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1、 长郡中学 20202021 学年度高二第一学期入学考试数 学本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 8 页。时量 120 分钟。满分 100 分。第 I 卷一、单项选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)14= x x2 =x 则 A B= 1- 21.已知集合 A，集合 B y y1 11- , 0, A.B.-1,1C. 0,1D.2 22 = 3,a + a + a = 21 a + a + a =2.若等差数列 a 各项都是正数，a,则n1123345A.213.如图是幂函数 yB.45C
2、.63D.8411-的部分图象,已知 n 取 ，2，- 2，这四个值,则与n22曲线 C ，C ，C ，C 相对应的 n 依次为12341- , ,22112112- ,-2, 2,2， ,-2,-D.C.221 4.已知一-组数据 x ，x ，x ，x ，x 的平均数是 2，方差是 ，那么另一组数据3x -2，3x -123453122，3x - 2，3x -2，3x - 2 的平均数和方差分别为34512A.2，B.2，1C.4，D.4，3335.阿波罗尼斯(约公元前 262 年至公元前 190 年)是古埃及希腊化时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一:“若动点P 与两定
3、点M,N的距离之比为l（l 0,且l 1),则点 P 的轨迹就是圆”,事实上，互换该定理中的部分题设和结论,得到的命题依然成立.已知点 M(2,0)，点 P 为圆 O:x +y =16 上的点,若存在 x 轴上的定点 N(t,0)(t4)和常数 ,对满足已22= PN知条件的点 P 均有 PMl,则 = .11314A.1B.C.D.2p(0, )2py = sin( x - )(w 0)w 6.若仅存在一个实数t.使得曲线 C:关于直线 x=t 对称,6则w 的取值范围是1 7 , )3 34 10 , )1 7( , 3 34 10( , D.A.B.C.3 33 37.已知一个正三棱锥的
4、高为3,如下图是其底面用斜二测画法所画出 3的水平放置的直观图,其中 O为 BC的中点,OA=,则此正三棱锥的体2积为33 333 3A.B.C.D.44a b= +a,bb均为非零向量,则 的取值范围是8.已知向量 p,其中a b2A. 0,B. 0,1C. (0,2D. 0,29.已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心 O 的距离等于球半径的一半,且 AB= BC=CA=2,则球 O 的体积为256p64p16p4pA.B.C.D.812793OA = xOB + yOC(x, y R) ,记 M = OAOC, N = x + y ,分别考察A.M 有最小值,N 有最大值C.M 有最
5、大值,N 有最大值B.M 有最大值,N 有最小值D.M 有最小值,N 有最小值二、多项选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 3 分,有选错的得 0 分,部分选对得 1 分)1- x(x) =11.下列关于函数 f的说法中正确的是1+ xA. f(x)为奇函数B. f(x)在(0,+).上单调递减C.不等式 f(x)0 的解集为(-,-1) (1,+) D.不等式 f(x)0 的解集为(-1,0) (0,1)212.如图,在正四棱柱 ABCD- A B C D 中,AB=AA ，E、F 分别为 AB、11111BC 的中点
6、,异面直线 AB 与 C F 所成角的余弦值为 m,则113=A. m3112C. m=D.直线 A E 与直线 C F 异面311(x) + f (-x) = 0, f (x + 6) = - f (x)13.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f,且对任意的 x ，1x -3,0 ，当 时，都有 x f (x ) + x f (x ) 0)14.将函数 f的图象向右平移个单位长度得到函数 y=g(x)的图象.若12p0, 2函数 g(x)在区间上是单调增函数,则实数w 可能的取值为2A.6B.1C.D.235 15.定义在(-,0) (0,+)上的函数 f(x),如果对于任意给定的等比
7、数列 a ,数列 f a( )nn(-,0) (0,+)仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数.现有定义在是“保等比数列函数”的为上的四个函数中,(x) = xf (x) = ln xD.A. f(x)=x2B. f(x)=2xC. f第 II 卷三/填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.)16.某中学高二年级甲班的学生共有 25 名女生和 35 名男生,现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛,则甲班中某女生被抽到的概率是_。= 3a -1(a 0 ,且 a1)的图象恒过定点 A(m，n),则logmn = _17.已知函数 yx-
8、818.若过原点 O 的动直线 l 将圆 E:(x-1) +(y-2) = 10 分成的两部分面积之差最大时,直线 l 与圆22E 的交点记为 A、B；l 将圆 E 分成的两部分面积相等时,直线 l 与圆 E 的交点记为 C、D;则四边形 ABCD 的面积为_。19.数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 a、b、c,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之,自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上,余四约之,为实.一为从隅,开14c + a -b222c a - () 2 ,现有平方得积.”若把以上这段文
9、字写出公式，即若 abc，则22210+2 7sin A: sin B : sin C = 2 :3: 7,则用以上给出的公式求得周长为的 ABC 满足 ABC 的面积为_。20.已知 a，b 为正实数,且 a+b+ab=3,则 2a+b 的最小值为_四、解答题(本题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )21. (8 分) b在 ABC 中，a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,若 b=3,c=4,C=2B,且 a.(1)求 cos B 及 a 的值;pcos(2B + )(2)求的值.33 22. (8 分)某学校进行体验,现得到所
10、有男生的身高数据,从中随机抽取 50 人进.行统计(已知这 50 人身高介于 155cm 到 195cm 之间),现将抽取结果按如下方式分成八组:第一组155,160),第二组160,165),.,第八组 190,195,并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图,其中第六组180,185)和第七组185,190)还没有绘制完成,已知第一组与第八组人数相同,第六组和第七组人数的比为 5 : 2.(1)补全频率分布直方图;(2)根据频率分布直方图估计这 50 个男生身高的中位数;(3)用分层抽样的方法在身高为170,180)内抽取一个容量为 5 的样.本,从样本中任意抽取 2 个男生,求这两个男生身
11、高都在175,180内的概率.23.(8 分)1 = (S + 2n)对任意n N*都成立.已知数列 a 的前 n 项和为 Sn，且 a3nnn(1)求 a ，a 的值;12 + 2a 的通项公式;(2)证明数列 a是等比数列.并求出数列nn = nab 的前 n 项和 Tn.(3)设b，求数列nnn24. (8 分)= 2 PB已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P满足 PA,设动点P的轨迹为曲线E,直线l:y=kx-4.(1)求曲线 E 的轨迹方程;(2)若 l 与曲线 E 交于不同的 C、D 两点,且COD= 120(O 为坐标原点),求直线 l 的斜率;(3)若 k=1,Q 是
12、直线 l 上的动点,过 Q 作曲线 E 的两条切线 QM、QN,切点为 M、N,探究:直线MN 是否过定点,若存在定点请写出坐标,若不存在则说明理由.25.(8 分).(x) = ax + bx + c(a 0)=( ) = ,集合 A x f x x设二次函数 f2 = 1, 2 ，f (x) 0(1)若 A-1，且方程 f(x)=0 的两根都小于 ,求实数 a 的取值范围; = 2(2)若 A,求函数 f(x)在区间-2,2上的最大值 M(结果用 a 表示).4是A.函数 f(x)是偶函数C. x=3 是函数 f(x)的对称轴B.函数 f(x)在-9,-6单调递增D.函数 f(x)的最小正
13、周期是 12p(x) = sinwx(w 0)14.将函数 f的图象向右平移个单位长度得到函数 y=g(x)的图象.若12p0, 2函数 g(x)在区间上是单调增函数,则实数w 可能的取值为2A.6B.1C.D.235 15.定义在(-,0) (0,+)上的函数 f(x),如果对于任意给定的等比数列 a ,数列 f a( )nn(-,0) (0,+)仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数.现有定义在是“保等比数列函数”的为上的四个函数中,(x) = xf (x) = ln xD.A. f(x)=x2B. f(x)=2xC. f第 II 卷三/填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共
14、 15 分.)16.某中学高二年级甲班的学生共有 25 名女生和 35 名男生,现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛,则甲班中某女生被抽到的概率是_。= 3a -1(a 0 ,且 a1)的图象恒过定点 A(m，n),则logmn = _17.已知函数 yx-818.若过原点 O 的动直线 l 将圆 E:(x-1) +(y-2) = 10 分成的两部分面积之差最大时,直线 l 与圆22E 的交点记为 A、B；l 将圆 E 分成的两部分面积相等时,直线 l 与圆 E 的交点记为 C、D;则四边形 ABCD 的面积为_。19.数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九
15、韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 a、b、c,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之,自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上,余四约之,为实.一为从隅,开14c + a -b222c a - () 2 ,现有平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若 abc，则22210+2 7sin A: sin B : sin C = 2 :3: 7,则用以上给出的公式求得周长为的 ABC 满足 ABC 的面积为_。20.已知 a，b 为正实数,且 a+b+ab=3,则 2a+b 的最小值为_四、解答题(本题共 5 小题,每小题 8 分,共 4
16、0 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )21. (8 分) b在 ABC 中，a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,若 b=3,c=4,C=2B,且 a.(1)求 cos B 及 a 的值;pcos(2B + )(2)求的值.33 22. (8 分)某学校进行体验,现得到所有男生的身高数据,从中随机抽取 50 人进.行统计(已知这 50 人身高介于 155cm 到 195cm 之间),现将抽取结果按如下方式分成八组:第一组155,160),第二组160,165),.,第八组 190,195,并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图,其中第六组180,185)和第七组185,
17、190)还没有绘制完成,已知第一组与第八组人数相同,第六组和第七组人数的比为 5 : 2.(1)补全频率分布直方图;(2)根据频率分布直方图估计这 50 个男生身高的中位数;(3)用分层抽样的方法在身高为170,180)内抽取一个容量为 5 的样.本,从样本中任意抽取 2 个男生,求这两个男生身高都在175,180内的概率.23.(8 分)1 = (S + 2n)对任意n N*都成立.已知数列 a 的前 n 项和为 Sn，且 a3nnn(1)求 a ，a 的值;12 + 2a 的通项公式;(2)证明数列 a是等比数列.并求出数列nn = nab 的前 n 项和 Tn.(3)设b，求数列nnn2
18、4. (8 分)= 2 PB已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P满足 PA,设动点P的轨迹为曲线E,直线l:y=kx-4.(1)求曲线 E 的轨迹方程;(2)若 l 与曲线 E 交于不同的 C、D 两点,且COD= 120(O 为坐标原点),求直线 l 的斜率;(3)若 k=1,Q 是直线 l 上的动点,过 Q 作曲线 E 的两条切线 QM、QN,切点为 M、N,探究:直线MN 是否过定点,若存在定点请写出坐标,若不存在则说明理由.25.(8 分).(x) = ax + bx + c(a 0)=( ) = ,集合 A x f x x设二次函数 f2 = 1, 2 ，f (x) 0(1)若 A-1，且方程 f(x)=0 的两根都小于 ,求实数 a 的取值范围; = 2(2)若 A,求函数 f(x)在区间-2,2上的最大值 M(结果用 a 表示).4