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1、2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1若集合中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（ ）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形【答案】D【解析】根据集合中元素的互异性可知，正确；给取特值可知，不正确.【详解】根据集合中元素的互异性可知，所以此三角形一定不是等腰三角形，故正确；当时，三角形为直角三角形，故不正确；当时，三角形为锐角三角形，故不正确；当时，三角形为钝角三角形，故不正确；故选：D.【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题.2集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据，利用补集的定义求得，然后再利用交集
2、运算求解.【详解】因为，所以.又，.故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.3设、均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）ABCD【答案】D【解析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论.【详解】，如下图所示，则，选项正确，选项正确，选项正确，所以选项错误.故选:D.【点睛】本题考查集合交、并、补计算，利用韦恩图是解题的关键，属于基础题.4“，为正数”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】通过举反例可得答案.【详解】当时，故“，为正数”是“”的不充分条件当时，满足，但不满足，为正数，
3、故“，为正数”是“”的不必要条件综上：“，为正数”是“”的既不充分也不必要条件故选：D【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.5已知命题：，那么是（ ）A，B，C，D，【答案】C【解析】直接利用特称量词的否定得到答案.【详解】解：命题P：，那么：，.故选：C.【点睛】本题考查了特称量词的否定，属于简单题.6已知函数，若，则实数之值为（ ）A2B3C4D5【答案】D【解析】令，则，再由求解.【详解】令，则，所以，由，解得.故选：D【点睛】本题主要考查已知函数值求参数问题，属于基础题.7已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据特称命题的真假关系
4、即可得到结论【详解】解：命题“，使”是假命题，命题“，使”是真命题，即判别式，所以，故选：D【点睛】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键，基础题8已知，则函数的最小值为（ ）ABC2D【答案】A【解析】对进行变形，然后利用基本不等式求最小值即可.【详解】当时，当且仅当，即取等号，所以的最小值为，故选： A.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件.二、多选题9使成立的充分不必要条件可以是（ ）A，BC，D，【答案】ACD【解析】根据题意逐一判断即可.【详解】由，可以推出，反之不成立，故A满足题意当时满足，但不满足，故B不满足题意由，
5、可以推出，反之不成立，故C满足题意由，可以推出，反之不成立，故D满足题意故选：ACD【点睛】本题考查的是充分必要条件的判断，较简单.10（多选题）下列命题为真命题的是（ ）A若，则B若，则C若且，则D若且，则【答案】BCD【解析】当时，可判断选项A不成立；分别利用不等式的性质可判断选项BCD正确【详解】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: ，所以本命题是真命题；选项C: ，所以本命题是真命题；选项D: ，所以本命题是真命题；故选:BCD【点睛】本题以命题的形式考查不等式性质的应用，熟记公式是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题11已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅
6、有3个整数，则的值可以是（ ）A4B5C6D7【答案】CD【解析】设，其图象是开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示利用数形结合的方法得出，若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，从而解出所有符合条件的的值【详解】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为，则解得，又，故可以为6，7，8.故选：CD【点睛】本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题12下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C“或”是“”的必要不充分条件D若，则【答案】BCD【解析】A. 由判断； B.根据，由不等
7、式的基本性质判断；，C.利用等价命题判断； D.令，利用函数的单调性判断；如图所示：【详解】A. 当时，不成立，故错误；B.因为，所以，由不等式的基本性质，则，故正确；C. “或”，则“”的逆否命题是“”，则“且”是假命题，故不充分，“或”，则“”的否命题是“且” ，则“”是真命题，故必要，故正确；D.当，如图所示：在R上递增，由则 ，故正确；故选：BCD【点睛】本题主要考查不等式的基本性质以及逻辑条件的判断，还考查分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题13设，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】依据题中条件:“ ”结合数轴求解即可，本题即要考虑对应的点与区间的端点的关系即得.【详解】根
8、据题意画出数轴，如图所示，结合数轴:,对应的点必须在区间的左端点的左侧，.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是元素与集合、集合之间的关系，是基础题.14已知，则_【答案】2【解析】先求出，进而可求出，最后即可求出【详解】解：因为，所以，则，因为，所以 ，故答案为:2.【点睛】本题考查了分段函数函数值的求解，属于基础题.15若，使得不等式成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】令，求出的最小值即可.【详解】解：即，使成立，令，时，单调递减，则实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】考查不等式能成立求参数的取值范围，基础题.四、双空题16已知，则：（1）的最小值是_（2）的最小值是_【答案】 【解
9、析】(1)将配凑为，然后利用常数代换后，再利用基本不等式，即可求出最小值；(2)将通分后可得，然后将分母中的利用1的代换可得，再利用基本不等式，即可求出最小值.【详解】(1)由于，则所以，当且仅当时等号成立；(2)，当且仅当，即，时等号成立.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式，主要思路为：(1)对所求目标函数的不等式求解，常用方法为：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法；(2)根据条件变形，常用“1”的代换求目标函数的最值.五、解答题17已知集合，集合.（1）求；（2）设集合，且，求实
10、数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据集合的补集和并集的定义计算即可（2）根据并集的定义得出关于的不等式组，求出解集即可【详解】（1）集合.则集合，则(2)集合，且,解得故实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解18设集合，集合.（1）若，求；（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解一元二次不等式、绝对值不等式化简集合的表示，再利用集合并集的定义，结合数轴进行求解即可；（2）根据必要不充分对应的集合间的子集关系，结合数轴进行求解即可.【详解】（1）.因为
11、，所以，因此；（2），因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，因此有或，解得.【点睛】本题考查了集合的并集的运算，考查了由必要不充分条件求参数问题，考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了数学运算能力.19已知函数（1）求的定义域；（2）求的值域【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用偶次根式被开方数非负可解出函数的定义域；（2）把平方得，再求的值域即可，然后逆推回去即可求解函数的值域.【详解】解：（1）由，得的定义域为；（2）易知又时，有最大值，或时，有最小值0，所以时，易得，故求的值域为【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了函数值域的求解，将问题转化为二次
12、函数在区间上的值域问题是解答的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.20已知：，：，（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若、均为真命题，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）条件可转化为方程有实根，然后可求出答案；（2）先求出为真命题的答案，然后结合（1）可得出实数的取值范围【详解】（1）因为：，为真命题，所以方程有实根，所以判别式，得实数的取值范围为（2）可化为，若：，为真命题，则对任意的恒成立，当时，不等式可化为，显然不恒成立；当时，有，由（1）知，若为真命题，则，又、均为真命题，所以实数需满足，解得，所以实数的取值范围为【点睛】本题考查的是命题和命题否定的真假性的应
13、用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.21某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），该仓库的高度为一定值，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每长造价40元；两侧墙砌砖，每长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶，顶部每造价20元，则当仓库占地面积取最大值时，正面铁栅应设计为多长？【答案】（1）；（2）15米【解析】（1）设铁栅长为米，一侧砖墙长为米，则仓库占地面积，由条件可得，然后利用基本不等式求出的最大值即可；（2）根据题意可得，然后利用基本不等式可求出答案.【详解】设铁栅长为米，一侧砖墙
14、长为米，则仓库占地面积（1），当且仅当，时取等号，故该仓库占地面积的最大值为 （2）依题设，得，由基本不等式得，则，即，故，从而，当且仅当且即时取等号，所以的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米【点睛】本题考查的是基本不等式的实际应用，考查了学生的阅读理解能力，属于基础题.22（1）已知，均为正数，求证：；（2）已知正数，满足，若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用综合法结合基本不等式证明不等式；（2）先求出，再结合基本不等式求出的最小值，即得解.【详解】（1）证明，均为正数， 以上三式相加，得即（当且仅当时等号成立）（2）解：由于正数，满足，所以，所以：则，(当且仅当，等号成立)要使恒成立，只需满足即可，故【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.第 15 页 共 15 页