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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物导数习题导数习题 2014. 12. 11我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 1. 设设求求21 sin , 0( ) 0 , 0 .xxf xxx 若若因此，因此，解：解：( ) .fx0 , x 而而 0( )(0)(0)limxf xffx 2 0sin(1)limxxxx 0 . 思考：思考： (0) = ?f 0lim( )xfx 是否存在？是否
2、存在？导函数的单侧极限导函数的单侧极限与与单侧导数单侧导数不是同一概念。不是同一概念。则则).1cos()1sin(2)( xxxxf . 0 0, 0 ),1cos()1sin(2 )( xxxxxxf我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 2. 设设 ,) 2( ) 1( ) 4( ) 3( )( xxxxxxf求求解：解： 3d , ( ) .xffx 3( )(3)(3)lim3xf xffx 3( )lim3xf xx )2( ) 1( 4lim3 xxxxx.61 .d 61| d
3、3xfx |2|ln| 1|ln|ln|4|ln|3|ln| )(|ln xxxxxxf上式两边同时求导得上式两边同时求导得 211114131 )()( xxxxxxfxf . 211114131)()( xxxxxxfxf我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 3. 设设且在某且在某(1)6 , (1)2 , fg 解：解：( ) g x(1, )U 内内单调，单调，求求 1( )(1)lim. ( )(1)xf xfg xg 1 1( )(1)( )(1)1limlim( )(1)( )
4、(1)1xxf xff xfxg xgg xgx 1 1( )(1)lim1( )(1)lim1xxf xfxg xgx (1)(1)fg 3. 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 4. 设设( )f x解：解：求求 ( ) ( ) ( ) ( )limxax f ax f xx f xa f xIx a ( )( ). a faf a ( ) ( )( ) ()limxax f af xf xx ax a ( ) ( )limlim( ) xaxax f af xf xx a 在在xa
5、可导，可导，.)( )( lim axxfaafxIax 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练练 1. 设设求求( ) | | , f xx x 若若因此，因此，解：解：( ) .fx0 , x ( )2 ; fxx 而而 0 ( )(0)(0)limxf xffx 2 0 limxxx 0 . 2 , 0( ) 2 , 0 xxfxxx 则则若若0 , x ( )2 ; fxx 则则 0 ( )(0)(0)limxf xffx 2 0 limxxx 0 . 2 | | . x 设设( ) |
6、sin | sin , g xxx ( )? g x 2 |sin |cos . xx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设设可导可导, 求求2( ) sin () , g xf x 解：解：( ) .g x例例 5. ( )f x22( )cos () ()(2 ) g xf xfxx 222 cos () () . xf xfx 例例 6. 设设求求2 1 cos , xtyt 解：解： 22d .d yx记记而而故故.2sind 2d sin ddttttttxy ,2sin)(tttg
7、 ,d)( d dd22xtgxy ,d 2sincos)( d2ttttttg .4cossind)( d dd322ttttxtgxy 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 7. 曲线曲线( )yf x 解：解：求求由方程由方程2cos()1x yexye 确定，确定，在点在点(0,1)的切线方程。的切线方程。方程两边对方程两边对 x 求导得求导得2( 2) sin()(1)0.x yeyxyy 令令 x = 0 得得 (0) 20 , e y 即即(0)2.y 所求切线方程为所求切线方
8、程为1 2 .yx 练练 2. 函数函数( )yf x 答：答：求求由方程由方程 2x yxy 确定，确定， 0d .xf 0d = ( ln2 1 ) d .xfx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设设求求解：解：例例 8. , 1)(2xxxf . )0()(nf)(1 112nnxoxxxx 112x )(xf .12 , 1 2 , 0 ! )0()( knknnfn .12 , ! 2 , 0 ) 0()( knnknfn)(12242nnxoxxx )(121253 nnxoxx
9、xx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设设求求解：解：练练 3. , )(25xexxf . )0()11(f)(! ! 21 2nnxxonxxxe )(! ! 2 )(5252975 nnxonxxxxxf)(! ! 21 22422nnxxonxxxe .! 311! )0()11( f我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练练 4. 设设是是)(xf) , ( 内具有任意阶导数的奇函数，内
10、具有任意阶导数的奇函数，求求解：解：故故)()2(xfn也是奇函数。也是奇函数。 , )0()2( nf其中其中. Zn是奇函数，是奇函数，)(xf因此因此. 0)0()2( nf奇函数的麦克劳林公式没有偶次幂项。奇函数的麦克劳林公式没有偶次幂项。偶函数的麦克劳林公式没有奇次幂项。偶函数的麦克劳林公式没有奇次幂项。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 9. 函数函数在在 1ln)( exxxf) , 0( 内零点的个内零点的个数为？数为？解：解：.11)( exxf 令令 0)( xf得得
11、. ex 当当 0ex 时时 , 0)( xf当当 ex 时时 , 0)( xf而而 ,)( lim0 xfx因此零点个数为因此零点个数为 2. , 1)( ef , 04)( 23 eef我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练练 5. 设设则则( ) (1) (2) (3) (4) , f xx xxxx 解：解： )( xf共有几共有几个零点？个零点？根据罗尔定理，根据罗尔定理， )( xf至少有至少有 4 个零点，个零点， 分别在区间分别在区间)4 , 3( ),3 , 2( ),2 ,
12、1 ( ),1 , 0(内。内。 )( xf是是 4 次多项式，次多项式，零点不超过零点不超过 4 个，个，因此其零点共有因此其零点共有 4 个。个。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 10. 求求.)sin( lim210 xxxxI 解：解：.61 )sinln()1(0 2limxxxxeI )sinln()1(lim20 xxxxe sincossin21lim20 xxxxxxxx 30 2sincoslimxxxxx 333220 2)(6)(21limxxoxxxoxxx 2
13、0 )sinln(limxxxx而而故故.61 eI我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练练 6. 求求. )1cos()2(sin lim xxxxI 解：解：)1cos()2sin(ln limxxxxeI 故故.2eI )1cos()2sin(lnlim xxxxe 而而 )1cos()2sin(lnlim xxxx cos)2lnsin(lim0 tttt cos)2sin(sin)2cos(2lim0 ttttt . 2 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美
14、丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 11. 设设 )( lim0 xfx解：解：),(lim2111)(0 xfexxfxx 存在，且有存在，且有求求 . )( lim0 xfx设设 , )( lim0 Axfx ,2)111(lim0 AexAxx 则则 )111(lim0 xxexA )1( 1lim0 xxxexxe 1lim20 xxexx 21lim0 xexx . 21 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物另附若干基本计算与证明（答案后附）另
15、附若干基本计算与证明（答案后附）练练 1. 讨论讨论 ) 1( 2 )(23 xxxf的单调性、极值、凹凸性、拐的单调性、极值、凹凸性、拐点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。练练 2. 求求xxxf 1 )(在在1 , 5 上的最值。上的最值。练练 3. 求数列求数列nn的最大项。的最大项。练练 4. a取何值时取何值时在在xxaxf3sin31sin )( 3 x取得极值？取得极值？是极大值还是极小值？是极大值还是极小值？我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的
16、生物练练 5. 求下列极限求下列极限 2cot lim )1(0 xxx )1( lim )3()(1sin1 xxxx lim )4( sin0 xxx )cot 1( lim )2(220 xxx 1 lim )6(2 xxx sin1 lim )5(630 3xxexx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练练 6. 设设)(xf可导，证明在可导，证明在)(xf的两个零点之间必有的两个零点之间必有)( )(xfxxf 的零点。的零点。练练 7. 设设)(xf在在1 , 1 上具有三阶连续导
17、数，且上具有三阶连续导数，且. 0)0( , 1)1( , 0 1)( fff证明存在证明存在)1 , 1( 使得使得. 3)( f练练 8. 若若)(xf在开区间在开区间 I 内连续内连续, 且有唯一的极值点，且有唯一的极值点，则该极值点必是最值点。则该极值点必是最值点。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练练 1. 讨论讨论 ) 1( 2 )(23 xxxf的单调性、极值、凹凸性、拐的单调性、极值、凹凸性、拐点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。 极大极
18、大值值非极非极值值 ff f)3 ,( 3 ) 1 , 3( )0 , 1( 0 ) , 0( 000 ; 1 为为垂垂直直渐渐近近线线 x . 12为为斜斜渐渐近近线线 xy . 0) , 0(为为拐拐点点. 827)3( f极极大大值值我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练练 2. 求求xxxf 1 )(在在1 , 5 上的最值。上的最值。解解: , 012112)( xxxf令令 . 43 x解解得得 , 565)( f , 1) 1 ( f , 45)43( f 45)43( 1 5,
19、)(和和最最小小值值上上有有最最大大值值在在 fxf . 565)( f我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练练 3. 求数列求数列nn的最大项。的最大项。解解: . )0( , 1 xxyx令令 . ln1 ln xxy . ln1 21exxxxyx 及及驻驻点点由由此此得得 . , 0 ; , 0 递递减减时时递递增增时时yyexyyex . 3 2 3是是可可能能的的最最大大项项和和因因此此 ; 8 )2( 6 而而 , 9)3(63 . 3 3是是最最大大项项因因此此我吓了一跳，蝎子是
20、多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练练 4. a取何值时取何值时在在xxaxf3sin31sin )( 3 x取得极值？取得极值？是极大值还是极小值？是极大值还是极小值？解解: , ) , ( )(内内可可导导在在 xf . 3cos cos )( xxaxf , 012 cos3cos)3( , aaf 由由已已知知 解得解得 . 2 a , 3sin3 sin 2 )( xxxf , 0 3sin33 sin 2 )3( f 因因此此 . )3(是是极极大大值值 f我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为
21、什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练练 5 答案答案. 21 2cot lim )1(0 xxx1)(1sin1 e )1( lim )3( xxxx1 lim )4( sin0 xxx32 )cot 1( lim )2(220 xxx1 1 lim )6(2 xxx21 sin1 lim )5(630 3 xxexx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练练 6. 提示：令提示：令, )( )(xfxxF 后证有后证有 使得使得 . 0
22、)( F练练 7. 312)01(! 3)( )01(! 2)0( )01)(0( )0( 1)( fffff,! 3)( ! 2)0( )0( 1 fff ).0 , 1(1 322)01(! 3)( )01(! 2)0( )01)(0( )0( (1) fffff,! 3)( ! 2)0( )0( 2 fff ).1 , 0(2 , 1! 3)( )( )1()1(21 ffff, 32)( )( 21 ff即即使使得得因因此此存存在在连连续续 ),( , )( 21 xf.2)( )( )(21 fff 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我
23、也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 )( 内内连连续续在在区区间间若若Ixf证：证： , 且且有有唯唯一一的的极极值值点点 则则 . 该该点点也也是是最最值值点点0 x1x xxy )( 内内有有唯唯一一的的极极在在不不妨妨设设Ixf . 0 x大大值值点点 , 0不不是是最最大大值值点点假假设设 x ).()( 011xfxfIx 使使得得则则存存在在 , 0是是极极大大值值点点x , ),( 0 xU故故存存在在 . )( )(0 xfxf , ),( 0 xUx 即即 . 01xx 不不妨妨设设 , ),( 0时时当当 xUx . ) ( )( 0 xfxf 使使得得
24、, , )( 10 xxC xf 因因 xf在在故故 )( . , 10mxx 上上有有最最小小值值 . )( , )( 10 xfmxfm 可可知知 . )( ) , (10mfxx 使使得得于于是是存存在在 . 为为极极小小值值点点即即 . 0内内唯唯一一极极值值点点矛矛盾盾是是这这与与Ix练练 8. 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物关于泰勒公式的说明：关于泰勒公式的说明： 带皮亚诺余项的泰勒公式带皮亚诺余项的泰勒公式一般用于考虑一般用于考虑0 xx 时的某些极限。时的某些极限。带拉格朗
25、日余项的泰勒公式带拉格朗日余项的泰勒公式一般用于误差分析或理论推导。一般用于误差分析或理论推导。 依赖于依赖于 x . 200000)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo 200000)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxf nnxxnxf)(!)(00)(10)1()()!1()( nnxxnf 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物关于泰勒公式的说明：关于泰勒公式的说明： 202010)()()(xxaxxaaxf
26、nnxxa)(0)(0nxxo ). , , 2 , 1(nk ,!)(0)(kxfakk 则必然有则必然有 ),(00 xfa 且经某些已知条件可得且经某些已知条件可得如果如果在在)(xf0 x有直到有直到n阶导数，阶导数，这使得我们可以通过一些间接手段得到这使得我们可以通过一些间接手段得到)(xf的泰勒公式。的泰勒公式。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例. 求求 )(xexxf 的带皮亚诺余项的的带皮亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式。阶麦克劳林公式。解：解：因此所求麦克劳林公式为：因此所
27、求麦克劳林公式为：)(21 22xoxxex ).(2 )(332xoxxxxf 考虑：考虑：).10( ,621 32 xxexxxe xe的带拉格朗日余项的的带拉格朗日余项的 2 阶麦克劳林公式为阶麦克劳林公式为那么等式那么等式 6 2 )( 432xexxxxxf 成立吗？成立吗？它是它是 f (x) 的带拉格朗日余项的的带拉格朗日余项的 3 阶麦克劳林公式吗？阶麦克劳林公式吗？ . ) 4 ( ) 4( )( , )( )( )4()(xxnexefenxxf （否）（否） 4! )4 (2 )(4 32xexxxxxfx （是）（是）上式才是上式才是 f (x) 的带拉格朗日余项的的
28、带拉格朗日余项的 3 阶麦克劳林公式。阶麦克劳林公式。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物关于泰勒公式的说明：关于泰勒公式的说明： 多项式的泰勒公式仍然是多项式。多项式的泰勒公式仍然是多项式。例例 . 求求432 )(34 xxxxf在在1 x的泰勒公式。的泰勒公式。解：解：, 364 )( 23 xxxf,1212 )( 2xxxf ,1224 )()3( xxf ,24 )()4( xf因此所求泰勒公式为因此所求泰勒公式为 . ) 1() 1( 6) 1( 12) 1( 1310 )(432 xxxxxf . )4( 0 )()( nxfn注意注意: 此时此时 皮亚诺余项皮亚诺余项 和和 拉格朗日余项拉格朗日余项 都是都是 0 .