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1、第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题专项攻克 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若质数a，b满足，则数据a，b，2，3的中位数是（ ）A4B7C4或7D4.5或6.52、某同学要统计本校图
2、书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类去图书馆收集学生借阅图书的记录绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）ABCD3、几何中研究物体时不研究它的（ ）A形状B大小C位置关系D颜色4、对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数甲：如图2，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取乙：如图3，思路是当x为矩形外接
3、圆直径长时就可移转过去；结果取n14丙：如图4，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取下列正确的是（）A甲的思路错，他的值对B乙的思路和他的值都对C甲和丙的值都对D甲、乙的思路都错，而丙的思路对5、一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响，灾情持续一天，就需粮食可能为（）A50万千克B40万千克C20万千克D10万千克6、如图，小明从A处出发沿北偏东方向行走至B处，又从B处沿南偏东方向行走至C处，则等于（ ）ABCD7、一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重
4、复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）A42个B36个C30个D28个8、几何原本是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法这种方法所体现的数学思想是（ ）A数形结合思想B分类讨论思想C转化思想D公理化思想9、扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度为，则可列方程为（）ABCD10、 “算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果下
5、列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；，经整理形成统计表如表：累计工作时长最多件数（时）种类（件）12345678甲类件305580100115125135145乙类件1020304050607080（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为_元；（2）如
6、果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为_元2、已知，是不相等的正实数，且，则的取值范围为_3、观察下列球的排列规律（其中是实心球，是空心球）：从第1个球起到第2004个球止，共有实心球_个4、如图所示线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高ABBC，DCBC，两建筑物间距离BC30米，若甲建筑物高AB28米，在A点测得D点的仰角45，则乙建筑物高DC_米5、方程的解为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（定义）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形华为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法
7、.例如：可将多项式通过恒等变形化为的形式，这个变形过程中应用了配方法.（理解）对于多项式，当 时，它的最小值为 .（应用）若，求的值.（拓展）、是的三边，且有.（1）若为整数，求的值.（2）若是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长.2、某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7:40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林离入口处的路程（米）与时间（分)的函数关系如图2所示. （1）求第
8、一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式.（2）求第一班车从人口处到达塔林所需的时间.（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）3、（阅读材料）我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，
9、乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形（理解应用）（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式（拓展升华）（2）利用（1）中的等式解决下列问题已知，求的值；已知，求的值4、某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分，积分均为正整数这五个队完成所有比赛后得到如下的积分表第一组ABCDE获胜场数总积分A2:12:01:22:0x13B1:2m0:21:20yC0:2n1:22:12pD
10、2:12:02:11:2312E0:22:11:22:129根据上表回答下列问题：（1）第一组一共进行了场比赛，A队的获胜场数x为；（2）当B队的总积分y6时，上表中m处应填，n处应填；（3）写出C队总积分p的所有可能值为：5、数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用探究一：求不等式的解集（1）探究的几何意义如图，在以O为原点的数轴上，设点A对应点的数为，由绝对值的定义可知，点A与O的距离为，可记为：AO=将线段AO向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为，点B的对应数是1，因
11、为AB= AO，所以AB=因此，的几何意义可以理解为数轴上所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB （2）求方程=2的解因为数轴上3与所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为（3）求不等式的解集因为表示数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点所对应的数的范围请在图的数轴上表示的解集，并写出这个解集探究二：探究的几何意义（1）探究的几何意义如图，在直角坐标系中，设点M的坐标为，过M作MPx轴于P，作MQy轴于Q，则点P点坐标（），Q点坐标（），|OP|=，|OQ|=，在RtOPM中，PMOQy，则因此的几何意义可以理解为点M与原点O
12、（0,0）之间的距离OM（2）探究的几何意义如图，在直角坐标系中，设点 A的坐标为，由探究（二）（1）可知，AO=，将线段 AO先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（1,5）因为AB= AO，所以 AB=，因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（1,5）之间的距离（3）探究的几何意义请仿照探究二（2）的方法，在图中画出图形，并写出探究过程（4）的几何意义可以理解为：_.拓展应用：（1）+的几何意义可以理解为：点A与点E的距离与点AA与点F_（填写坐标）的距离之和（2）+的最小值为_(直接写出结果)-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据题意可得
13、到，从而得到方程或或或，依此可求，的值，再根据中位数的定义即可求解【详解】解：质数，满足，即，或或或，解得或2，3，5，7的中位数是4；2，3，11，13的中位数是7故选：【点睛】本题主要考查了质数的计算，首先确定，的值是解决本题的关键2、D【分析】根据频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题【详解】由题意可得：正确统计步骤的顺序是：去图书馆收集学生借阅图书的记录整理借阅图书记录并绘制频数分布表绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类故选D【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤3、D【分析】根据数学
14、学科常识即可解答，几何中我们不研究物体的颜色、质量和材质等【详解】几何中研究物体的形状、大小和位置关系，不研究它的颜色、质量和材质等故选D【分析】本题主要考查几何基本知识，理解几何研究的内容是解题关键4、B【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长，即可判断甲和乙，丙中图示情况不是最长【详解】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n=14；乙的思路与计算都正确，n=14；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，n=（12+6）=13故选B【点睛】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键5、D【分析】答题时首先知道一个人一天需要
15、粮食多少，然后估算20万人需多少粮食【详解】人一天需要0.5kg粮食，故有20万人的生活受到影响，灾情持续一天，就需粮食可能为10万kg故选D【点睛】本题主要考查数学常识的知识点，知道生活中的数学常识是解答本题的关键6、C【分析】根据方位角和平行线性质求出ABE，再求出EBC即可得出答案【详解】解：如图：小明从A处沿北偏东40方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70方向行走至点C处，DAB=40，CBE=70，向北方向线是平行的，即ADBE，ABE=DAB=40，ABC=ABE+EBC=40+70=110，故选：C【点睛】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角
16、相等是解题的关键7、D【详解】试题解析：设盒子里有白球x个，根据得： 解得：x=28经检验得x=28是方程的解答：盒中大约有白球28个故选D8、D【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想故选：D【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解9、D【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得.【详解】设花带的宽度为，则可列方程为，故选D【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系.10、B【分析】根据数学常识逐一判别即可得【详解】A、九章算术
17、是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的；B、几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；C、海岛算经是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年所撰；D、周髀算经原名周髀，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作；故选B【点睛】本题主要考查数学常识，解题的关键是了解我国古代在数学领域的成就二、填空题1、160 180 【分析】（1）根据表格数据得出答案即可；（2）根据x+y8，x，y均为正整数，把所有收入可能都计算出，即可得出最大收入【详解】解：(1)由统计表可知:如果该快递员一天工作8小时只送甲类件，则他的收入是1145=
18、145(元)如果该快递员一天工作8小时只送乙类件，则他的收入是2 80= 160 (元)他一天的最大收入是160元;(2)依题意可知：x和y均正整数，且x+y= 8当x=1时，则y=7该快递员一天的收入是1 30+270=30+ 140= 170 (元)；当x=2时，则y=6该快递员-天的收入是155+260=55+120=175(元)；当x=3时，则y=5该快递员一天的收入是1 80+250= 80+ 100= 180 (元)；当x=4时，则y=4该快递员一天的收入是1100+240= 100+80 = 180 (元)；当x=5时，则y=3该快递员一天的收入是1115+230=115十60
19、= 175 (元)；当x=6时，则y=2该快递员一天的收入是1 125+ 2 20= 125+40 = 165 (元)；当x=7时，则y=1该快递员一天的收入是1135+210=135+20= 155 (元)综上讨论可知：他一天的最大收入为180元.故填： 160；180.【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，在给定的“x+y8，x，y均为正整数”的条件下，分情况讨论出最大收入即可.2、【分析】根据题意及立方差公式的展开形式可得出，然后可求出ab与a+b的关系式，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：，a，b为不相等的两正数，又，解得，故答案为：.【点睛】本题考查基本不等式、立方公式的应用
20、，难度不大，注意掌握立方公式的特点，结合完全平方式是解决本题的关键.3、【分析】解决此题的关键是找到规律：每10个球一组；第1，4，5为实心球，第2，3，6，7，8，9，10个为空心球【详解】解：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是每个循环节里有3个实心球我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数2004102004，2004个球里有200个循环节，还余4个球200个循环节里有2003=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球所以，一共有602个实心球4、58；【分析】过点A作AECD于点E，可得四边形ABCE为矩形，根据矩形的性质得AE
21、=BC=30米，AB=CE=28米，在RtDAE中可得DEAE30m，根据DCDE+EC即可求得DC的长.【详解】过点A作AECD于点E，ABBC，DCBC，四边形ABCE为矩形，AE=BC=30米，AB=CE=28米，根据题意得，在RtDAE中，DAE=45，DEAE30m，DCDE+EC58m.故答案为58.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，本题应借助仰角关系构造直角三角形，利用直角三角形模型解决问题5、或或【分析】这种类型方程的求解，通常的解法是将方程两边同时平方，整理后再次平方，其计算量相对较大.观察方程的形式，可以将方程变形后求解方程.【详解】解： 根据题意可设:，两式平方后相减
22、，整理得6x十4=2(3x十2)d，当3x+20，所以d=1，将d=1代入式，解得x1 =，x2=，将x1+x2代入式检验，符合题意.所以，x1 =，x2=为原方程的根.当3x+2=0即 时，代入原式满足等式关系.综上，方程的根是或或【点睛】本题巧妙地运用了数学问题转化为多个简单的问题进行求解.三、解答题1、【理解】，；【应用】；【拓展】（1）c的值为4，5，6；（2）12.【解析】【试题分析】【理解】= ，得当2时，它的最小值为1.【应用】，变形得： 配方得： 则，解得， 则 【拓展】（1），配方得：则，解得，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得：因为为整数，则的值为4，5，6
23、 （2）2,2，5（舍去）与5，5,2两种情况，得：等腰三角形的周长为12.【试题解析】【理解】 【应用】， ，解得， 【拓展】（1），解得，为整数，的值为4，5，6 （2）2,2，5（舍去）与5，5,2两种情况，得：等腰三角形的周长为12.【方法点睛】本题目是一道新定义题目，涉及知识点有，利用配方法，根据完全平方式的非负性求最值，三角形的三边关系，等腰三角形的周长，难度适中.2、（1）.；（2）10分钟；（3）第5班车，7分钟.【分析】（1）设y=kx+b，运用待定系数法求解即可；（2）把y=1500代入（1）的结论即可；（3）设小聪坐上了第n班车，30-25+10（n-1）40，解得n4.
24、5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可【详解】（1）解：由题意得，可设函数表达式为：.把，代入，得，解得.第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式为. （2）解：把代入，解得，（分）第一班车到塔林所需时间10分钟.（3）解：设小聪坐上第班车. ，解得，小聪最早坐上第5班车.等班车时间为5分钟，坐班车所需时间：（分），步行所需时间：（分），（分）小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键3、（1）；（2）13；4044【分析】（1）方法一是直接求出阴影部分
25、面积，方法二是间接求出阴影部分面积，即为边的正方形面积减去两个为宽、为长的矩形面积，即；（2）将，代入上题所得的等量关系式求值；可以将看作，将看作，代入（1）题的等量关系式求值即可【详解】（1）（2）由题意得：，把，代入上式得：由题意得：【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景及应用此题为阅读材料型，也是近几年经常考查的题型，熟练掌握完全平方公式并根据条件特点灵活应用是解决此题的关键4、（1）10，3；（2）2：0；（3）9或10【分析】（1）利用公式即可求出比赛场次，根据比赛表格可得出A的获胜的场次即可（2）由题可知：每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，根据题意可知每种结果都
26、会得到一个正整数积分，设以上四种得分为a，b，c，d，且abcd，根据E的总分可得：a+ b+2c9，根据D的总得分可得b+2c+d=12，根据A的总分可得：b+c+2d+13，解方程组，讨论整数解可得出a1，b2，c3，d=4；设m对应的积分为x，当y6时，b+x+a+b6，即2+x+1+26，解方程即可；（3）根据C队胜2场，分两种情况：当C、B的结果为2：0时，当C、B的结果为2：1时，分别把得分相加即可【详解】解：（1）10（场），第一组一共进行了10场比赛；每场比赛采用三局两胜制，A、B的结果为2：1，A获胜，A、C的结果为2：0，A获胜，A、E的结果为2：0，A获胜，A、D的结果为
27、1：A负，A队共获胜场3常， x=3，故答案为：10，3；（2）由题可知：每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，根据题意可知每种结果都会得到一个正整数积分，设以上四种得分为a，b，c，d，且abcd，根据E的总分可得：a+ b+2c9，根据D的总得分可得b+2c+d=12，根据A的总分可得：b+c+2d+13，-得d-c=1，d=c+1代入得b+3c=11，c=，b=2，c=3，d=c+1=4，a=9-2-6=1，a1，b2，c3，d=4，设m对应的积分为x，当y6时，b+x+a+b6，即2+x+1+26，x1，m处应填0：2；B：C0：2，C：B2：0，n处应填2：0；（3）
28、C队胜2场，分两种情况：当C、B的结果为2：0时，pa+d+c+b=1+4+3+210；当C、B的结果为2：1时，pa+2c+b=1+32+29；C队总积分p的所有可能值为9或10故答案为：9或10【点睛】本题考查比赛应用题，表格信息的收集与处理，四元方程组的解法，列代数式求值，分类讨论思想应用，认真阅读题目，读懂题意，是解题关键5、探究一（3） 解集为：探究二（3）（）拓展应用（1）（） （2）5【详解】试题分析：探究一（3）：的解集就是数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离小于2的点所对应的数，利用数轴可知探究二（3）：根据题目信息，的几何意义可以理解为点A（）与点B（）之间的距离拓展应用：根据题目信息知是与点F（）的距离之和+表示点A与点E的距离与点A与点F（）的距离之和最小值为E与点F（）的距离5.试题解析：探究一（3） 解集为：探究二（3）如图，在直角坐标系中，设点 A的坐标为，由探究（二）（1）可知， AO=，将线段 AO先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（）因为AB= AO，所以 AB=，因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（）之间的距离拓展应用（1）（） （2）5考点：信息阅读题