和协方差。以上求的的实际是估值误差的方差和协方差。若若D DX X00，D D 00情况下，由广义最小二乘原理：情况下，由广义最小二乘原理： minTV PV 12000,minZZZZZZZZZZZTVELELZVZYBXLVBLBGLGYDDDDDPDDDDV PV 即：则按间接平差法得：min0TTTV PVB PBXB PL特殊地，当特殊地，当G=0G=0
8、，上述即为最小二乘虑波和推估公式。，上述即为最小二乘虑波和推估公式。仍可得到配置的公式：仍可得到配置的公式：p也可以按以下方法推导配置估值计算公式也可以按以下方法推导配置估值计算公式（将配置的函数模型改写，按附有参数条件平差方法求估值）p 按附有参数的条件平差方法推导出配置公式。00VBXXGYL即0VBXGYL仍按广义最小二乘原则，组成新函数：2()min000TTTXXXV PVV P VKVBXGYLXYV00 xVBVGyfAVGyf或者：12000 xDPD在广义最小二乘准则或直接代入附有参数的条件平差系列公式，得出配置的计算公式。 2 2、滤波、配置的验后单位权方差、滤波、配置的验
9、后单位权方差验后单位权方差估值普遍公式为：验后单位权方差估值普遍公式为：1)1)滤波的验后单位权方差：滤波的验后单位权方差：2)2)配置的验后单位权方差为：配置的验后单位权方差为：20,TTXXXyyV PVV P Vtnt:为倾向参数Y的个数20(TTfV PVV PVtdnt是非随机参数个数）20TTXXXV PVV P Vn 3 3、最小二乘配置的应用、最小二乘配置的应用例：在相距均为1.445的5个点处测得F(u)的函数值Li(i=1,2,5),观测数据列于下表。12)( )F tbb tS t（12)( )F uaa uX u（例题：题意：题意：1、观测值、观测值L,(5个），依赖于
10、个），依赖于U；2、建立函数模型、建立函数模型F(U),待估参数是：待估参数是：a1,a2,X(U)；3、 X(U)是函数残余变形。是函数残余变形。 1、2作为非随机参数作为非随机参数Y； X（）为函数变形信号（）为函数变形信号. 函数模型：函数模型：5 15 5 5 12 15 15 2LB XG Y 5 510.00011.44512.89014.33515.7800.61081.08632.90344.59256.2714TBEGIuL1212)( )( )F uaa uX uaX uIuaBXGY（由:得: 随机模型：随机模型： 根据协方差函数式计算根据协方差函数式计算X X和和XX的
11、方差、协方差。的方差、协方差。r01.4452.8904.3355.7800.72252.16753.61255.05750.12600.05940.00620.000200.10440.02320.0012022( )0.1260exp( 0.36),ijijijijXD rrruuDELE XO是 与两点间隔、（ ）计算结果列表：计算结果列表：ij 代入配置公式即可求出随机参数、非随机参数等。代入配置公式即可求出随机参数、非随机参数等。11111()() ()() ()() ()TTTTXXXTTXXXXTTXX XXXYGBD BDGGBD BDLBLXLD BBD BDLGYBLXLD
12、BBD BDLGYBL 120.32520.9891aYa0.22210.55900.10520.1082X 倾向参数：倾向参数：插值点估值：插值点估值： 中间点的函数内插估值为： 将前述求出的Y（a，b）和内插点X的估值，回代到内插值的方程（上式），就可求四个中间点函数值的内插估值。12( )( )F uaa ux u0.81771.91013.79325.4359TF 00114 6 0;4 6 0;44xxyys为 点 间 距 离方法一：按滤波推估方法求解方法一：按滤波推估方法求解 设重力异常估值为设重力异常估值为X X（不考虑其非随机部分）（不考虑其非随机部分）,XXXXLXVXLDD
13、DD即即可按滤波推估公式计算估值了可按滤波推估公式计算估值了 方法二：按最小二乘配置法求解方法二：按最小二乘配置法求解1 1）把重力异常值与点位的关系（趋势）当成是系统）把重力异常值与点位的关系（趋势）当成是系统部分；部分；2 2）信号为重力异常随机部分。）信号为重力异常随机部分。LGYX 关于用最小二乘法求重力异常关于用最小二乘法求重力异常1）重力异常一般认为包含：随机部分和系统部分；2）系统部分一般又表示为各点坐标的线性函数3）重力异常的观测方程4）重力异常的内插方程01020012()()(,)iiiTTaa xxayyTGY YaaaLgGYXGYX 或： g,gG YX G 是设计矩
14、阵，和欲估点坐标有关例：最小二乘配置在GPS高程拟合中的应用高程异常：=H0-H 在GPS网中,进行了高精度的水准联测的点,称为已测点。 已测点高程异常计算已测点高程异常计算：这些点的大地高H0和正常高H均已知,其高程异常就可由公式精确求得。问题：根据观测数据求高程异常的函数式问题：根据观测数据求高程异常的函数式-趋势。趋势。 方法一：方法一： 先由已测点的高程异常值用某种数学模型去拟合先由已测点的高程异常值用某种数学模型去拟合-常规平面拟合常规平面拟合。即：计算求出这个函数,然后由拟合函数求出未测点的高程异常,进而计算未测点的高程。012aa xa y采用最小二乘法，求的：采用最小二乘法，求
15、的：拟合函数：拟合函数：012286.201480.000073960.00002376aaa 设拟合函数为：设拟合函数为：286.201480.000073960.00002376xy u用常规拟合方法的缺陷：用常规拟合方法的缺陷：拟合函数毕竟是趋势面，与高程异常实际值之间不可避免有差异（山区更大）。这差值在局部范围有一定规律、但大范围，变化又无规律，即差值是随机参数，也就信号。u更好的处理方法更好的处理方法： 求某点高程异常时，可适当加上该点处的信号的改正，从而得到更为正确的高程异常模型。-最小二乘配置。最小二乘配置。方法二：方法二：将模型误差看作是随机函数的最小二乘配置法。将模型误差看作
16、是随机函数的最小二乘配置法。012012Taa xa ySBXSXaaa若用最小二乘配置法来处理高程异常:1)将高程异常与其趋势面的差值S看作随机函数,即所谓的信号,就可以用最小二乘配置法来处理这个问题。2)其数学模型为:L=BX+S+ 式中: L为已测点高程异常的观测值, X为拟合函数未知数，（B与所选择的拟合函数有关）, S为观测信号, 为观测信号的噪声。3)将未测点高程异常观测信号用SS 表示,那么其数学模型可表示为 L=BX+CZ+ 式中: C=EO、Z=SS T。则，就可按最小二乘配置法来处理未测点高程异常的问题了。4）未测点的平差值：LB XSp关于先验方差和协方差估值 E(Z)=
17、O,E()=O D、DZZ的求法按上节课介绍的即采用协方差函数来确定 常用高斯函数： (d为两点之间的距离,b0、k为参数)。2)dD2-(K0（d)=ben 客观世界的任何一种变化，总可以用某一函数模型客观世界的任何一种变化，总可以用某一函数模型来表述。来表述。 函数形式可分解为两部分：函数形式可分解为两部分：1、可用某一理想函数表示，即所谓的倾向部分（系统部分）；（即某种拟合函数的系数！）2、除基本变化以外的剩余部分，所谓的函数的剩余变形部分即随机部分。u只要已测数据点充分多，且已知观测误差和信号只要已测数据点充分多，且已知观测误差和信号（随机部分）的协方差函数，均可用配置法进行数（随机部分）的协方差函数，均可用配置法进行数据处理。据处理。中南大学信息物理工程学院中南大学信息物理工程学院