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1、第四章DISIZHANG导数应用2导数在实际问题中的应用课后篇巩固提升A组1.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间0,1上的最小值为()A.-1B.0C.-D.答案C解析g(x)=x3-x,由g(x)=3x2-1=0,解得x1=,x2=-(舍去).当x变化时,g(x)与g(x)的变化状态如下表:x01g(x)-0+g(x)0-0所以当x=时,g(x)有最小值g=-.2.函数y=f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为()A.-eB.1-eC.-1D.0答案C解析y=-1,令y=0,x=1,列表如下:x(0,1)1(1,e)ey+0-y-11-ey最大值=f(1)=-1.3.
2、函数y=f(x)=()A.有最大值2,无最小值B.无最大值,有最小值-2C.最大值为2,最小值为-2D.无最值答案C解析y=,令y=0,得x=1,容易验证当x=-1时,函数取极小值f(-1)=-2,当x=1时函数取极大值f(1)=2.又因为当x=0时,y=0,当x0时,y0时,y0,据此可以画出函数的大致图像如下,由图像可知,函数的最大值为f(1)=2,函数的最小值为f(-1)=-2.4.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R=R(x)=则总利润P最大时,每年生产的产品是()A.100单位B.150单位C.200单位D
3、.300单位答案D解析由题意知,总成本为C=20000+100x.而总利润为P=P(x)=R-C=P(x)=令P(x)=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x(0,0.048),则银行获得最大收益时,存款利率为()A.0.012B.0.024C.0.032D.0.036答案B解析由题意,存款量g(x)=kx(k0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x(0,0.048).设银行可获得的收益为y,则y=0.04
4、8kx-kx2.于是y=0.048k-2kx,令y=0,解得x=0.024,依题意知y在x=0.024处取得最大值.故银行获得最大收益时,存款利率为0.024.6.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形,做成一个无盖方盒.若该方盒的体积为2,则a的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案C解析设截去的小正方形边长为x,则无盖方盒底边是边长为a-2x的正方形,高为x,所以其体积为V(x)=(a-2x)2x=4x3-4ax2+a2x,x0,则V(x)=12x2-8ax+a2=(2x-a)(6x-a),x0,当0x0,V(x)是增加的,当x时,V(x)0,V(x)是减少的,所以V
5、max=V=.若该方盒的体积为2,则Vmax=V=2,解得a3.所以a的最小值为3.故选C.7.已知一个母线长3米的圆锥形容器,则当该容器的容积最大时,其高为米.答案3解析设圆锥形容器的高为h米,半径为r米,由勾股定理可得h2+r2=27,所以r2=27-h2,其中0h3,圆锥形容器的体积为V=r2h=(27-h2)h=(27h-h3),则V=(9-h2),令V=0,可得h=3(负值舍去).当0h0;当3h3时,V0,所以,当h=3时,圆锥形容器的体积V取得最大值.8.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为.答案解析因为f(
6、x)的图像始终在g(x)的上方,所以|MN|=f(x)-g(x)=x2-lnx,设h(x)=x2-lnx,则h(x)=2x-,令h(x)=0,得x=,所以h(x)在上是减少的,在上是增加的,所以当x=时有最小值,故t=.9.已知f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间-2,2上的最值.解(1)因为f(x)=2x3-mx2-12x+6,所以f(x)=6x2-2mx-12,因为f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2,所以f(2)=622-2m2-12=0,解得m=3.此时f(x)=2x3-3x2-12x+6,f(
7、x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f(x)=0,得x=-1或x=2.令f(x)0,得-1x0,得x2,故函数f(x)在区间(-1,2)上是减少的,在区间(-,-1),(2,+)上是增加的.(2)由(1)知,f(x)在-2,-1上是增加的,在(-1,2上是减少的,所以x=-1是函数f(x)的极大值点,又f(-2)=2,f(-1)=13,f(2)=-14,所以函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-14,最大值为13.10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距a m,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x m的相邻两墩之间
8、的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当a=640时,需新建多少个桥墩才能使y最小?解(1)设需要新建b个桥墩,则(b+1)x=a,即b=-1.因此,y=f(x)=256b+(b+1)(2+)x=256(2+)x=+a+2a-256.(2)由(1)知,f(x)=-=.令f(x)=0,得=512,所以x=64.当0x64时,f(x)0,f(x)在区间(0,64)上是减少的;当64x0,f(x)在区间(64,640)上是增加的,所以f(x)在x=64处取得最小值.此时,b=-1=-1
9、=9.即需新建9个桥墩才能使y最小.B组1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为s=t3-2t2,那么速度为0的时刻是()A.1秒末B.0秒C.2秒末D.0秒或1秒末答案D解析由题意可得v(t)=s=4t2-4t,令v(t)=s=0,解得t1=0,t2=1.2.已知函数f(x)=(2x-x2)ex,给出下列判断:f(x)0的解集是x|0x0,得2x-x20,所以0x2,故正确;f(x)=(2x-x2)ex=ex(2-2x+2x-x2)=ex(2-x2),令f(x)=0,得x=,容易验证f(-)是极小值,f()是极大值,所以正确;f(-)=(-2-2)0.当x+时,f(x)0,当x-
10、时,f(x)0.所以f(x)的大致图像为故f(x)无最小值,有最大值.不正确.3.在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OC=2x,OA=x,OB=y,且x+y=3,则三棱锥O-ABC体积的最大值为()A.4B.8C.D.答案C解析V=y=(0x3),V=2x-x2=x(2-x).令V=0,得x=2或x=0(舍去).故当x=2时,V最大为.4.若函数f(x)=在-2,2上的最大值为2,则实数a的取值范围是()A.B.C.(-,0D.答案D解析当x0时,f(x)=6x2+6x,易知函数f(x)在(-,0上的最大值点是x=-1,且f(-1)=2,故只要在(0,2上,eax2恒成立即可,即
11、axln2在(0,2上恒成立,即a在(0,2上恒成立,故aln2.5.将8分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为()A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不对答案B解析设一个数为x,则另一个数为8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0x8,y=48x-192.令y=0,即48x-192=0,解得x=4.当0x4时,y0;当40,所以当x=4时,y取得极小值,也是最小值.6.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x0),为使耗电量最小,则其速度应定为.答案40解析y=x2-39x-40=(x-40)(x+1),令y=0得x=40,
12、且当0x40时,y40时,y0,所以当x=40时,y取最小值,即速度为40时,耗电量最小.7.已知函数f(x)=x2-aln x+(1-a)x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)恒成立,求正实数a的取值范围.解(1)定义域为(0,+),f(x)=x-+1-a=.当a0时,在(0,+)上f(x)0,所以f(x)在定义域(0,+)上是增加的;当a0时,令f(x)0,有xa,令f(x)0,有0x恒成立等价于g(a)0,即-alna+(1-a)a0,整理得lna+a-10,令h(x)=lnx+x-1,易知h(x)在定义域上是增加的,且h(1)=0,所以当lna+a-10时,a的取值范围是
13、a|0a1.8.近年来,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足关系式y=+4(x-6)2,其中2x6,m为常数.已知当销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求m的值;(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数).解(1)因为当x=4时,y=21,代入关系式y=+4(x-6)2,得+16=21,解得m=10.(2)由(1)可知套题每日的销售量y=+4(x-6)2,所以每日销售套题所获得的利润f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2x6),从而f(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函数f(x)是增加的 ;在上,f(x)0,函数f(x)是减少的,所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.6