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1、山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空间和列空间.2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是 左零空间。3、 利用QR分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。4、 通过矩阵 svd分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。5、 将33矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式 6、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b有无穷多解。7、 所有的22实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是 8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR分解。9、 在选定一个基后，
2、任何维数为n的欧式空间与同构。10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m行，n列，则输入空间的维数是n。二、判断题 1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。（R） 2、两个子空间的并集是一个子空间。（F） 3、在线性方程组Ax=b，当矩阵A式列满秩的时候，无论向量b是什么，方程组都有解。（F） 4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。（R） 5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。（F） 6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。（F） 7、任何NN的
3、实矩阵都可以对角化。（F） 8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。（F） 9、任何MN实矩阵都有奇异值分解。（R） 10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。（R）三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵） 设矩阵A为 A= 1、求矩阵A的四个基本子空间的基和维数 初等变换 dim R（A）=dim R（）=1 dim N（A）=dim N（）=1 R(A)的基 R()的基 N(A)的基 N()的基 2、画出矩阵A的四个基本子空间的示意图。 自己画很好弄 3、写出投影到矩阵A的列空间的正交投影矩阵，计算向量b=0 1T在列空间上的投影矩阵。 IP =A(A) 因为 (A)不存在 不能用这种方法求解 求出列
4、空间的基 B=得IP=B(B)=2 投影矩阵 IP*b=2 4、写出投影到矩阵A的左零空间的正交投影矩阵，计算向量b=0 1在左零空间上的投影向量。 N()R(A)=IR N()=R(A) 所以 所以 = 投影矩阵*b=四、（矩阵奇异值分解的伪逆）设矩阵A为A= 1、 求矩阵A的奇异值分解。 AA=VV 所以 归一化为特征向量和 u= 同理的u=从而A的svd分解是A=2、 通过奇异值分解计算矩阵的M-P伪逆。A=V=五、（基变换和坐标变换）在线性空间V=P3(x)中，有三个向量f1（x）=-3+2x-x2f2（x）=-x+2x2f3(x)=-1+2x-x21、 证明B=f1（x），f2（x），f3（x）构成V=P3（x）的一个基。 设f+kf+kf= 解方程得矩阵满秩 所以k=k=k=0所以是基2、 设V=P3（x）中有标准基S=1，x，x2，写出由标准基S到基B 的过渡矩阵。（-3+2x-x2 -x+2x2 _1+2x-x2）=(1 x x2) Q=计算出向量f（x）=3+12x+7x2在基S下的坐标向量。 3、 根据前述结果，利用坐标变换，计算出向量f（x）=3+12x+7x2在基B下的坐标向量。B=Q=