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1、第五章第五章 搜索与回溯算法搜索与回溯算法我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 搜索与回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据搜索与回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。某种确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。回溯是搜索算法中的一种控制策略。它的基本思想是：为了求得回溯是搜索算法中的一种控制策略。它的基本思想是：为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一问题的解，先选择某一种可能情况向前探
2、索，在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。 如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步步向前试探前进步向前试探前进,如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走，如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走，这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向方向
3、再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。按此是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。按此原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口处无解为止。处无解为止。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物递归回溯法算法框架递归回溯法算法框架一一int Search(int k)for (i=1;i=算符种数算符种数;i+)if (满足条件满足条件) 保存结果保存结果
4、if (到目的地到目的地) 输出解输出解; else Search(k+1);恢复：保存结果之前的状态恢复：保存结果之前的状态回溯一步回溯一步 递归回溯法算法框架递归回溯法算法框架二二int Search(int k) if (到目的地到目的地) 输出解输出解;elsefor (i=1;i=算符种数算符种数;i+)if (满足条件满足条件) 保存结果保存结果; Search(k+1);恢复：保存结果之前的状态恢复：保存结果之前的状态回溯一步回溯一步我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【例例1】素
5、数环素数环:从从1到到20这这20个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素数。数。【算法分析算法分析】 非常明显，这是一道回溯的题目。从1开始，每个空位有20种可能，只要填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边相邻的数的和是一个素数。第20个数还要判断和第1个数的和是否素数。【算法流程】1、数据初始化； 2、递归填数：判断第i个数填入是否合法；A、如果合法：填数；判断是否到达目标（20个已填完）：是，打印结果；不是，递归填下一个；B、如果不合法：选择下一种可能；【参考程序参考程序】#include#include#include#includeu
6、sing namespace std;bool b21=0;int total=0,a21=0;int search(int); /回溯过程回溯过程int print(); /输出方案输出方案bool pd(int,int); /判断素数判断素数 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物int main() search(1); couttotalendl; /输出总方案数输出总方案数 system(pause);int search(int t) int i; for (i=1;i=20;i+)
7、/有有20个数可选个数可选 if (pd(at-1,i)&(!bi) /判断与前一个数是否构成素数及该数是否可用判断与前一个数是否构成素数及该数是否可用 at=i; bi=1; if (t=20) if (pd(a20,a1) print(); else search(t+1); bi=0; int print() total+; couttotal; for (int j=1;j=20;j+) coutaj ; coutendl; bool pd(int x,int y) int k=2,i=x+y; while (ksqrt(i) return 1; else return 0;我吓了一跳
8、，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【例【例2】设有设有n个整数的集合个整数的集合1,2,n，从中取出任意，从中取出任意r个数进行排列个数进行排列（rn），试列出所有的排列。），试列出所有的排列。#include#include#includeusing namespace std;int num=0,a10001=0,n,r;bool b10001=0;int search(int); /回溯过程回溯过程int print(); /输出方案输出方案int main() coutnr; search(1)
9、; coutnumber=numendl; /输出方案总数输出方案总数我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物int search(int k) int i; for (i=1;i=n;i+) if (!bi) /判断i是否可用 ak=i; /保存结果 bi=1; if (k=r) print(); else search(k+1); bi=0; int print() num+; for (int i=1;i=r;i+) coutsetw(3)ai; coutendl; 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶
10、和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【例【例3】任何一个大于任何一个大于1的自然数的自然数n，总可以拆分成若干个小于，总可以拆分成若干个小于n的自然数之和。的自然数之和。当当n=7共共14种拆分方法：种拆分方法：7=1+1+1+1+1+1+17=1+1+1+1+1+27=1+1+1+1+37=1+1+1+2+27=1+1+1+47=1+1+2+37=1+1+57=1+2+2+27=1+2+47=1+3+37=1+67=2+2+37=2+57=3+4total=14我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样
11、一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【参考程序】【参考程序】#include#include#includeusing namespace std;int a10001=1,n,total;int search(int,int);int print(int);int main() cinn; search(n,1); /将要拆分的数n传递给s couttotal=totalendl; /输出拆分的方案数 system(pause);int search(int s,int t) int i; for (i=at-1;i=s;i+) if (i0时，继续
12、递归 s+=i; /回溯：加上拆分的数，以便产分所有可能的拆分 int print(int t) coutn=; for (int i=1;i=t-1;i+) /输出一种拆分方案 coutai+; coutatendl; total+; /方案数累加1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【例例4】八皇后问题：要在国际象棋棋盘中放八个皇后，使任意两个皇后八皇后问题：要在国际象棋棋盘中放八个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃。（提示：皇后能吃同一行、同一列、同一对角线的任意都不能互相吃。（提示：皇后能
13、吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。）棋子。）放置第个(行)皇后的算法为：int search(i)； int j;for (第i个皇后的位置j=1;j=8;j+ ) /在本行的8列中去试if (本行本列允许放置皇后)放置第i个皇后； 对放置皇后的位置进行标记；if (i=8) 输出 /已经放完个皇后 else search(i+1)； /放置第i+1个皇后对放置皇后的位置释放标记，尝试下一个位置是否可行；我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【算法分析】【算法分析】 显然问题的关键在于如何判
14、定某个皇后所在的行、列、斜线上是否有别的皇后；可以从矩阵的特点上找到规律，如果在同一行，则行号相同；如果在同一列上，则列号相同；如果同在 斜线上的行列值之和相同；如果同在 斜线上的行列值之差相同；从下图可验证： 考虑每行有且仅有一个皇后，设一维数组1.8表示皇后的放置：第行皇后放在第列，用ij来表示，即下标是行数，内容是列数。例如：A3=5就表示第3个皇后在第3行第5列上。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 判断皇后是否安全，即检查同一列、同一对角线是否已有皇后，建立标志数组1.8控制同一列只
15、能有一个皇后，若两皇后在同一对角线上，则其行列坐标之和或行列坐标之差相等，故亦可建立标志数组1.16、-7.7控制同一对角线上只能有一个皇后。 如果斜线不分方向，则同一斜线上两皇后的行号之差的绝对值与列号之差的绝对值相同。在这种方式下，要表示两个皇后I和J不在同一列或斜线上的条件可以描述为：AIAJ AND ABS(I-J)ABS(AI-AJ)I和J分别表示两个皇后的行号【参考程序】#include#include#include#includeusing namespace std;bool d100=0,b100=0,c100=0;int sum=0,a100;int search(int
16、);int print();int main() search(1); /从第1个皇后开始放置 system(pause);我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物int search(int i) int j; for (j=1;j=8;j+) /每个皇后都有8位置(列)可以试放if (!bj)&(!ci+j)&(!di-j+7) /寻找放置皇后的位置 /由于C+不能操作负数组，因此考虑加7 /放置皇后,建立相应标志值 ai=j; /摆放皇后 bj=1; /宣布占领第j列 ci+j=1; /占领两
17、个对角线 di-j+7=1; if (i=8) print(); /个皇后都放置好,输出 else search(i+1); /继续递归放置下一个皇后 bj=0; /递归返回即为回溯一步,当前皇后退出 ci+j=0; di-j+7=0; int print() int i; sum+; /方案数累加1 coutsum=sumendl; for (i=1;i=8;i+) /输出一种方案 coutsetw(4)ai; cout2,1-3,3-1,4-3,5-2,7-4,8【算法分析】【算法分析】 如图4（b）,马最多有四个方向，若原来的横坐标为j、纵坐标为i,则四个方向的移动可表示为：1: （i,
18、j）（i+2,j+1）； (i3,j8)2: （i,j）（i+1,j+2）； (i4,j0,j1,j8) 搜索策略： S1:=(0,0); S2:从1出发，按移动规则依次选定某个方向，如果达到的是（4,8）则转向S3,否则继续搜索下一个到达的顶点； S3:打印路径。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【参考程序】【参考程序】#include#include#includeusing namespace std;int a100100,t=0; /路径总数和路径int x4=2,1,-1,-2,
19、/四种移动规则 y4=1,2,2,1;int search(int); /搜索 int print(int); /打印int main() /主程序 a11=0;a12=0; /从坐标(0,0)开始往右跳第二步 search(2); system(pause); 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物int search(int i) for (int j=0;j=0&ai-11+xj=0&ai-12+yj=8) /判断马不越界 ai1=ai-11+xj; /保存当前马的位置 ai2=ai-12+
20、yj; if (ai1=4&ai2=8) print(i); else search(i+1); /搜索下一步 int print(int ii) t+; coutt: ; for (int i=1;i=ii-1;i+) coutai1,ai2; cout4,8endl; 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【例例6】设有设有A，B，C，D，E五人从事五人从事J1，J2，J3，J4，J5五项工作，每五项工作，每人只能从事一项，他们的效益如下。人只能从事一项，他们的效益如下。 每人选择五项工作中的
21、一项，在各种选择的组合中，找到效益最高的的一种组合输出。【算法分析算法分析】 用数组储存工作选择的方案；数组存放最优的工作选择方案；数组用于表示某项工作有没有被选择了。 (1)选择(i)=0的第i项工作； (2)判断效益是否高于max已记录的效益，若高于则更新数组及max的值。 搜索策略: 回溯法（深度优先搜索dfs）。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【参考程序】【参考程序】#include#include#include#includeusing namespace std;int dat
22、a66=0,0,0,0,0,0,0,13,11,10,4,7,0,13,10,10,8,5,0,5,9,7,7,4,0,15,12,10,11,5,0,10,11,8,8,4;int max1=0,g10,f10;bool p6=0;int go(int step,int t) / step是第几个人，是第几个人，t是之前已得的效益是之前已得的效益 for (int i=1;i=5;i+) if (!pi) /判断第判断第i项工作没人选择项工作没人选择 fstep=i; /第第step个人，就选第个人，就选第i项工作项工作 pi=1; /标记第标记第i项工作被人安排了项工作被人安排了 t+=d
23、atastepi; /计算效益值计算效益值 if (stepmax1) /保存最佳效益值保存最佳效益值 max1=t; for (int j=1;j=5;j+) gj=fj; /保存最优效益下的工作选择方案保存最优效益下的工作选择方案 t-=datastepi; /回溯回溯 pi=0; 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物int main() go(1,0); /从第从第1个人，总效益为个人，总效益为0开始开始 for (int i=1;i=5;i+) coutchar(64+i):Jgiset
24、w(3); /输出各项工作安排情况输出各项工作安排情况 coutendl; coutsupply:max1endl; /输出最佳效益值输出最佳效益值我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【例【例7】选书】选书 学校放寒假时，信息学竞赛辅导老师有A，B，C，D，E五本书，要分给参加培训的张、王、刘、孙、李五位同学，每人只能选一本书。老师事先让每个人将自己喜欢的书填写在如下的表格中。然后根据他们填写的表来分配书本，希望设计一个程序帮助老师求出所有可能的分配方案，使每个学生都满意。【算法分析】【算法分析
25、】 可用穷举法，先不考虑“每人都满意” 这一条件，这样只剩“每人选一本且只能选一本”这一条件。在这个条件下，可行解就是五本书的所有全排列，一共有5！=120种。然后在120种可行解中一一删去不符合“每人都满意”的解，留下的就是本题的解答。 为了编程方便，设1，2，3，4，5分别表示这五本书。这五个数的一种全排列就是五本书的一种分发。例如54321就表示第5本书（即E）分给张，第4本书（即D）分给王，第1本书（即A）分给李。“喜爱书表”可以用二维数组来表示，1表示喜爱，0表示不喜爱。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错
26、：表里边有一个活的生物算法设计：S1：产生5个数字的一个全排列； S2：检查是否符合“喜爱书表”的条件，如果符合就打印出来； S3：检查是否所有的排列都产生了，如果没有产生完，则返回S1； S4：结束。int Search(i) for (j=1;j=5;j+) if (第i个同学分给第j本书符合条件) 记录第i个数 if (i=5) 打印一个解; else Search(i+1); 删去第i 个数 上述算法有可以改进的地方。比如产生了一个全排列12345，从表中可以看出，选第一本书即给张同学的书，1是不可能的，因为张只喜欢第3、4本书。这就是说，1一类的分法都不符合条件。由此想到，如果选定第
27、一本书后，就立即检查一下是否符合条件，发现1是不符合的，后面的四个数字就不必选了，这样就减少了运算量。换句话说，第一个数字只在3、4中选择，这样就可以减少3/5的运算量。同理，选定了第一个数字后，也不应该把其他4个数字一次选定，而是选择了第二个数字后，就立即检查是否符合条件。例如，第一个数选3，第二个数选4后，立即检查，发现不符合条件，就应另选第二个数。这样就把34一类的分法在产生前就删去了。又减少了一部分运算量。 综上所述，改进后的算法应该是：在产生排列时，每增加一个数，就检查该数是否符合条件，不符合，就立刻换一个，符合条件后，再产生下一个数。因为从第I本书到第I+1本书的寻找过程是相同的，
28、所以可以用回溯算法。算法设计如下：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【参考程序】【参考程序】#include#include#includeusing namespace std;int book6,c;bool flag6,like66=0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1, 0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1;int search(int);int print();int main() for (int i=1;i=5;
29、i+) flagi=1; search(1); /从第1个开始选书，递归。 system(pause); int search(int i) /递归函数 for (int j=1;j=5; j+) /每个人都有5本书可选 if (flagj&likeij) /满足分书的条件 flagj=0; /把被选中的书放入集合flag中，避免重复被选 booki=j; /保存第i个人选中的第j本书 if (i=5) print(); /i=5时，所有的人都分到书，输出结果 else search(i+1); /i5时，继续递归分书 flagj=1; /回溯：把选中的书放回，产生其他分书的方案 booki=
30、0; 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物int print() c+; /方案数累加1 cout answer c :n; for (int i=1;i=5;i+) cout i : char(64+booki) endl; /输出分书的方案输出结果：zhang: Cwang: Aliu: Bsun: Dli: E我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【例【例8】跳马问题。跳马问题。在5*5格的棋
31、盘上，有一只中国象棋的马，从（1,1）点出发，按日字跳马，它可以朝8个方向跳，但不允许出界或跳到已跳过的格子上，要求在跳遍整个棋盘。输出前5个方案及总方案数。输出格式示例：1 16 21 10 2520 11 24 15 2217 2 19 6 912 7 4 23 143 18 13 8 5#include#include#include#includeusing namespace std;int u8=1,2,2,1,-1,-2,-2,-1, /8个方向上的x,y增量 v8=-2,-1,1,2,2,1,-1,-2;int a100100=0,num=0; /记每一步走在棋盘的哪一格和棋盘
32、的每一格有 /没有被走过bool b100100=0;int search(int,int,int); /以每一格为阶段，在每一阶段中试遍8个方向int print(); /打印方案我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物int main() a11=1;b11=1; /从(1,1)第一步开始走 search(1,1,2); /从(1,1)开始搜第2步该怎样走 coutnum25) print();return 0; /达到最大规模打印、统计方案 for (k=0;k=7;k+) /试遍8个方向 x
33、=i+uk;y=j+vk; /走此方向，得到的新坐标 if (x=1&y=1&(!bxy) /如果新坐标在棋盘上，并且这一格可以走 bxy=1; axy=n; search(x,y,n+1); /从(x,y)去搜下一步该如何走 bxy=0; axy=0; 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物int print() num+; /统计总方案 if (num=5) /打印出前5种方案 for (int k=1;k=5;k+) /打印本次方案 for (int kk=1;kk=5;kk+) couts
34、etw(5)akkk; coutendl; 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【例例9】数的划分数的划分(NOIP2001)【问题描述问题描述】 将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同(不考虑顺序)。例如:n=7,k=3,下面三种分法被认为是相同的。w 1，1，5； 1，5，1； 5，1，1；w问有多少种不同的分法。w【输入格式输入格式】w n,k (6n200，2k6)w【输出格式输出格式】w 一个整数，即不同的分法。w【输入样例输入样例】w 7 3w【输出样例输出样例】w
35、4 4种分法为：1,1,5；1,2,4；1,3,3; 2,2,3 说明部分不必输出 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【算法分析算法分析】w方法方法1、回溯法，超时，参考程序如下。、回溯法，超时，参考程序如下。w#includew#includew#includewusing namespace std;wint n,i,j,k,rest,sum,total;wint s7;wint main()ww cout n k;w total = 0; s1 = 0;w i = 1;w while (
36、i)w w si+;w if (si n) i-;w else if (i = k)w w sum = 0;w for (j = 1; j = k; j+) sum += sj;w if (n = sum) total+;w w else w rest -= si;w i+;w si = si-1 - 1;w w w cout total;w system(pause);w return 0;w我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物w方法方法2、递归，参考程序如下。、递归，参考程序如下。w#inc
37、ludew#includew#includewusing namespace std;wint n,k;wint f(int a,int b,int c)ww int g = 0,i;w if (b = 1) g = 1;w else for (i = c; i = a/b; i+)w g += f(a-i,b-1,i);w return g;wwint main()ww cout n k;w cout f(n,k,1);w system(pause);w return 0;w我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表
38、里边有一个活的生物w方法方法3、用动态循环穷举所有不同的分解，要注意剪枝，参考程序如下。、用动态循环穷举所有不同的分解，要注意剪枝，参考程序如下。w#includew#includew#includewusing namespace std;wint n,k,total;wint min(int x,int y)ww if (x = rest/dep; i-)w select(dep-1,rest-i,i);wwint main()ww cout n k;w total = 0;w select(k,n,n);w cout total;w system(pause);w return 0;w我
39、吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物w方法方法4、递推法、递推法w首先将正整数首先将正整数n分解成分解成k个正整数之和的不同分解方案总数等于个正整数之和的不同分解方案总数等于将正整数将正整数n-k分解成任意个不大于分解成任意个不大于k的正整数之和的不同分解方的正整数之和的不同分解方案总数案总数(可用可用ferror图证明之图证明之),后者的递推公式不难得到后者的递推公式不难得到,参考程参考程序如下。序如下。w#includew#includew#includew#includewusing nam
40、espace std;wint i,j,k,n,x;wint p2017; wint main()ww cin n k;w memset(p,0,sizeof(p);w p00 = 1;w for (i = 1; i = n; i+) pi1 = 1;w for (i = 1; i = n - k; i+)w for (j = 2; j = min(i,k); j+)w for (x = 1; x = min(i,j); x+)w pij += pi-xmin(i-x,x);w cout pn-kk; w system(pause);w return 0;w我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东
41、西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【课堂练习课堂练习】 1、输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列。【参考过程】【参考过程】 int Search(int i) Int j; for (j=1;j=n;j+) if (bj) ai=j; bj=false; if (In) Search(i+1); else print(); bj=true; 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2、找出n个自然数(1,2,3,n)中r个数
42、的组合。例如，当n=,r=3时，所有组合为：1 2 31 2 41 2 51 3 41 3 51 4 52 3 42 3 52 4 53 4 5total=10 /组合的总数【分析】【分析】：设在b1,b2,bi-1中已固定地取了某一组值且bi-1=k的前提下，过程Search(i,k)能够列出所有可能的组合。由于此时bi只能取k+1至n-r+i，对j=k+1,k+2,n-r+i，使bi:=j，再调用过程Search(i+1,j)，形成递归调用。直至i的值大于r时，就可以在b中构成一种组合并输出。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证
43、实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3、输出字母a、b、c、d，4个元素全排列的每一种排列。4、显示从前m个大写英文字母中取n个不同字母的所有种排列。5、有A、B、C、D、E五本书，要分给张、王、刘、赵、钱五位同学，每人只能选一本，事先让每人把自已喜爱的书填于下表，编程找出让每人都满意的所有方案。【答案】四种方案张 王 刘 赵 钱 C A B D E D A C B E D B C A E D E C A B我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物6、有红球4个，白球3个，黄球3个，将它们排成一排
44、共有多少种排法？【分析】：【分析】：可以用回溯法来生成所有的排法。用数组b1.3表示尚未排列的这3种颜色球的个数。设共有I-1个球已参加排列，用子程序Search(i)生成由第I个位置开始的以后n-I+1位置上的各种排列。对于第I个位置，我们对3种颜色的球逐一试探，看每种颜色是否还有未加入排序的球。若有，则选取一个放在第I个位置上，且将这种球所剩的个数减1，然后调用Search(I+1),直至形成一种排列后出。对第I个位置上的所有颜色全部试探完后，则回溯至前一位置。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活
45、的生物【上机练习上机练习】1、全排列问题、全排列问题(Form.cpp)【问题描述】 输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。【输入格式】 n(1n9)【输出格式】 由1n组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。【输入样例】Form.in 3【输出样例】Form.out1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2、组合的输出、组合的输出(Compages.cpp)【问题描述】【问题描述
46、】 排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从n个元素中抽出个元素中抽出r个元素个元素(不分顺序且不分顺序且rn)，我们可以简单地将，我们可以简单地将n个元素理解为自然数个元素理解为自然数1，2，n，从中任取，从中任取r个数。个数。 现要求你用递归的方法输出所有组合。现要求你用递归的方法输出所有组合。 例如例如n5，r3，所有组合为：，所有组合为： l 2 3 l 2 4 1 2 5 l 3 4 l 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5【输入】【输入】 一行两个自然数一行两个自然数n、r(1n21，1rn)。【输出】【输出
47、】 所有的组合，每一个组合占一行且其中的元素按由小到大的顺序排列，每个元素占三所有的组合，每一个组合占一行且其中的元素按由小到大的顺序排列，每个元素占三个字符的位置，所有的组合也按字典顺序。个字符的位置，所有的组合也按字典顺序。【样例】【样例】compages.in compages.out5 3 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3、N皇后问题皇后问题(Queen.cpp)【
48、问题描述】【问题描述】在N*N的棋盘上放置N个皇后（n=10）而彼此不受攻击（即在棋盘的任一行，任一列和任一对角线上不能放置2个皇后），编程求解所有的摆放方法。八皇后的两组解【输入格式输入格式】 输入：n【输出格式输出格式】每行输出一种方案，每种方案顺序输出皇后所在的列号，各个数之间有空格隔开。若无方案，则输出no solute!【输入样例输入样例】Queen.in 4【输出样例输出样例】Queen.out2 4 1 33 1 4 2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4、有重复元素的排列问题、
49、有重复元素的排列问题【问题描述问题描述】 设R= r1, r2 , , rn是要进行排列的n个元素。其中元素r1, r2 , , rn可能相同。试设计一个算法，列出R的所有不同排列。【编程任务编程任务】 给定n 以及待排列的n 个元素。计算出这n 个元素的所有不同排列。【输入格式输入格式】 由perm.in输入数据。文件的第1 行是元素个数n，1n500。接下来的1 行是待排列的n个元素。【输出格式输出格式】 计算出的n个元素的所有不同排列输出到文件perm.out中。文件最后1行中的数是排列总数。【输入样例输入样例】4aacc【输出样例输出样例】多解多解aaccacacaccacaaccac
50、accaa6我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物5、子集和问题、子集和问题【问题描述问题描述】 子集和问题的一个实例为S,t。其中，S= x1， x2， xn是一个正整数的集合，c是一个正整数。子集和问题判定是否存在S的一个子集S1，使得子集S1和等于c。【编程任务编程任务】 对于给定的正整数的集合S= x1， x2， xn和正整数c，编程计算S 的一个子集S1，使得子集S1和等于c。【输入格式输入格式】 由文件subsum.in提供输入数据。文件第1行有2个正整数n和c，n表示S的个数，c是子