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1、33.2简单的线性规划问题基础梳理1线性约束条件：_.2线性目标函数：_.3线性规划问题：_.4可行解：_.5可行域：_.6最优解：_.已知实数x，y满足求2xy的最大值，这个问题就是_其中实数x，y满足的不等式组是_，z2xy是_满足不等式组的解(x，y)叫_，如是一组可行解，由所有可行解组成的集合即不等式组所表示的平面区域(如上图阴影部分)是_易知，当x，y1时，目标函数z2xy取最大值2，故是这个规划问题的_7利用代数式的几何意义表示点P(x，y)与_连线的斜率.表示点P(x，y)与点_连线的斜率表示点P(x，y)到_的距离表示点P(x，y)到点_的距离8直线y2x1的斜率为_，在y轴上
2、的截距为_9直线ykxb与ymxn平行的条件是_10两直线y2x1与yx的交点坐标是_基础梳理1由关于x，y的一次不等式形成的约束条件2由关于两个变量x，y一次式形成的函数3在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题4满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解5由所有可行解组成的集合叫可行域6使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解线性规划问题线性约束条件线性目标函数可行解可行域最优解7原点(1，2)原点(1，2)8219.km，bn10.(1，1)自测自评1目标函数z3xy，将其看成直线方程时，z的几何意义是()A该直线的截距B该直线的纵截距C该直线的纵截距的相反数D该直
3、线的横截距2(2014福建卷)若变量x，y满足约束条件则z3xy的最小值为_3(2013陕西卷)若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_自测自评1解析：由z3xy变形得y3xz.故选C.答案：C2解析：作出可行域，通过目标函数线的平移求出最优解由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z3xy，即y3xz过点(0，1)时z取最小值为1.答案：13解析：如图，阴影部分为封闭区域，作直线2xy0，并向左上平移，过点A时，2xy最小，由得A(1，2)(2xy)min2(1)24.答案：4基础达标1(2014广东卷)若变量x，y满足约束条件，且z2xy的最
4、大值和最小值分别为M和m，则Mm()A8 B7 C6 D51解析：作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，直线y1交直线xy1于点A(2，1)，交直线yx于点B(1，1)，作直线l：z2xy，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A时，直线l在y轴上的截距最大，此时z取最大值M，即M22(1)3；当直线l经过可行域上的点B时，此时直线l在y轴上的截距最小，此时z取最小值m，即m2(1)(1)3.因此，Mm3(3)6，故选C.答案：C2已知实数x，y满足设z2xy.取点(3，2)可求得z8，取点(5，2)可求得zmax12，取点(1，1)可求得zmin3，取点(0，0)
5、可求得z0.则点(3，2)叫做_解，点(0，0)叫做_解，点(5，2)和点(1，1)叫做_解2解析：点(3，2)在可行域内，所以点(3，2)叫做可行解；点(0，0)不在可行域内，所以点(0，0)叫做非可行解；z2xy在点(5，2)和点(1，1)处取得最值，所以叫做最优解答案：可行非可行最优3已知非负实数x、y同时满足2xy40，xy10，则目标函数zx2(y2)2的最小值是()A4 B5 C6 D73解析：不等式组(x，y0)表示的平面区域如下图所示：又表示区域内的点到点B(0，2)的距离，当点(x，y)在点A(1，0)处时，()min，zx2(y2)2的最小值为5.答案：B4(2014湖南卷
6、)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最小值为6，则k_4解析：作出不等式组表示的平面区域，结合线性目标函数的最值求k.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z2xy，则y2xz.易知当直线y2xz过点A(k，k)时，z2xy取得最小值，即3k6，所以k2.答案：25在条件下，z(x1)2(y1)2的取值范围是_5解析：不等式组所表示的平面区域如下图所示：z表示区域内的点P(x，y)到点A(1，1)距离的平方，又|PA|min就是点A到直线xy1的距离，|PA|max就是点A到点(2，0)的距离，z2，即z的取值范围是.答案：6已知实数x，y满足则的最大值为_6解析：画出不等式组对应
7、的平面区域，如图所示表示平面区域上的点P(x，y)与原点的连线的斜率A(1，2)，B(3，0)，02.答案：2巩固提高7若则z2y2x4的最小值为()A2 B3 C4 D57解析：作出可行域，当直线z2y2x4过可行域上点B时，直线在y轴上的截距最小，z最小，又点B(1，1)，zmin212144.答案：C8将大小不同的两种钢板截成A、B两种规格的成品，每张钢板可同时截得这两种规格的成品的块数如下表所示若现在需要A、B两种规格的成品分别为12块和10块，则至少需要这两种钢板共_张. 规格类型钢板类型A规格B规格第一种钢板21第二种钢板138解析：设这两种钢板分别需要x，y张，依题意有：且x，y
8、N，可行域如下图所示：目标函数zxy，由x、yN，当x5，y2时，zmin7，即当直线xyz过点(5，2)时，z取最小值7.答案：79实数x、y满足不等式组：则k的取值范围为_9解析：不等式所表示的平面区域如下图所示k表示区域内的点与点M(1，3)连线的斜率由下图可知：kMOkkMA，又kMO3，kMA，3k.故k的取值范围是.答案：10某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有
9、300个问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？10分析：将已知数据列成表，如下表所示.产品消耗量资源甲产品乙产品资源限额煤/吨94300电力/千瓦时45200劳力/个310300利润/万元712设出未知量，根据资源限额建立约束条件，由利润建立目标函数解析：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，那么z7x12y.作出以上不等式组的可行域，如下图所示目标函数为z7x12y，变为yx，得到斜率为，在y轴上截距为，且随z变化的一簇平行直线由图可以得到，当直线经过可行域上点A时，截距最大，z最大解方程组得点A坐标为(20，24)所以zmax7201224428(万元)故生产甲、乙两种产品分别为20吨，24吨时，利润最大，最大值为428万元解简单线性规划问题的基本步骤：1画图画出线性约束条件所表示的平面区域，即可行域2定线令z0，得一过原点的直线3平移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线4求最优解通过解方程组求出最优解5求最值求出线性目标函数的最大或最小值10