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1、单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.(2020全国卷)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i【解析】选A.(1-i)4=(-2i)2=-4.2.复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【解析】选A.因为z=i(i+1)=-1+i,所以=-1-i.3.若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2【解析】选B.因为(2+ai)(a-2i)=-4i,所以4a+(a2-4)i=-4i.所以解得,a=0.4.设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应
2、的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.=-1+i,由复数的几何意义知,-1+i在复平面内的对应点为(-1,1),该点位于第二象限.5.已知复数z满足|z|=2,则|z+3-4i|的最小值是()A.5B.2C.7D.3【解析】选D.|z|=2表示复数z在以原点为圆心,以2为半径的圆上,而|z+3-4i|表示圆上的点到(-3,4)这一点的距离,故|z+3-4i|的最小值为-2=5-2=3.6.复数=a+bi(a,bR,i是虚数单位),则a2-b2的值为()A.-1B.0C.1D.2【解析】选A.=-i=a+bi,所以a=0,b=-1,所以a2-b2=0-1=-1
3、.7.已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+)D.(-,-3)【解析】选A.由题意知即-3m1.故实数m的取值范围为(-3,1).8.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是,则等于()A.-1-2iB.-2+iC.-1+2iD.1+2i【解析】选C.由题意可得=-1+2i.【补偿训练】已知复数z=-+i,则+|z|=()A.-iB.-+iC.+iD.-i【解析】选D.因为z=-+i,所以+|z|=-i+=-i.9.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,mR,z2=3-2i,则“m=1”
4、是“z1=z2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.m=1时,z1=3-2i=z2,故“m=1”是“z1=z2”的充分条件.由z1=z2,得m2+m+1=3,且m2+m-4=-2,解得m=-2或m=1,故“m=1”不是“z1=z2”的必要条件.10.设z是复数,则下列命题中的假命题是()A.若z20,则z是实数B.若z20,则z是虚数C.若z是虚数,则z20D.若z是纯虚数,则z20【解析】选C.设z=a+bi,a,bRz2=a2-b2+2abi.对于选项A:若z20,则b=0z为实数,所以z为实数正确.对于选项B:若z20,则a=0,且
5、b0z为纯虚数,所以z为虚数正确.对于选项C:若z为虚数,则z2不一定为实数,所以z20错误.对于选项D:若z为纯虚数,则a=0,且b0z20,所以z20正确.11.若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则()A.b=2,c=3B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1D.b=2,c=-1【解析】选B.由题意可得(1+i)2+b(1+i)+c=0-1+b+c+(2+b)i=0,所以12.已知复数z=(x-2)+yi(x,yR)在复平面内对应的向量的模为,则的最大值是()A.B.C.D.【解析】选D.因为|(x-2)+yi|=,所以(x-2)2+y2=3,所以点(x,y)在
6、以C(2,0)为圆心,以为半径的圆上,如图,由平面几何知识知,-.二、填空题(每小题5分,共20分)13.若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z+z=_.【解析】因为z=1-2i,所以z=|z|2=5,所以z+z=6-2i.答案:6-2i14.设z2=z1-(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为_.【解析】设z1=a+bi(a,bR),则z2=z1-=a+bi-i(a-bi)=(a-b)-(a-b)i,因为z2的实部是-1,即a-b=-1,所以z2的虚部为1.答案:115.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=_.【解析】设m=b
7、i(bR,且b0),方程的实根为x0,则+(2-i)x0+(2bi-4)i=0,即(+2x0-2b)-(x0+4)i=0,即解得x0=-4,b=4.故m=4i.答案:4i16.已知复数z=a+bi(a,bR)且+=,则复数z在复平面对应的点位于第_象限.【解析】因为a,bR且+=,即+=,所以5a+5ai+2b+4bi=15-5i,即解得所以z=7-10i.所以z对应的点位于第四象限.答案:四三、解答题(共70分)17.(10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,求B点对应的复数.【解析】因为向量对应的复数是-2-4i,向量
8、对应的复数是-4-i,所以表示的复数是(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+对应的复数为(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B点对应的复数为5-2i.18.(12分)已知复数z1=i(1-i)3,(1)求|z1|.(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.【解析】(1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),所以|z1|=2.(2)|z|=1,所以设z=cos +isin ,|z-z1|=|cos +isin -2+2i|=.当sin=1时,|z-z1|取得最大值,从而得到|z-z1|的最大值为2+1.【一题多解】本题还可用下面的方法求解:|z|=1,可把复数z在
9、复平面内对应点的轨迹看成半径为1,圆心为(0,0)的圆,而z1对应坐标系中的点(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点的最大距离,由图可知:|z-z1|max=2+1.19.(12分)已知z=1+i,a,b为实数.(1)若=z2+3-4,求|;(2)若=1-i,求a,b的值.【解析】(1)因为=z2+3-4=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i,所以|=.(2)由条件=1-i,得=1-i,即=1-i.所以(a+b)+(a+2)i=1+i,所以解得20.(12分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中i为虚数单位,aR,若|z1-|z
10、1|,求a的取值范围.【解析】因为z1=2+3i,z2=a-2-i,=a-2+i,所以|z1-|=|(2+3i)-(a-2+i)|=|4-a+2i|=,又因为|z1|=,|z1-|z1|,所以,所以a2-8a+70,解得1a7.所以a的取值范围是(1,7).21.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.(1)求复数z.(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求ABC的面积.【解析】(1)设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z
11、2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以=1.当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以=1.22.(12分)已知z=m+3+3i,其中mC,且为纯虚数,(1)求m对应的点的轨迹;(2)求|z|的最大值、最小值.【解析】(1)设m=x+yi(x,yR),则=,因为为纯虚数,所以即所以m对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆,除去(-3,0),(3,0)两点.(2)由(1)知|m|=3,由已知m=z-(3+3i),所以|z-(3+3i)|=3.所以z所对应的点Z在以(3,3)为圆心,以3为半径的圆上.所以|z|的最大值为|3+3i|+3=9;最小值为|3+3i|-3=3.