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1、计算方法例题解答绪论 1.在进行一个工程问题数值计算时，一般误差有哪些可能的来源？ 模型误差、参数误差（测量、计算等）、理论误差（算法、模型应用）、舍如误差 （基本含义对即可） 第一章 插值 1.什么是插值？请写出线性插值公式和抛物插值公式。 2.已知，求的插值多项式。 解：由题意知： 3.今需作满足条件的插值多项式，采用什么插值方法（多项式），请给出多项式的构造步骤。 解法1：根据三次Hermite插值多项式： 并依条件，得 解法2：由于，故可直接由书中（3.9）式，得 4.设分段多项式 是以为节点的三次样条函数，试确定系数的值。 解：由可得 解得 5.对某扭振减振器刚度进行了测量，得出了一
2、组扭矩相对扭转角的数值如下表所示，现需要得出扭转角为0.3 o、0.8 o、2.3 o时的扭矩，请给出合适的拉格朗日插值方案，即如何选取积分节点和积分公式。 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 扭转角(O) 0.0025 0.1504 0.4386 0.7038 0.9945 1.2903 1.647 1.9635 2.491 扭矩(Nm) 1.270 111.8 328.9 530.6 755.5 986.8 1271.0 1526.1 3140.2 （如下两种均可，每个4分） 选择线性插值公式时： 1) 0.3 o时，选择2、3点 2) 0.8 o时，选择4、5点 3) 2.3 o时
3、，选择8、9点 选择抛物插值公式时： 1) 0.3 o时，选择1、2、3点 2) 0.8 o时，选择3、4、5点 3) 2.3 o时，选择7、8、9点 第二章 数值逼近和曲线拟合 1.计算下列函数关于的2范数： 注： 解：（1） （2） 2.求，使积分取得最小值。 解：题意即为在中求的最佳平方逼近多项式，故满足法方程 或者按下述方法： 因为 上式分别对求偏导，并令其为零，有 从而也有 ， 3.用最小二乘原理求矛盾方程组 的最小二乘解。 注：给定线性代数方程组，当时，称其为超定方程组。求使得 取最小值。应用微分学中多元函数求极值的方法可以证明为方程组 的解。称为超定方程组的最小二乘解。 解法一：
4、 由题意得： 所以即是所求的最小二乘解。 误差平方和为 解法二：求，使误差平方和 为最小，令 得方程组如下： 解方程组有： 4.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。 19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 解： 将=19,25,31,38,44分别代入，得 所以误差 5.求形如的经验公式，使它能和下表给出的数据相拟合。 1 2 3 4 5 6 7 8 153 205 274 366 491 656 878 1176 解： 设，两边取对数得令，则有 设，于是得到正规方程组: 其中, ， 正规方程组化为: 得=2.4368
5、9 =0.291211 =2.43689所以=11.45 =0.291211 =2.43689所以=11.45 1=0.291211 6.求函数在给定区间上对于的最佳平方逼近多项式： 解：设 （1） (2) 。 。 7.什么是曲线拟合？请给出建立的主要步骤。 主要步骤： 1）读入数据表 2）给出2次多项式形式，定义内积运算 3）计算法方程线性方程组的系数矩阵、右端项 4）求解线性方程组，得出二次多项式系数 5）得出二次多项式函数并输出系数 第三章 数值积分 1.分别用梯形公式计算积分。 解：1）用梯形公式有： 2.用复合梯形公式计算下列积分.(1)，（3），（4） 解：（1）用复合梯形公式有：
6、 ， 解（3）： 由复合梯形公式有： （4）解： 由复合梯形公式： 3.利用代数精度方法构造0,1区间内的两点Gauss求积公式，并给出代数精确度。 解：令原式对于准确成立，于是有 解得： 代数精确度：3 4.在一维数值积分中，梯形计算公式有几阶代数精确度；两点高斯积分公式可以满足3阶的代数精确度，请简述其原因。 梯形公式有1阶代数精确度； 两点高斯公式有3阶代数精确度,其原因：因为积分公式中有两个积分点位置和两个积分常数，共四个参数，可以通过满足4个条件解出。所以可以实现03次多项式的精确积分，故此有3次代数精确度。 5.用复合梯形公式计算积分，计算中函数值参照下表。 1/8 1/4 3/8
7、 1/2 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 5/8 3/4 7/8 1 0.9361556 0.9088516 0.8771926 0.8414709 （10分） 第四章 线性方程组 1.在应用高斯消去法进行线性方程组求解时，常需要应用选主元高斯消去法，请简述选主元的原因。 因为高斯消去时，需要进行将对角元素作为除数的除法运算，当其为0或接近0时，讲出现数据溢出或误差过大，选择矩阵中绝对值大的元素，移到对角位置，则消元时可避免这一问题出现。 2.用Gauss消去法解方程组 解:方程组写成矩阵形式为 对其进行Gauss消去得 得方程组 3.用Gaus
8、s列主元素消去法解方程组 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素 得到方程组 4.已知，求二范数。 解： 5.设计算A的条件数 解： 矩阵A的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则 第五章 非线性方程 1.证明在内有一个根，使用二分法求误差不大于的根要迭代多少次？ 证明：设 由于 且当时， 因此方程在区间内有一个根。 由解得 所以需要迭代14次，才能使求得的根的误差不大于。 2.能否用迭代法求解下列方程 解： 故迭代格式收敛，可以用其来求解方程。 设 可知在上存在一个根，即 当时， 可知不能用迭代格式来求解方程。 可将方程变形为令 所以迭代格式
9、收敛，可以用其来求解方程。 3.给出牛顿迭代格式，计算给定的方法求在附近的根。 解： 将它们代入公式有， 取计算结果列于下表，并和比较得出结果， 0 1 2 3 2 1.888889 1.879452 1.879385 解得 4.设构造求解方程的Newton迭代格式； 解：由从而有Newton迭代格式 第六章 常微分方程 1.用Euler格式计算初值问题 的解函数在时的近似值（取步长）。 解：将代人Euler格式，注意到则有： 据可得计算结果如下 即 2.需要对某常微分方程初值问题进行数值求解，请给出数值计算主要步骤；随着积分过程，其误差具有什么特点。 步骤： 1) 定义导数运算函数或子程序
10、2) 定义计算初始值 3) 给出积分步长和计算终止条件 4) 选择并实现计算方法，如龙格库塔法等 5) 进行积分运算 6) 单步输出或最后统一输出计算结果（离散点数据值） 误差特点：误差具有不可避免的累积过程，积分步长和方法不同，会有差异。 第七章 其它 一 请简述需要应用弱形式进行偏微分方程数值求解基本原理和关键过程。 基本原理：采用弱形式方程代替强形式作为求解方程，选择合适的线性空间进行描述试验函数和界定试验函数寻求范围；通过选择权函数并带入弱形式方程，获得计算试验函数中待定系数的代数方程。 应用弱形式方程求解偏微分方程的基本步骤 1) 确定试验函数空间（解的空间、确定基函数） 2) 试验函数形式（待定系数和基函数的线性叠加） 3) 选择权函数（多用伽辽金、最小二乘法） 4) 得出代数方程（积分运算） 5) 求解基函数的系数 6) 表达和使用解（已求出的系数和基函数的线性叠加） 第 8 页 共 8 页