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1、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第第8 8章章 - -矩阵习题课矩阵习题课1 1 - -矩阵的概念矩阵的概念2 2 - -矩阵在初等矩阵在初等变换下的标准形变换下的标准形 3 3 不变因子与行列式因子不变因子与行列式因子4 4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件5 5 初等因子初等因子 6 Jordan6 Jordan标准形的理论推导标准形的理论推导7 7 矩阵的有理标准形矩阵的有理标准形变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统
2、接线组成中一个重要组成部分1 - 矩阵的定义、秩、可逆性矩阵的定义、秩、可逆性一一. 概念概念设设P是一个数域是一个数域, 是一个文字是一个文字,作多项式环作多项式环P . 如果一个矩阵其元素是如果一个矩阵其元素是 的多项式的多项式, 即即P 的元素的元素, 就称为就称为 -矩阵矩阵. 常用常用A( ),B( )表示表示. 数字矩阵数字矩阵: 特殊情形特殊情形. 运算运算:与数字矩阵相同与数字矩阵相同.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 -矩阵的行列式矩阵的行列式(1) -矩阵的行列式矩阵的行
3、列式与数字矩阵的行列式与数字矩阵的行列式有相同的性质有相同的性质.(2) -矩阵的行列式矩阵的行列式是关于文字是关于文字 的一个的一个多项式。多项式。(3)可定义可定义 -矩阵行列式矩阵行列式的的子式子式、非零、非零子式、子式、 -矩阵的秩等概念。矩阵的秩等概念。 零矩阵的秩规定为零矩阵的秩规定为0.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分三三. -矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵定义定义 设设A( )是一个是一个nn的的 -矩阵矩阵,如果有如果有一个一个nn的的 -矩阵矩阵B( )使使 A( )B( )=
4、B( )A( )=E则称则称A( )是是可逆的可逆的,称称B( )为为A( )的的逆矩阵逆矩阵. . 注注 (1)这里这里 E是是n阶单位矩阵阶单位矩阵; (2)这样的矩阵这样的矩阵B( )是唯一的是唯一的, 记作记作A-1( ). .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分伴随矩阵伴随矩阵A*( ): 同数字矩阵同数字矩阵.定理定理 一个一个nn的的 -矩阵矩阵A( )可逆的充分必可逆的充分必要条件为行列式要条件为行列式|A( )|是一个非零的数是一个非零的数.变电站电气主接线是指变电站的变压器、
5、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2 -矩阵在初等矩阵在初等变换下的标准形变换下的标准形一一.初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵n -矩阵的初等变换矩阵的初等变换:指下面的三种变换指下面的三种变换 (1)矩阵的两行矩阵的两行(列列)互换位置互换位置; (2)矩阵的某一行矩阵的某一行(列列)乘以乘以非零的常数非零的常数c; (3)矩阵的某一行矩阵的某一行(列列)加另一行加另一行(列列)的的 ( )倍倍, ( )是一个多项式是一个多项式.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的
6、主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 -矩阵的初等矩阵矩阵的初等矩阵: 由单位矩阵经一次由单位矩阵经一次 -矩阵的初等变换矩阵的初等变换得到的得到的 -矩阵称为矩阵称为初等初等 -矩阵矩阵. P(i, j); P(i(c); P(i, j( )变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分n对一个对一个s n的的 -矩阵矩阵A( )作一次初等行变换作一次初等行变换就相当于在就相当于在A( )的左边乘上相应的的左边乘上相应的s s初等初等 -矩阵矩阵; n对对A( )作一次初等列变换就相当于在作一次初
7、等列变换就相当于在A( )n的右边乘上相应的的右边乘上相应的n n的初等的初等 -矩阵矩阵.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分n定义定义 -矩阵矩阵A( )称为与称为与B( )等价等价,如果可以经过一系列初等变换将如果可以经过一系列初等变换将A( )化化为为B( ).n -矩阵之间的等价满足如下三条矩阵之间的等价满足如下三条; (1) 自反性自反性: 每个每个 -矩阵与自己等价矩阵与自己等价. (2) 对称性对称性:若若A( )与与B( )等价等价,则则B( )与与 A( )等价等价. (由于
8、初等变换具有可逆由于初等变换具有可逆 性性). (3) 传递性传递性:若若A( )与与B( )等价等价, B( )与与C( )等价等价,则则A( )与与C( )等价等价.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分定理定理 任意一个非零的任意一个非零的s n的的 -矩阵矩阵A( ) 都等价于下列形式的矩阵都等价于下列形式的矩阵0021)()()( rddd变电站电气主接
9、线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分其中其中r 1, di( ) (i=1,2,r)是首项系数为是首项系数为1的多项式的多项式, 且且 di( ) di+1( ) (i=1,2,r-1) 。变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分3 3 不变因子不变因子n一一. .行列式因子行列式因子n定义定义 设设 -矩阵矩阵A( )的秩为的秩为r, 对于正对于正整数整数 k,1 k r,A( )中必有非零的中必有非零的k阶子阶
10、子式式. A( )中全部中全部k阶子式的首项系数为阶子式的首项系数为1的最大公因式的最大公因式Dk( )称为称为A( )的的k级行列级行列式因子式因子. .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分n由定义可知由定义可知, , 对于秩为对于秩为r r的的 - -矩阵矩阵, ,行列式因子一共有行列式因子一共有r r个个. .n行列式因子的意义就在于行列式因子的意义就在于, , 它在它在初等变换下是不变的初等变换下是不变的. . 定理定理 等价的等价的 - -矩阵具有相同的秩矩阵具有相同的秩与相同的各阶行
11、列式因子。与相同的各阶行列式因子。变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分n二二. .标准形的唯一性标准形的唯一性n定理定理 - -矩阵的标准形是唯一的矩阵的标准形是唯一的 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分n三三. .不变因子不变因子n定义定义 标准形的主对角线上非零元素标准形的主对角线上非零元素 d1( )d2( ),dr( )称为称为 -矩阵矩阵A( )的的不变因子不变因子. .n定理定理 两
12、个两个s n 的的 - -矩阵等价的充分矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子必要条件是它们有相同的行列式因子, ,或者说或者说, , 有相同的不变因子有相同的不变因子. .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分n注注 由上可见由上可见, , 在在 - -矩阵的行列式矩阵的行列式因子之间因子之间, ,有有 Dk( ) Dk+1( ) (k=1,2,r-1). n在计算在计算 - -矩阵的行列式因子时矩阵的行列式因子时, ,常常是先计算最高阶的行列式因子常常是先计算最高阶的行列式因子. .这
13、样就大致有了低阶行列式因子的这样就大致有了低阶行列式因子的范围了范围了. .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分特别地特别地, , 当当B B( ( )=)=E E时时, , 就得到如下结果就得到如下结果n定理定理 - -矩阵矩阵A A( ( ) )可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件是是: :A A( ( ) )的标准形为单位矩阵的标准形为单位矩阵E E. .n定理定理 - -矩阵矩阵A A( ( ) )可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件是是: : A A( ( ) )能表成一些初等矩阵的乘
14、积能表成一些初等矩阵的乘积.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分n定理定理 两个两个s n的的 -矩阵矩阵A( )与与B( )等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是:存在可逆的存在可逆的s阶阶 -矩阵矩阵P( )与可逆的与可逆的n阶阶 -矩阵矩阵 Q( ), 使得使得 B( )=P( )A( )Q( ).变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分4 4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件定理定理 设设A,
15、B是数域是数域P上两个上两个n n矩阵矩阵. 则则A与与B相似当且仅当相似当且仅当 E-A和和 E-B等价等价. .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分5 5 初等因子初等因子一一. . 初等因子的概念初等因子的概念n定义定义 把方阵把方阵A( (或线性变换或线性变换A A) )的每个的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积的一次因式方幂的乘积, ,所有这些一次所有这些一次因式方幂因式方幂( (相同的必须按出现的次数计相同的必须按出现的次数计
16、算算) )称为矩阵称为矩阵A( (或线性变换或线性变换A A) )的的初等因子初等因子. .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分n二二. . 不变因子与初等因子的关系不变因子与初等因子的关系n命题命题 n阶矩阵阶矩阵A A的不变因子与初等因子的不变因子与初等因子是互相确定的是互相确定的. .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分n命题命题 两个同阶方阵有相同的初等因子两个同阶方阵有相同的初等因子当且
17、仅当它们有相同的不变因子当且仅当它们有相同的不变因子. .n定理定理 两个同阶方阵相似当且仅当它们有两个同阶方阵相似当且仅当它们有相同的初等因子相同的初等因子.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分三三. . 初等因子的求法初等因子的求法定理定理 按初等变换化按初等变换化A的特征矩阵的特征矩阵 E- A为对角形为对角形, 将主对角线上的元素分解成互将主对角线上的元素分解成互不不相同的一次因式方幂的乘积相同的一次因式方幂的乘积, , 则所有则所有这些一次因式的方幂这些一次因式的方幂( (相同的按出现
18、的次相同的按出现的次数计算数计算) )就是就是A的全部初等因子的全部初等因子. .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分推论推论 设设A A( ( ) )是一个准对角矩阵是一个准对角矩阵则则A A1 1( ( ),),A A2 2( ( ), ,), ,A As s( ( ) )的全部初等因子的全部初等因子合起来就是合起来就是A A( ( ) )的全部初等因子的全部初等因子.)()()()( sAAAA21变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站
19、的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分6 Jordan标准形的理论推导标准形的理论推导n一一. Jordan标准形的初等因子标准形的初等因子nJordan块块的初等因子是的初等因子是( - 0)n.Jordan形矩阵形矩阵nnJ00001000010001000 sJJJJ21变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分的全部初等因子是的全部初等因子是 其中其中 是是Ji的初等因子的初等因子.skskk)( ,)( ,)( 2121iki)( 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力
20、系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分定理定理 每一个每一个n阶的复数矩阵阶的复数矩阵A都与一个都与一个JordanJordan形矩阵相似形矩阵相似, , 这个这个JordanJordan形矩阵形矩阵除去其中除去其中JordanJordan块的排列次序外块的排列次序外是被矩阵是被矩阵A唯一决定的唯一决定的, ,它称为它称为A的的JordanJordan标准形。标准形。（这里的（这里的JordanJordan块是由块是由A A 的初等因子的初等因子决定的）决定的）变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电
21、站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分推论推论 复矩阵复矩阵A 相似于对角阵，相似于对角阵，当且仅当当且仅当A的不变因子都没有重根。的不变因子都没有重根。引理引理 n 阶矩阵阶矩阵A 的最小多项式的最小多项式就是就是A的最后一个不变因子的最后一个不变因子dn( )。变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分7 7 矩阵的有理标准形矩阵的有理标准形n本节将在任意
22、数域中讨论本节将在任意数域中讨论一一. . 伴侣矩阵伴侣矩阵n定义定义 对数域上的一个多项式对数域上的一个多项式 d( )= n+ a1 n-1+an 称矩阵称矩阵为多项式为多项式d d( ( ) )的的伴侣矩阵伴侣矩阵. .121100010001000aaaaAnnn变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分d( )的伴侣的伴侣矩阵矩阵A的不变因子是的不变因子是1,1,1, d( )n证证 因为因为1211000100100aaaaAEnnn )( d000000000100001变电站电气主接线
23、是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分n二二. 有理标准形有理标准形n定义定义 下列准对角矩阵下列准对角矩阵其中其中Ai分别是数域分别是数域P上的某些多项式上的某些多项式di( )的伴侣矩阵的伴侣矩阵.且满足且满足d1( ) d2( )ds( ),就称就称A为为P上的一个上的一个有理标准形矩阵有理标准形矩阵.sAAAA21变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分定理定理 数域数域P上上n n方阵方阵A在在P上相似于上相似于唯一的一个有理标准形唯一的一个有理标准形, ,称为称为A的有理的有理标准形标准形. .sBBBB21变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分n线性变换的语言线性变换的语言n定理定理 设设A A是数域是数域P上上n维线性空间维线性空间V的的一一 个线性变换个线性变换,则在则在V中必定存在一组基中必定存在一组基,使使A A在这组基下的矩阵是有理标准形在这组基下的矩阵是有理标准形,并且并且这个有理标准形由这个有理标准形由A A唯一决定唯一决定, ,称为称为A A的有的有理标准形理标准形. .