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1、 2020 年秋北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元培优测试卷一、选择题（共 10 题；共 30 分）1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A. 7，24，25B. 3 ，4 ，5C. 6，8，1 , 8 1D. 4,710222.如图，一棵高为 16m 的大树被台风刮断.若树在地面 6m 处折断，则树顶端落在离树底部（）处.A. 5mB. 7mC. 7.5mD. 8m3.如图, 三个正方形围成一个直角三角形，64、400 分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是（）A. 336B. 164096C. 464D. 1559044.如图，= 1
2、，且，则线段的长为（）A. 1.5B. 2C. 2.5D. 35.有一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边的长为（） A. 5B. 7C. 5D. 5或 76.如图，已知 中，= 10,= 8,= 6, 的垂直平分线分别交于连接，则 的长为（）54A. 1B.74C.25D.47.如图，有一个水池，其底面是边长为 16 尺的正方形，一根芦苇 AB 生长在它的正中央，高出水面部分BC 的长为 2 尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B，则这根芦苇 AB 的长是（）A. 15尺B. 16尺尺C. 17D. 18尺8.甲乙两艘客轮同时离开港口，航
3、行的速度都是40 mmin，甲客轮 15min 到达点 A，乙客轮用 20 min到达 B 点，若 A，B 两点的直线距离为 1000 m.甲客轮沿北偏东 30的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是()A. 南偏东 60B. 南偏西3030C. 北偏西D. 南偏西 609.如图，在长方形纸片 ABCD 中，AD= 4cm，把纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在 E 处，AE 交 DC 于点 O，若OC=5cm，则 CD 的长为（ ） A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 10cm10.在长方形纸片 ABCD中，AB=6，AD=10如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A处，折痕为
4、PQ 当点 A在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边上移动，则点 A在 BC 边上可移动的最大距离为（）A. 8cmB. 6cmC. 4cmD. 2cm二、填空题（共 6 题；共 18 分）11.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_cm2.12.已知，在中，= 15， = 13 ，且边上的高为 12，边 BC 的长为_13.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6 和 8，按如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，则折痕 DE长为_.14.如图，在 RtABC 中，B=90，AB=9，BC=6，将ABC 折叠，使点 A 与 BC
5、的中点 D 重合，折痕为EF，则 BE 的长为_. 15.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A 处绕着点 O 经过最低点 B，最终荡到最高点 C 处，若AOC=90，点 A 与点 B 的高度差 AD=1 米，水平距离 BD=4 米，则点 C 与点 B 的高度差 CE 为_米。16.如图，圆柱的底面半径为 24，高为 7，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点 A 爬到点 B 的最短路程是_.三、解答题（共 7 题；共 52 分）17.如图，在等腰ABC 中，ABAC15，点 D 是 AC 边上的一点，且 CD3，BD9，判断 ABD 的形状,并说明理由18.如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小
6、娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形花台斜边上的高进行了探究：两人在直角边 AB 上距直角顶点 B10 米远的点 D 处同时开始测量，点 C 为终点.小娟沿 DBC 的路径测得所经过的路程是 15 米，小燕沿 DAC 的路径测得所经过的路程也是 15 米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的花台斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的花 台斜边上的高了.亲爱的同学们你能求出这个直角三角形的花台斜边上的高吗？若能，请你求出来：若不能，请说明理由？19.如图，在 ，求中，= 6 ，= 8 ，= 10 ，的垂直平分线分别交、于点、的长20.如图，四边形边形 的面积中，= 3 ，= 4 ，=
7、 12 ，= 13 ，且 = 90 ，求四21.如图，在ABC 和DCE 中，AC=DE，B=DCE=90，点 A，C，D 依次在同一直线上，且 ABDE。（1）求证：ABCDCE（2）连结 AE，当 BC=5，AC=12 时，求 AE 的长。 22.如图，在长方形 ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为 CD 边上一点，将ADE 沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处.（1）求 BF 的长；（2）求 CE 的长.23.笔直的河流一侧有一旅游地 C，河边有两个漂流点 A、B，其中 AB=AC，由于某种原因，由 C 到 A 的路现在已经不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流
8、点H(A，H，B 在一条直线上)，并新修一条路 CH，测得 BC=5 千米，CH=4 干米，BH=3 千米，（1）问 CH 是否为从旅游地 C 到河的最近的路线？请通过计算加以说明；（2）求原来路线 AC 的长。 答案一、选择题1.解：A，7 +24 =625，25 =625，2227 +24 =25 ，222故能组成直角三角形，故 A 不符合题意；B、（3 ） +（4 ） =337，（5 ） =625，222222（3 ） +（4 ） （5 ） ，222222故能组成直角三角形，故 B 符合题意；C、6 +8 =100，10 =100，2226 +8 =10 ，222故能组成直角三角形，故
9、C 不符合题意；222894D、4 +(7 1) =， (81) = 2892224224 +(7 1) =(81)222故能组成直角三角形，故 D 不符合题意；2.解：设树顶端落在离树底部 xm，由题意得：6 +x =（16-6） ，222解得：x =8，x =-8（不符合题意，舍去）.21所以，树顶端落在离树底部 8m 处.故答案为：D.3.根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为 64 和 400 的正方形的边长是 8 和 20；解图中直角三角形得字母 M 所代表的正方形的边长=所以字母 M 所代表的正方形面积是 336，故答案为：A. 8 = 336 ，22024.BCAB，C
10、DAC，ACDE，B=ACD=ADE=90，AB=BC=CD=DE=1，由勾股定理得：AC=+ 1 = 2 ；212AD= ( 2) + 1 = 3 ；22AE= ( 3) + 1 = 4 =222故答案为：B5.当 4 是直角边时，斜边= 32 + 42 =5，当 4 是斜边时，另一条直角边= 4 3 = 7 ，22故答案为：D6.解：AB=10，AC=8，BC=6，2 +2 = 82 + 62 = 102 =2 , ABC 是直角三角形，且C=90，DE 垂直平分 AB，AD=BD，在 RtBCD 中，2 =2 = 62 +2 +2 ,2 , (8 7解得 CD= ，4故答案为：C.7.解
11、：依题意画出图形，设芦苇长 AB=AB=x 尺，则水深 AC=（x-2）尺，因为 BE=16 尺，所以 BC=8 尺在 RtABC 中，8 +（x-2） =x ，222解之得：x=17，即芦苇长 17 尺故答案为：C8.设始发港口为 C，则 = 15 40 = 600 ,= 20 40 = 800 ,2 = 106,2 +2 =600 + 800 = 10 ， 则ABC 为直角三角形，AB 为斜边，C 为直角。北偏东 30和南偏东 60两个226方向的夹角是直角。故答案为：A9.解：根据折叠前后角相等可知BAC=EAC，四边形 ABCD 是矩形，ABCD，BAC=ACD，EAC=ACD，AO=
12、CO=5cm，在直角三角形 ADO 中，DO=CD = AB =DO+CO=3+5=8cm.故答案为：C.=3cm，2210.解：当P与B重合时，BA=BA=6，CA=BCBA=106=4cm ，当Q与D重合时，由勾股定理，得=8cm，CA= 22 CA最远是 8，CA最近是 4，点A在BC边上可移动的最大距离为 84=4cm ，故答案为：C 二、填空题11.解：正方形的边长为 12 =9（cm），2152此正方形的面积为 9 81（cm ），22故答案为：81.12.如图，当ABC 是锐角三角形，锐角ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上高 AD=12，在 RtABD 中 AB=15
13、，AD=12，由勾股定理得：BD =AB -AD =15 -12 =81，22222则 BD=9，在 RtACD 中 AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD =AC -AD =13 -12 =25，22222则 CD=5，故 BC 的长为 BD+DC=9+5=14；如图，当ABC 是钝角三角形时，钝角ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上高 AD=12，在 RtABD 中 AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD =AB -AD =15 -12 =81，22222则 BD=9，在 RtACD 中 AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD =AC -AD =13 -12 =25，
14、22222则 CD=5，故 BC 的长为 BD-CD=9-5=4综上可得 BC 的长为 14 或 4故答案为：4 或 1413.解：在中，= 6 ，= 8 ，Rt BAC，=+= 1022 把沿，折叠使与重合，=，= 1= 5 ，2 设在= ，则中， = ，= 8 ，2 =2 +2 ，即 2 = (8 2 + 62 ，Rt BEC = 25 ，4= 8 = 8 25 = 7 ，44= 1= 1 6 7 = 21，2244在中， 2 =2 +2 ，Rt BED= (25) 5 = 15 .224415故答案为： .414.解：设 BE=x，由翻折的性质可知 AE=DE=9-x，D 是 BC 的中
15、点，= 1 6 = 3 ，2在 RtBDN 中，由勾股定理得：解得： = 4 ，2 =2 +2 (9 2 = 2 + 33故答案为：4.15.解：过点 C 作 CFOB 于点 F，过点 A 作 ANOB 于点 N，由题意可知四边形 ADBN 和四边形 BECF 是矩形AN=BD=4，BF=CE，AD=BN=1，AON=OFC=AON+OAN=90，AOC=90即AON+FOC=90，OAN=FOC，在AON 和OCF 中=)=AONOCF（AAS）AN=OF=4，ON=FC，设 CE=BF=x，则 FC=ON=OF+BF-BN=4+x-1=3+x，OC=OB=4+x，在 RtOFC 中，OF
16、+FC =OC222 4 +（3+x） =（4+x）222解之：x=4.5.CE=4.5.故答案为：4.5.16.解：如图所示：沿过 A 点和过 B 点的母线剪开，展成平面，连接 AB，则 AB 的长是蚂蚁在圆柱表面从 A 点爬到 B 点的最短路程，1AC 22424，C90，BC7，2由勾股定理得：AB故答案为：25.三、解答题+25.2217. 解：AC=15, CD=3,AD=AC- CD=12BD +AD =9 +12 =225,AB =15 =225.222222 BD +AD = AB .222ABD 是直角三角形18.解：RtABC 中，B90，设 BCa（m），ACb（m），A
17、Dx（m）则 10+ax+b15（m），a5（m），b15x（m）又在 RtABC 中，由勾股定理得：（10+x） +a b ，222（10+x） +5 （15x） ，222解得：x2，即 AD2（米）1 5 12 = 1 13 = 60米ABAD+DB2+1012 米，BC5 米，AC，221360答：这个直角三角花台底边上的高为米.1319. 解：连接 DB，在ACB 中，AB AC 6 8 100，2222又BC 10 100，22AB AC BC 222ACB 是直角三角形，A90，DE 垂直平分 BC，DCDB， 设 DCDBx，则 AD8 x在 RtABD 中，A90 ，AB AD
18、 BD ，222即 6 （8 x） x ，222254解得 x，25即 CD420. 解：如下图，连接 ACAB=3，BC=4，B=90在 RtABC 中，AC=5DC=12，AD=13又 52 + 122 = 132ACD 是直角三角形=+= 1 3 4 + 1 5 12 = 36四边形2221. （1）证明：ABDE，BAC=DB=DCE=90，AC=DEABCDCE(AAS)（2）解：ABCDCE，CE=BC=5AC=12，ACE=90，=+= 25 + 144 = 132222. （1）解四边形 ABCD 为矩形.B=90，AD=BC=10cm.AFE 是由ADE 沿 AE 翻折得到的
19、. AF=AD=10cm又AB=8cm.在 RtABF 中，由勾股定理得：.= 10 8 = 6( )2 2 2=2cm故 BF 的长为 6cm.（2）设 CE=x.四边形 ABCD 为矩形.CD=AB=8，C=90.DE=CD-CE=8-xAFE 是由ADE 沿 AE 翻折得到的.FE=DE=8-x.由（1）知：BF=6.CF=BC-BF=10-6=4.在 RtCEF 中，由勾股定理得：CF +CE =FE2224 +x =(8-x)222解得：x=3由 CE 的长为 3cm.23. （1）解：CH 是从旅游地 C 到河的最近的路线，理由是：在CHB 中，CH +BH =4 +3 =25，B
20、C =25，2CH +BH =BC2HBC 是直角三角形且CHB=90，CHAB，所以 CH 是从旅游地 C 到河的最近的路线（2）解：设 AC=AB=x 千米，则 AH=(x-3)千米，在 RtACH 中，由已知得 AC=x，AH=x-3，CH=4，由勾股定理得：AC =AH +CHx =(x-3) +425解这个方程，得 x=625答：原来的路线 AC 的长为千米。6设 DCDBx，则 AD8 x在 RtABD 中，A90 ，AB AD BD ，222即 6 （8 x） x ，222254解得 x，25即 CD420. 解：如下图，连接 ACAB=3，BC=4，B=90在 RtABC 中，
21、AC=5DC=12，AD=13又 52 + 122 = 132ACD 是直角三角形=+= 1 3 4 + 1 5 12 = 36四边形2221. （1）证明：ABDE，BAC=DB=DCE=90，AC=DEABCDCE(AAS)（2）解：ABCDCE，CE=BC=5AC=12，ACE=90，=+= 25 + 144 = 132222. （1）解四边形 ABCD 为矩形.B=90，AD=BC=10cm.AFE 是由ADE 沿 AE 翻折得到的. AF=AD=10cm又AB=8cm.在 RtABF 中，由勾股定理得：.= 10 8 = 6( )2 2 2=2cm故 BF 的长为 6cm.（2）设
22、CE=x.四边形 ABCD 为矩形.CD=AB=8，C=90.DE=CD-CE=8-xAFE 是由ADE 沿 AE 翻折得到的.FE=DE=8-x.由（1）知：BF=6.CF=BC-BF=10-6=4.在 RtCEF 中，由勾股定理得：CF +CE =FE2224 +x =(8-x)222解得：x=3由 CE 的长为 3cm.23. （1）解：CH 是从旅游地 C 到河的最近的路线，理由是：在CHB 中，CH +BH =4 +3 =25，BC =25，2CH +BH =BC2HBC 是直角三角形且CHB=90，CHAB，所以 CH 是从旅游地 C 到河的最近的路线（2）解：设 AC=AB=x
23、千米，则 AH=(x-3)千米，在 RtACH 中，由已知得 AC=x，AH=x-3，CH=4，由勾股定理得：AC =AH +CHx =(x-3) +425解这个方程，得 x=625答：原来的路线 AC 的长为千米。6设 DCDBx，则 AD8 x在 RtABD 中，A90 ，AB AD BD ，222即 6 （8 x） x ，222254解得 x，25即 CD420. 解：如下图，连接 ACAB=3，BC=4，B=90在 RtABC 中，AC=5DC=12，AD=13又 52 + 122 = 132ACD 是直角三角形=+= 1 3 4 + 1 5 12 = 36四边形2221. （1）证明
24、：ABDE，BAC=DB=DCE=90，AC=DEABCDCE(AAS)（2）解：ABCDCE，CE=BC=5AC=12，ACE=90，=+= 25 + 144 = 132222. （1）解四边形 ABCD 为矩形.B=90，AD=BC=10cm.AFE 是由ADE 沿 AE 翻折得到的. AF=AD=10cm又AB=8cm.在 RtABF 中，由勾股定理得：.= 10 8 = 6( )2 2 2=2cm故 BF 的长为 6cm.（2）设 CE=x.四边形 ABCD 为矩形.CD=AB=8，C=90.DE=CD-CE=8-xAFE 是由ADE 沿 AE 翻折得到的.FE=DE=8-x.由（1）
25、知：BF=6.CF=BC-BF=10-6=4.在 RtCEF 中，由勾股定理得：CF +CE =FE2224 +x =(8-x)222解得：x=3由 CE 的长为 3cm.23. （1）解：CH 是从旅游地 C 到河的最近的路线，理由是：在CHB 中，CH +BH =4 +3 =25，BC =25，2CH +BH =BC2HBC 是直角三角形且CHB=90，CHAB，所以 CH 是从旅游地 C 到河的最近的路线（2）解：设 AC=AB=x 千米，则 AH=(x-3)千米，在 RtACH 中，由已知得 AC=x，AH=x-3，CH=4，由勾股定理得：AC =AH +CHx =(x-3) +425解这个方程，得 x=625答：原来的路线 AC 的长为千米。6