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1、1 1、函数的凹凸性定义、函数的凹凸性定义问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?xyo)(xfy xyo)(xfy xyoABC第五节第五节 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点问题问题: :如何表示曲线的弯曲方向如何表示曲线的弯曲方向? ?xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位 于所张弦的下方于所张弦的下方xyoABC221xx 221xx 2)()(21xfxf2)()(21xfxf )2(21xxf )2(21xxf )(1xf)(1xf)(2xf)(2xf
2、定义定义2的（或凸弧）上的图形是（向上）凸在那末称如果恒有的（或凹弧）上的图形是（向上）凹在那末称恒有点上任意两如果对上连续在区间设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121xyo)(xfyxyo)(xfy abAB递增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y定理定理2 2.,)(, 0)()2(;,)(, 0)() 1 (),(,),(,)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在一阶和二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线
3、xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到, ,例例2 2的拐点及凹、凸的区间求曲线14334xxy解解),( : D,121223xxy , 0 y令令.32, 021 xx得得 x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32()32(3624362 xxxxy).,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间
4、为例例3 3.3的的拐拐点点求求曲曲线线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上上是是凹凹的的曲曲线线在在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy .)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :x),(0),(41041),(41y y不存在不存在曲线曲线拐点拐点拐点拐点第六节第六节 函数图形的描绘函数图形的描绘2垂直渐近线垂
5、直渐近线 作函数图形的一般步骤作函数图形的一般步骤例例1 1.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解, 0: xD非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得特殊点得特殊点, 2 2)1(4lim)(lim2 xxxfxx; 2 y得水平渐近线得水平渐近线2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得铅直渐近线得铅直渐近线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点: :x)3,( ),
6、0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3 )926, 3( :补补充充点点);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC练习练习: :.21)(22的图形作函数xex偶函数偶函数, ,图形关于图形关于y轴对称轴对称. ., 0)( x令令, 0 x得驻点得驻点, 0)( x令令. 1, 1 xx得得特特殊殊点点解解),(:D. 4 . 021)(0: xW,2)(22xexx .2)1)(1()(22xexxx 2
7、221lim)(limxxxex , 0 . 0 y得水平渐近线得水平渐近线x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21, 1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点: :0拐点拐点)21, 1(e 1xyo1 21例例3 3.1)(23的的图图形形作作函函数数 xxxxf解解),(:D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性. .),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得驻点得驻点, 0)( xf令令.31 x得特殊点得特殊点:补补充充点点),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, , 凹凸区间及极值点凹凸区间及极值点与拐点与拐点: :x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0 , 1( A)1 , 0(B)85,23(C11 3131 返回返回