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1、排列组合中的分组分配问题一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象,称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同,仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1)每组两本.（2)一组一本,一组二本，一组三本。(3)一组四本，另外两组各一本。分析：(1)
2、分组与顺序无关,是组合问题。分组数是=90（种） ，这90种分组实际上重复了6次.我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：（1，2)（3，4）（5，6）与(3,4）(1，2)（5，6），由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数，所以分法是=15（种）。(2）先分组，方法是，那么还要不要除以？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的分法，即共有=60(种） 分法.（3）分组方法是=30（种） ，那么其中有没有重复的分法呢?我们
3、发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=15（种)。结论1： 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m，m,，m，其中k组内元素数目相等,那么分组方法数是。三、基本的分配的问题(一)定向分配问题例2 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1) 甲两本、乙两本、丙两本。(2) 甲一本、乙两本、丙三本.(3) 甲四本、乙一本、丙一本。 分析:由于分配给三人，每人分几本是一定的，属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出:分别有=90（种），=60(种）， =
4、30（种）。(二)不定向分配问题例3六本不同的书,分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1) 每人两本.(2） 一人一本、一人两本、一人三本.(3) 一人四本、一人一本、一人一本。分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以，即=90（种)， =360（种) =90(种）。结论2. 一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制,那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列.