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1、第四节 透镜与透镜成像一、凸透镜与凹透镜凸透镜是指中间厚、边缘薄的透镜，凹透镜是指中间薄、边缘厚的透镜。因为其形状不同，对光线的作用、成像规律也不相同。理想情况下，凸透镜和凹透镜的厚度认为足够小，通常可以画成如图2.124（a）和（b）的样子。（一）凸透镜和凹透镜对特殊光线的作用1凸透镜的三条特殊光线过凸透镜光心的光线，经过凸透镜折射后，传播方向不改变，如图2.125光线所示；平行于主光轴的光线，经过凸透镜折射后，折射光线通过另一侧的焦点，如图2.125光线所示；过凸透镜焦点的光线，经过凸透镜折射后，平行于主光轴射出，如图2.125光线所示。2凹透镜的三条特殊光线过凹透镜光心的光线，经过凹透镜
2、折射后，传播方向不改变，如图2.126光线所示；平行于主光轴的光线，经过凹透镜折射后，折射光线的反向延长线通过焦点，如图2.126光线所示；正对着另一侧焦点入射的光线，经过凸透镜折射后，平行于主光轴射出，如图2.126光线所示。例1 （上海第28届大同杯初赛）焦距为的凸透镜与焦距为的凹透镜的主光轴重合，光心间距为。平行于主光轴的一束平行光通过两透镜后得到一束宽度为的平行光束，如图2.127（a）所示，若将两透镜位置互换，将得到一束宽为的平行光束，如图2.127（b）所示，则（ ）。A，B，C，D，分析与解 画出光线经过透镜折射的光路图如图2.128（a）和（b）所示，设入射光线的宽度为，则根据
3、相似三角形知识，对图2.128（a）有，且；对图2.128（b）有，且，解得，。选项A正确。（二）副光轴、副焦点与焦平面1副光轴主光轴是指过透镜中心（即光心）且与镜面垂直的直线，那么过透镜的中心，与透镜不垂直的直线，就是副光轴。对一个透镜而言，主光轴只有一条，而副光轴有无数条。2副焦点我们知道，平行于主光轴的光线经过透镜后，折射光线或者折射光线的反向延长线交于主光轴上的一点，该点即为透镜的焦点。如图2.129（a）所示，平行于凸透镜某副光轴的一束光线经过凸透镜折射后，折射光线会聚于副光轴上一点，该点即为凸透镜的副焦点。如图2.129（b）所示，平行于凹透镜某副光轴的光束经过凹透镜折射后，折射光
4、线的反向延长线会聚于该副光轴上一点，该点即为凹透镜的副焦点。一个透镜可以有无数个副焦点。透镜所有副焦点组成的面，叫做焦平面，对于薄透镜，焦平面是过透镜的焦点且与主光轴垂直的平面，图2.129中直线，分别是焦平面与纸面相交的直线，代表了焦平面的位置。一个凸透镜有两个焦平面，某条副光轴上的副焦点实际上是该副光轴与焦平面的交点。焦平面的概念在透镜作图中应用广泛，据此我们可以画出任意光线的折射光线。例2 图2.130所示为一个薄透镜，试着画出入射光线的折射光线，保留作图痕迹。 分析与解 由题可知光线不是透镜的三条特殊光线，因此考虑利用透镜的焦平面与副焦点的概念，具体作图步骤如下：（1）过凸透镜右侧焦点
5、作主光轴的垂线，则为焦平面。（2）过透镜光心作平行于光线的副光轴，该副光轴与焦平面的交点即为副焦点。（3）入射光线的折射光线必经过副焦点，图2.131中的折射光线即为所求。焦平面与副焦点的概念在求解一些组合透镜的焦距时十分有用，下面通过一道例题，讲解求解组合透镜等效焦距的方法。例3 到如图2.132所示，两个薄凸透镜，平行放置，且主光轴重合，彼此间距为，组成一个透镜组合。已知，分别为凸透镜，右侧的焦点，对应焦距分别为，试利用你所掌握的光学知识求解该透镜组的等效焦距。 分析与解 如图2.133所示，作平行于主光轴的入射光线，与凸透镜交于点，该入射光线被折射后，折射光线交于点，光线的延长线通过右侧
6、的焦点。对于凸透镜来说，光线是入射光线，我们通过下面的方法画出它经过后的折射光线：过的光心作平行于光线的虚线，该虚线交于点。过的焦点作垂直于主光轴的虚线，交于，则即为透镜的一个副焦点，连接，则光线即为光线经过后的折射光线。与主光轴交于点，则即为透镜组右侧的焦点，这里我们求出到透镜的光心的距离作为透镜组的焦距（此即“前焦距”，称为透镜组的“后焦距”）。由上述作图过程可知，则有，可得又，因此有，解得或写成由等效焦距的表达式，当两个透镜紧贴在一起，即时，上式简化为或。值得一提的是，通常我们把凸透镜的焦距取为正值，凹透镜的焦距取为负值，因此上式对凸透镜与凹透镜组合、凹透镜与凹透镜组合，都是适用的。二、
7、透镜成像公式凸透镜与凹透镜成像公式均为，其中，物距总是取正值，实像的像距取正值，虚像的像距取负值，凸透镜的焦距取正值，凹透镜的焦距取负值。由透镜成像公式可得出像距表达式。1放大率物体通过凸透镜既能成放大的像也能成缩小的像。我们用像的高度和物体的高度之比来表示透镜的放大程度，叫做放大率，用来表示。如图2.134所示，放大率的表达式为，结合光路图中，亦可得。因此可知，无论物体通过透镜成虚像还是实像，物体越靠近焦点位置，越小，所成像的放大率越大。表2.2给出了物距在不同范围时凸透镜成像情况及像的放大率情况。表2.2物距像距成像情况放大率倒立缩小的实像倒立等大的实像倒立放大的实像不成像或像在无穷远正立
8、放大的虚像由表2.2可知，凸透镜在和时，均存在放大率的情况。而对于凹透镜，在透镜成像公式中，由于其焦点为虚焦点，焦距代入公式时应取负号，凹透镜所成像总是虚像，像距代入公式时应取负号，因此有，得，其放大率，这与凸透镜在时一样，放大率，因此在一些问题中，应注意问题的多解性。例4 （上海第30届大同杯）物体通过凸透镜所成像的放大率为6，若将物体靠近透镜，则所成像的放大率为3，透镜的焦距可能为（ ）。ABCD分析与解 由题意，物体通过透镜成放大的像，则物体可能在距离透镜一倍焦距到两倍焦距之间的位置，也可能在距离透镜一倍焦距以内的位置。而当物体靠近透镜时，放大率却减小了，说明物体可能在距离透镜一倍焦距到
9、两倍焦距之间的位置，移动后距离透镜不到一倍焦距的距离；或者物体本身就一直在距离透镜一倍焦距之内。根据透镜成像公式，得，解得或，解得因此本题正确选项为AD。2像与物的距离关系在做凸透镜成实像的实验时，我们都有直接的经验：物体靠近凸透镜，像就远离凸透镜。亦即“物远像近，物近像远”，下面我们推导凸透镜成实像时，像与物的距离变化关系。设凸透镜焦距为，成实像时物距为，像距为，此时像与物的距离记为，则。根据凸透镜成像公式得，因为，可得因此，当且仅当时，像与物的距离取得最小值。可见，当物体逐渐由很远处（大于两倍焦距）靠近透镜一倍焦距处时，像逐渐远离凸透镜，但是像与物的距离却是先减小，再增大。例5 （上海第3
10、0届大同杯）凸透镜的焦距大小为，点光源位于透镜主光轴上距离光心，现移动凸透镜，使点光源距离凸透镜，该过程中，点光源的像移动的路程为（ ）。ABCD分析与解 当点光源位于距离透镜时，由透镜成像公式，得此时的像距，即像距点光源的距离为；在透镜继续移动到距离点光源的过程中，我们发现点光源与透镜之间的距离恰好等于，即此时，而这正是像离物体最近的距离，有，像距点光源的距离变为。可见，从到这个过程中，像实际上是向靠近点光源的方向移动了；当透镜距离点光源时，对应的像距，此时像与点光源的距离变为，则从到这个过程中，像实际上是向远离点光源的方向移动了，因此，整个过程中像移动的路程为。正确选项为D。本题极易犯的错
11、误就是只找到了像的初末位置，而误选B选项。在凸透镜成像问题中，类似上述“极值”问题不在少数，读者朋友请看下例。例6 （上海第30届大同杯）凸透镜的焦距为，点光源和光屏位于凸透镜的左右两侧，点光源位于凸透镜的主光轴上，光屏与凸透镜的主光轴垂直并和点光源的距离保持不变，且。左右移动凸透镜的位置，当光屏上的光斑最小时，凸透镜与点光源的距离为（ ）。ABCD分析与解 如图2.135所示，设点光源与透镜的距离为，则光屏与透镜的距离为，设像距为，由凸透镜成像公式，可得。当光屏上的光斑半径最小时，光斑面积最小。根据相似三角形的相关知识，可得光斑半径与透镜半径之比为化简可得，结合基本不等式，当且仅当时，即时，
12、不等式取等号，即取得最小值。本题正确选项为C。另外，当时，值为负，按上述方式进行讨论，C选项同样成立。3像的移动速度问题凸透镜成像时，当物体靠近凸透镜或者远离凸透镜时，像也会随之移动。但是像与物体移动的距离并不相同，这也就说明像与物移动速度不同，我们以一个竞赛真题为例题，来说明这类问题的解答方法。例7 （上海第29届大同杯复赛）在一个足够大的水平圆盘中心点处固定放置一个焦距为的凸透镜，在透镜的主光轴上与透镜相距为处放一点光源，所成的像为，俯视图如图2.136所示。背景知识：物体经过某位置时的速度可以用在很短的时间内移动的距离与所用的时间的比值来表示。可以证明当时，近似有。试结合以上背景知识求解
13、下列问题：（1）若圆盘绕点匀速转动时，如图2.136所示，光源与透镜保持距离为，随透镜一起运动的速度为，则此时像的速度为多大？（2）若圆盘静止不动，光源沿透镜的主光轴以速度向透镜移动，则当与透镜的距离为时，实像的移动速度为多大？分析与解 （1）设像与透镜的距离为，则根据凸透镜成像公式，有，可得。当圆盘匀速转动时，光源与像都做圆周运动，它们在相等时间内转过的弧长为，与它们到透镜的距离成正比，即，因此得。（2）当光源距离透镜为时，根据透镜成像公式，像距离透镜为，设光源在极短的时间内，向透镜靠近了的距离，则此时物距为，对应的像距为，根据速度公式，有，则化简后有结合时，继续化简得4二次成像法（共扼法）
14、测凸透镜焦距当物体和屏的相对位置不变，且间距时，凸透镜置于物、屏之间，移动凸透镜能在屏上得到两个清晰的实像，若凸透镜两次移动的距离为，则可以证明透镜焦距为，现证明如下：如图2.137所示，设第一次成像时的物距为，则第一次成像的像距为。第二次成像的物距为，第二次成像的像距为。根据透镜成像的对称性，第一次成像时的像距应等于第二次成像的物距，第一次成像时的物距也等于第二次成像的像距，两次成像的过程相当于物距、像距对调。因此有，第一次成像时的像距，结合透镜成像公式，得证。值得一提的是，图2.137中第一次成像的放大率，第二次成像的放大率，所以。例8 如图2.138所示，两端开口的圆筒内嵌有一凸透镜，透
15、镜主光轴恰好与圆筒中轴线重合。为了测出该透镜的焦距以及透镜在圆筒内的位置，小李同学做如下实验：在圆筒左侧凸透镜的主光轴上放置一点光源，在圆筒右侧垂直凸透镜的主光轴方向固定一光屏，点光源与光屏的距离为。左右移动圆筒，当圆筒左端面距离点光源为时，恰好在光屏上成一个清晰的像；将圆筒向右水平移动距离，光屏上又出现了一个清晰的像。则凸透镜和圆筒左端面的距离为_，该透镜的焦距为_。分析与解 第一次成像时，物距，透镜向右移动距离后是第二次成像，第二次成像时的像距，由于二次成像过程中第一次的物距等于第二次的像距，因此有，得。则第一次成像的物距，第一次成像的像距，由凸透镜成像公式可得，当然也可以由二次成像公式直
16、接得出焦距。本题正确答案为，。三、光具组成像问题所谓光具组，是指两个或两个以上的光学元件组合在一起形成的一个成像系统，光具组中的各个元件分别对光线进行反射、折射，并多次成像。解决这类问题的关键是要画出光线的传播路径，并实际分析光线是否能通过某一光学元件成像。这里还应区分实像与虚像的形成原理：实像是光线实际会聚形成的，虚像是光线的反向延长线会聚形成的。例9 （上海第25届大同杯初赛）如图2.139所示，平面镜水平放置且镜面朝上，在镜面上方竖直放置一凸透镜，在凸透镜左侧主光轴上两倍焦距处有一点光源，关于点光源在该光具组中成像情况的判断，正确的是（ ）。A两个实像，两个虚像B两个实像，一个虚像C一个
17、实像，两个虚像D一个实像，三个虚像分析与解 如图2.140（a）所示，点光源可通过透镜在另一侧主光轴上的两倍焦距处成一个实像，该实像为折射光线的会聚点，而一些会聚光线经过后会入射到平面镜上，因此又会在平面镜中成一个虚像，从“发出”的光线不会再入射到凸透镜上，因此不会再继续成像；另如图2.140（b）所示，点光源亦可通过平面镜直接成一虚像，从“发出”的光线有些会入射到透镜中，又会在透镜另一侧主光轴上方的两倍焦距处成一实像，经过的光线不会入射到平面镜上，因此不能再继续成像。综上所述，点光源在该光具组中可以成两个实像，两个虚像，选项A正确。例10 如图2.141所示，在凸透镜的两个焦点处，垂直光轴放
18、置两个大小相同的平面镜，镜面相对。每个平面镜都关于凸透镜的光轴上下对称。现在左侧平面镜的中心处挖出一个圆孔，在凸透镜左侧两倍焦距处放一个点光源，则点光源在该光具组中所成的虚像个数为（ ）。A一个B两个C无数个D一个也没有分析与解 如图2.142所示，从点光源发出的光线一部分穿过左边平面镜中央的圆孔入射到凸透镜上，这些光线的折射光线的延长线将经过点光源在另一侧处的像点，折射光线经右侧的平面镜反射后，根据光的反射定律及图中几何关系，这些反射光线恰通过凸透镜光心，在光心处成一个实像。穿过光心的光线又恰从左边平面镜中央的圆孔射出，并未入射到镜面上，因此整个过程中没有出现光线的反向延长线会聚于一点，故不
19、会成虚像，选项D正确。练习题1如图2.143所示，光线经过某凸透镜的一个焦点，点在薄透镜上。已知是该透镜的另一个焦点。若使用圆规和刻度尺来确定透镜的位置，则还需知道的条件是（ ）。A光线经过的焦点位置B透镜光心的位置C光线经透镜后的折射光线D不需要任何条件2（上海第29届大同杯初赛）小明利用太阳光测量凸透镜的焦距，方法如图2.144所示。他注意到让凸透镜正对阳光，但没有仔细调节纸片与透镜的距离。在纸片上的光斑并不是最小时，就测出了光斑到凸透镜中心的距离，则凸透镜的实际焦距（ ）。A一定小于B一定大于C可能等于D可能小于，也可能大于3如图2.145所示，在光具座上自左向右依次竖直放置一个凹透镜、
20、凸透镜和平面镜，两个透镜的主光轴重合，凸透镜的焦距为，此时两个透镜之间的距离为。在凹透镜的左侧有一水平平行光束通过两个透镜后人射到平面镜上，经平面镜反射后，反射光恰能沿原来的光路返回，据此可判断凹透镜的焦距为（ ）。ABCD4如图2.146所示，当用眼睛去观察镜子时，光束似乎是从处发散开来的，则透镜的焦距是（ ）。ABCD5（上海第28届大同杯初赛）如图2.147所示，遮光板与光屏平行且相距为，在的中央挖一直径为的圆孔，并在孔内嵌入与孔等大的薄凸透镜。现有一束平行光束垂直照射遮光板，在光屏上形成了一个直径为的圆形光斑，则该凸透镜的焦距大小可能为（ ）。ABCD 6（上海第31届大同杯初赛）如图
21、2.148所示，一束平行于凸透镜主光轴的平行光经透镜会聚到焦点。现在的右侧一倍焦距内某位置处放置一障碍物，且与主光轴垂直，其中心有一个直径为的圆孔，圆心位于主光轴上，在障碍物的右侧，距离障碍物处垂直主光轴放置一个光屏（图中未画出），屏上出现了一个直径为的圆形光斑。若在障碍物圆孔处嵌入一块薄凹透镜，屏上恰好出现一个亮点，已知，则凹透镜的焦距大小为（ ）。ABCD7一束光线经过某光学元件后的出射光线如图2.149所示，则方框内放置的光学元件（ ）。A只能是平面镜或凸透镜B只能是凸透镜或凹透镜C只能是凹透镜或平面镜D平面镜、凸透镜和凹透镜均可8（上海第28届大同杯复赛）如果不慎在照相机镜头上粘上一个
22、灰尘颗粒（如图2.150），那么拍摄的相片（ ）。A其上部将出现一个黑点B其下部将出现一个黑点C其上部和下部皆无黑点D其上部和下部各出现一个黑点 9（上海第28届大同杯初赛）用普通照相机拍照时，要根据物距进行“调焦”，使用起来不太便捷。有一种“傻瓜”照相机，只要将景物全部纳入取景区内，不论景物的远近，都能得到比较清晰的像，从而使拍照的过程变得十分便捷。这种“傻瓜”相机不用调焦的奥秘是（ ）。A采用了长焦距的镜头，使远近不同的物体成像的位置相差不大B采用了短焦距的镜头，使远近不同的物体成像的位置相差不大C采用了长焦距的镜头，使远近不同的物体成像的位置相同D采用了短焦距的镜头，使远近不同的物体成像
23、的位置相同10（上海第24届大同杯初赛）如图2.151所示，是凸透镜的焦点，是放在凸透镜前的点光源是经凸透镜所成的像。当光源沿平行主轴的方向向透镜移动时（始终保持），像远离透镜移动的情况是（ ）。A沿平行主轴方向B沿与连线方向C沿与连线方向D沿与连线方向11如图2.152所示，凸透镜竖直放置，凸透镜焦距为，现有一点光源在凸透镜左侧以凸透镜两倍焦距处为圆心，在经过主光轴的竖直平面内做顺时针圆周运动，直径为，则，则在下列关于点光源所成像运动轨迹的各图中，正确的是（ ）。 A B C D12一块凸透镜被剖成对称的两半，并按图2.153所示对接。一个物体置于凸透镜前两倍焦距处，则对凸透镜成像的描述中，
24、有可能正确的是（ ）。 A B C D13（上海第31届大同杯）如图2.154所示，点光源位于凸透镜的主光轴上（图中未画出凸透镜的位置），当点光源位于点处，像成于点；当点光源位于点处，像成于点。已知，则凸透镜的焦距大小为（ ）。ABCD14一焦距为的凸透镜，主轴和水平轴重合，透镜左侧的轴上有一点光源，点光源到透镜的距离大于而小于，若将此透镜沿轴向右平移的距离，则在此过程中点光源经透镜所成的像将（ ）。A一直向右移动B一直向左移动C先向右移动，接着向左移动D先向左移动，接着向右移动15（上海第29届大同杯）某人通过焦距为、直径为的放大镜（薄凸透镜）看报纸，报纸与放大镜之间的距离为，且与放大镜的主
25、光轴垂直，保持放大镜的位置不变，眼睛始终位于主轴上且在距离放大镜位置处进行观测（不考虑眼睛的大小），报纸上有部分区域是“盲区”（即眼睛观测不到），该区域的面积为（ ）。ABCD16（上海第28届大同杯）用凸透镜成像时，定义像与物的大小之比为“放大率”，则在物体成像的情况下（ ）。A物距一定时，焦距越小放大率越大B物距一定时，焦距越大放大率越大C焦距一定时，物体离同侧焦点越近放大率越大D焦距一定时，物体离凸透镜越近放大率越大17（上海第29届大同杯）将物距增大到原来的3倍时，通过凸透镜所成的像的大小是原来像的，则此时所成像的放大率可能为（ ）。ABCD18（上海第31届大同杯）物体的高度为，与凸
26、透镜的主光轴垂直放置，经凸透镜成高度为的缩小的像。若将物体朝透镜方向靠近，经凸透镜成高度为的放大的像，则此凸透镜的焦距大小可能为（ ）。ABCD19（上海第26届大同杯初赛）如图2.155所示的两平面镜和成直角放置，凸透镜的主光轴恰好是该直角的角平分线，凸透镜的光心为，点恰好是凸透镜的焦点，光源位于主光轴上，通过该系统，光源所成的像为（ ）。A四个虚像，三个实像B四个虚像，一个实像C三个虚像，一个实像D三个虚像，两个实像20如图2.156所示，平面镜和凸透镜的主光轴垂直并处在凸透镜两倍焦距处，在凸透镜另一侧两倍焦距处有一个点光源。现将平面镜向凸透镜靠近，关于点光源所成的像，下述结论中错误的是（
27、 ）。A平面镜在移动过程中，最多只能成两个实像B平面镜移动到一定位置时，正好只成一个实像C平面镜移动到一定位置时，正好只成一个虚像D平面镜移动到一定位置时，正好既成一个实像，又成一个虚像 21（上海第23届大同杯初赛）如图2.157所示，竖直放置的不透光物体（足够大）中紧密嵌有一凸透镜，透镜左侧两倍焦距处，有一个与主光轴垂直的物体，在透镜右侧三倍焦距处竖直放置一平面镜，镜面与凸透镜的主光轴垂直，两点都在主光轴上，与高度相等且与透镜上半部分等高。遮住透镜的下半部分，则在该光具组中，物体的成像情况是（ ）。A两个实像，一个虚像B一个实像，两个虚像C只有一个虚像D只有一个实像22（上海第12届大同杯
28、复赛）如图2.158所示，在直角坐标系原点处放置平面镜，它与轴成夹角。在点正下方处水平放置一焦距为的凸透镜。为一点光源，则关于凸透镜所成的像正确的是（ ）。A在凸透镜下方成一个实像，在凸透镜上方成一个虚像B只在凸透镜下方成一个实像C在凸透镜的下方、轴的左右两侧各成一个实像，但左边的实像更靠近凸透镜D在凸透镜的下方、轴的左右两侧各成一个实像，但右边的实像更靠近凸透镜23光源与光屏相距固定，将凸透镜放在它们之间的某一位置时，屏上成一放大的像；把凸透镜移到另一位置时，屏上成一缩小的像。若第一次像的长度是第二次像的长度的4倍，则凸透镜的焦距为_。24一物体经焦距为的凸透镜成一个放大率为1.5的像，则物
29、体到透镜的距离为_。25凸透镜的焦距为，一物体放在凸透镜前，要得到放大率为3的虚像，则物体离透镜的距离为_。26（上海第25届大同杯初赛）如图2.159所示，不透光小圆盘和小圆形发光面的半径均为，平行、竖直放置，两者相距。在它们正中间放置一个焦距为的凹透镜，透镜的主光轴通过和的圆心。在的右侧距为处，放置一平行于圆盘面的光屏（足够大），则不透光圆盘在光屏上形成的本影（发光面发出的任何光线都不能进入该区域内）面积为；不透光圆盘在光屏上形成的半影（发光面发出的光线中只有部分能进人该区域内）面积为_。不透光圆盘在光屏上形成的半影（发光面发出的光线中只有部分能进人该区域内）面积为_。27（上海第20届大
30、同杯复赛）某人通过焦距为、直径为的凸透镜看报纸。此时眼睛距离报纸，凸透镜距离报纸。设眼睛在透镜的主光轴上，报纸平面垂直于主光轴，如图2.160所示。（1）此时报纸的像距眼睛有多远？（2）若报纸上密排着宽、高均为的字，则他通过透镜至多能看清同一行上几个完整的字（忽略眼睛瞳孔的大小）？28（上海第25届大同杯复赛）在做光学实验时，某同学需要将一束平行光的宽度放大2倍，于是他在光束路径中放置了由两片透镜组成的透镜组来达到此目的，如图2.161所示。若其中一片透镜是焦距为f的凸透镜：（1）如果另一片透镜采用的是凸透镜，那么其焦距应为多少？应置于何处？（2）如果另一片透镜采用的是凹透镜，那么其焦距应为多
31、少？应置于何处？29（上海第26届大同杯复赛）如图2.162所示，复印机的扫描器由截面为正六边形、表面为镜面的柱体构成，正六边形的边长为，柱体可以绕转动轴转动（如图所示）。在扫描器右侧并排竖直放置一个薄透镜，透镜的焦距为f，透镜的主光轴通过扫描器的转动轴。在透镜右焦平面上放置一光屏，光屏的中心位于主光轴上。现有一竖直光束，其延长线与转动轴的距离为，从图示位置射向扫描器。（1）请用尺规作图，画出该光线通过系统后射到光屏上的位置。（2）求射到主光轴上方光屏的光点到主光轴的最大距离。30（上海第28届大同杯复赛）如图2.163所示，两个焦距分别为和的薄透镜和平行放置，两透镜的光轴略微错开。已知两透镜
32、相距为，两光轴间的距离为。以透镜的光心为原点，以其主光轴为轴（向右为正方向），以向上方向为轴正方向，在图示平面内建立直角坐标系。求此透镜组右侧的焦点坐标。31（上海第25届大同杯复赛）薄膜干涉是一种重要的光学现象，其装置如图2.164所示，将一块平板玻璃放置在另一平板玻璃上，在一端夹入几张纸片，从而在两片玻璃表面之间形成一个劈形空气薄膜，当某单色光垂直入射后，利用显微镜可观测到空气薄膜附近明暗相间的条纹，当纸张数不同时，条纹数也不同。如图2.164所示，条纹平行且等间距。某同学测量在相同范围内看到的亮条纹数，记录在表2.3中：表2.3纸张数26101214条纹数39151921（1）请你分析上
33、述数据，猜测单位长度内的条纹数与薄膜的顶角的关系。（2）将一根金属丝替换纸片夹在两玻璃板之间，数出条纹数为6条，问：它的直径相当于几张纸的厚度？（3）现在有两根粗细不相等（微有差别）的金属丝和，将和放在钢质平台上，和上面用一透明平板压住，如图2.165所示。则在和钢质平台间形成了尖劈形空气薄层，在某单色光垂直照射下产生明暗相间的条纹，试简述怎样判断和谁粗谁细。参考答案1D。点是凸透镜上的点，则点到凸透镜的两个焦点距离相等。以点为圆心，的长度为半径画圆，交光线于，则为凸透镜的另一焦点，连接，并找到的中点，则点即为凸透镜的光心，至此透镜位置已确定。2D。纸片上的光斑不是最小，说明纸片放在了焦点之前
34、，或者焦点之后。3D。要使光线经平面镜反射后能原路返回，需使光线垂直入射到镜面上，光路图如图2.166所示，为凸透镜和凹透镜共同的焦点，则凹透镜的焦距为。4D。如图2.167所示，找到点关于平面镜的对称点，当平行光经凸透镜会聚于点时，用眼睛观察平面镜，光线好像是从点发散开来的。显然，是凸透镜的焦点，则焦距为。5AD。光屏的位置为图2.168所示的，两个位置，当光屏在位置时，由相似三角形的知识有，解得；当光屏在位置时，由相似三角形知识有，解得。 6C。如图2.169所示，障碍物的圆孔内未加凹透镜时，光线会聚在点，点为凸透镜的焦点。当圆孔内加凹透镜后，凹透镜对光线有发散作用，最终光线会聚在光屏上的
35、点。根据光路的可逆性，可将点视为一个发光点，则点为通过凹透镜所成的虚像，由题给条件，可知物距，又，可知像距大小，设凹透镜焦距大小为，则由透镜成像公式，并考虑像距、焦距的正负，有，代入数据有，解得。7D。满足题意的光学元件可以是平面镜、凸透镜和凹透镜，如图2.170所示。8C。照相机镜头是凸透镜，镜面上的灰尘颗粒不会成像在底片上，相片上也不会有黑点出现。9B。要得到清晰的像，就要使得像出现在底片上。用“傻瓜”照相机拍照时，无论景物远近，都能得到清晰的像，说明物距的改变对像距大小的影响不大，就是说无论物距多大，像总是成在略大于凸透镜一倍焦距的小范围内，因此，要求焦距非常小使物距总满足远大于2倍的焦
36、距。10C。自光源发出的平行于主光轴和过光心的两条入射光线，经透镜折射后的折射光线的交点即为像。由图2.171可知，当光源沿平行于主光轴的方向向透镜移动时，像沿着与连线的方向远离透镜。11D。在点光源运动的轨迹圆上找到位于圆心的上下左右方向的四个点，并逐一作出点光源经过这四个点时所成的像的位置，并根据凸透镜成实像时“物远像近，物近像远”的规律判断出像的移动方向。12C。分别将两个透镜补完整，可知物体通过两个透镜所成的像均为等大、倒立的实像，且物体通过两个透镜所成的像，分别位于补完整后上方透镜主光轴的上方和补完整后下方透镜主光轴的下方，因此本题正确选项为C。13D。先确定凸透镜的大概位置。若点光
37、源在点时，在点成的像是实像，则透镜一定在和之间，且点在一倍焦距以外。这样再将物体放置在点时，只会成像于点，而不会成像于点，因此透镜不在和之间。再假设透镜在点右侧，则两次成像过程均是像与物在透镜同侧，而凸透镜所成虚像应该位于物体的外侧，因此透镜不在点右侧。可见，透镜只能位于点左侧，这正好符合凸透镜成虚像的情况。设点光源在点时，物距为，则像距大小为，由凸透镜成像公式得，当点光源在点时，物距变为，像矩大小变为，由凸透镜成像公式得，由以上两式解得，本题正确选项为D。14D。设透镜焦距为，初始时点光源到透镜的距离为。透镜向右移动距离，物距变为，根据透镜成像公式，像距满足，解得，则可得点光源的像到点光源的
38、距离为 结合基本不等式当且仅当，即（即透镜左侧的2倍焦距点恰移动到点光源位置）时，不等式取等号。可见。当时，随的增大而减小；当时，取得最小值；当时，随的增大而增大。由于点光源始终未移动，因此，点光源的像先靠近，再远离点光源。15D。将眼睛视为一点光源，则从眼睛“发出”的光线，一部分沿直线传播直接照射到报纸上，一部分被透镜折射后照射到报纸上，凡是报纸上有光线照射的部分均为眼睛能看到的区域，光线照射不到的区域为眼睛观测不到的“盲区”。根据凸透镜成像规律，可知眼睛的像位于透镜另一侧的两倍焦距处，画出如图2.172所示的光路图，可知，图中以为半径的圆内均有折射光线可以照射到，图中以为半径的圆外均有从眼
39、睛直接发出的光线可以照射到，因此，照射不到的“盲区”即为图中半径分别为，的两个圆之间的环形区域。结合三角形相似的知识，易得，因此可得自区的面积为。16D。由透镜成像规律，解得，所以放大率。可见，和越接近，放大率越大。17AD。设第一次成像时物距为，像距为，第二次成像时物距为，像距为，注意这里假设的各量均取绝对值。则第一次成像的放大率为，第二次成像的放大率为，因为第二次成像的大小是第一次成像大小的，即，可得。两次成像过程的可能情况如下：（1）第一次成虚像，第二次成实像，则根据成像公式，分别有，结合，则得，第二次成像的放大率为，选项D正确。（2）第一次成实像，第二次成实像，则根据成像公式，分别有，
40、结合，则得，第二次成像的放大率为，选项A正确。本题正确选项为AD。18AB。设第一次成像时物距为，像距为，则；由题知第二次成像时物距为，像距为。则下面分情况讨论成像情况：（1）若第一次、第二次均成实像，则根据成像公式，并将像距代入，有，解得，。（2）若第一次成实像，第二次成虚像（像距取负值），则根据成像公式，并将像距代入，有，解得，。综上所述，本题正确选项为AB。19C。如图2.173所示，点光源可通过平面镜成三个像，由题可知其中，与透镜的距离恰为一倍焦距，因此，不会再通过透镜成像，位于透镜的两倍焦距处，因此可在透镜上方的两倍焦距处成像（图中未画出），但是可以看出经过透镜上方两倍焦距处的光线不
41、会再人入射到平面镜上，因此不会再继续成像。综上所述，该光具组共成三个虚像，一个实像，选项C正确。20C。本来是要在平面镜这一边的两倍焦距处成一个实像的，可是光线由于被平面镜挡住而不能会聚于两倍焦距处，而是反射后向两倍焦距处关于平面镜的对称点会聚。当这个对称点仍在透镜的平面镜这一侧（即平面镜在两倍焦距与一倍焦距之间）时，能够会聚成一个实像，这个实像在一倍焦距以内，将再通过透镜成虚像，这是选项A和D的情况。而当平面镜在一倍焦距以内时，对称点将在透镜的另一边，光线还没会聚又碰到透镜了，于是只能经透镜折射后成唯一的实像，跟在同一边，这是选项B的情况。只有选项C是不可能的，故选C。21D。物体放在凸透镜
42、的两倍焦距处，将在另一侧的两倍焦距处成一个倒立、等大的实像，如图2.174所示。将透镜的下半部分遮住后，像的情况并不改变。从，两点发出的光线经过透镜折射后，折射光线分别通过像点，由图可知，折射光线并未入射到平面镜上，因此不会再成虚像。22D。点到凸透镜的距离为，即位于透镜一倍焦距和两倍焦距之间，则直接通过凸透镜成一个在透镜下方两倍焦距以外且在轴左侧的实像，同时该像到轴的距离大于。通过平面镜成一个虚像，该虚像的坐标为，由于自出发、经平面镜反射的光线可以入射到凸透镜上，因此可以通过凸透镜成像。到透镜的距离，位于透镜两倍焦距以外，将成一个位于透镜一倍焦距与二倍焦距之间，且位于轴右侧的实像，同时到轴的
43、距离小于。23。这是凸透镜的共扼成像问题，第一次成放大的像，放大率应为2，第二次成缩小的像，放大率为。因此第一次成像时物距与像距满足，且，解得，。再由透镜成像公式，解得。24或。设物距和像矩的大小分别为和，则。若像为实像，则根据透镜成像规律，解得；若像为虚像，则，解得。25。略。26，。首先确定发光面的像的位置，由透镜成像公式，注意凹透镜的焦距、像矩在公式中均应取负值，则，解得，则像的放大率为，所以发光面的像在距离透镜处，与发光面位于透镜同一侧。由于自发光面发出的任何一条光线经过凹透镜折射后，折射光线的反向延长线必通过像，因此，可以将视为一个新的“光源”，其发出的光（直线传播）在不透光圆盘后留
44、下影子，如图2.175所示。则以为圆心、为直径的圆即为本影区域，以为圆心、和为直径的两圆之间的环形部分即为半影区域，由几何知识可得，因此本影面积为，半影面积为。27（1）；（2）20个。由题可知眼睛距离凸透镜，恰位于透镜的焦点上。设报纸的虚像像矩大小为，则根据透镜成像公式，有，即，解得，因此报纸的像到眼睛的距离为。将眼睛视为点光源，则眼睛“发出”的光线经凸透镜折射后照射到报纸上的区域，即为眼睛能通过透镜看到的范围。如图2.176所示，由于眼睛恰位于焦点，显然眼睛能看到的报纸上的区域为直径为的圆，因此位于该圆直径上的那一行字是能被看到的最多的一行字，即至多能看到个字。28（1）有两解：放置一个焦
45、距为的凸透镜，放置在第一片透镜后处；放置一个焦距为的凸透镜，放置在第一片透镜前处。（2）放置一个焦距为的凹透镜，放置在第一片透镜前处。29（1）如图2.177所示，先画出反射光线，该反射光线入射到凸透镜上，再画出该光线对应的副光轴，找到副焦点，即可画出光线通过透镜后射到光屏上的位置。（2）柱体从图示位置转过，入射点的法线与竖直方向的夹角从增加到又减小到，因此柱体在转动过程中，反射光线与入射光线的最大夹角为，所以反射光线偏离主光轴（主光轴上方）的最大夹角为，作出与反射光线平行的副光轴交于焦平面，找到副焦点，并画出折射光线，如图2.178所示，可见。 30如图2.179所示，沿主光轴入射的光线经折射后，折射光线交于点，折射光线的延长线过的焦点，根据虚焦点和焦平面的知识可画出光线经折射后的光线，其中为的副焦点。由题给坐标系（未画出），结合数学知识，可知，。两点的坐标分别为和，直线叫的直线方程为。如图2.180所示，沿着主光轴入射的光线经后传播方向不变，交于点，经折射后，折射光线过右侧的焦点，由题给坐标系（未画出），结合数学知识可知，两点坐标分别为和，因此直线的方程可表示为。光线，的交点即为透镜组右侧的焦点，焦点的坐标即为光线，的方程的解，因此可得的坐标为。31（1）单位长度内条纹数与薄膜的顶角成正比关系。（2）由内插法可知，直径相当于4张纸的厚度。（3）可以在靠