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1、第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题定向训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，小明从A处出发沿北偏东方向行走至B处，又从B处沿南偏东方向行走至C处，则等于（ ）ABCD2、一个物体
2、从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米AB3CD以上的答案都不对3、图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词Ai出现在书Bj中时，元素aij1，否则aij0（i，j为正整数）例如：当关键词A1出现在书B4中时，a141，否则a140根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是（）A当a21+a51+a613时，选择B1这本书B当a22+a52+a623时，不选择B2这本书C当a2j，a5j，a6j全是1时，选择Bj这本书D只有当a2j+a5j+a6j0时，才不能选择Bj这本书4、根据居民
3、家庭亲子阅读消费调查报告中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）A扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比B每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%C每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%D每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是1085、我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是（ ）A分类思想B方程思想C转化D数形结合6、某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的
4、长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为( )A6米B7米C8.5米D9米7、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有张床位的旅馆，当每张床位每天收费元时，床位可全部租出若每张床位每天收费提高元，则相应的减少了张床位租出如果每张床位每天以元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）A14元B15元C16元D18元8、方程的不同有理根的个数是（ ）A0B1C2D49、把3米长的绳子剪7次，剪成相等的长度，则（ ）A每段占3米长的B每段是1米的C每段是全长的DB每段是1米的10、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度如图，已知她的
5、目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin350.6，cos350.8，tan350.7，sin650.9，cos650.4，tan652.1）（）A3.2米B3.9米C4.7米D5.4米第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、能使成立的正整数n的值的个数等于_2、如图，是用图象反映储油罐内的油量V与输油管开启时间t的函数关系观察这个图象，以下结论正确的有_随着输油管开启时间的增加，储油罐内的油量在减少；输油管开启10分钟时，储油罐内的油量是80立方米；如果储
6、油罐内至少存油40立方米，那么输油管最多可以开启36分钟；输油管开启30分钟后，储油罐内的油量只有原油量的一半3、5个人围成一个圆圈做的游戏，游戏规则是：每个人心里都想好一个有理数，并把自己想好的数如实告诉相邻的两个人，然后，每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报上来，若报出来的数，如图所示，则报2的人心里想的数是_4、小敏中午放学回家自己煮面条吃有下面几道工序：洗锅盛水2 min；洗菜3 min；准备面条及佐料2 min；用锅把水烧开7 min；用烧开的水煮面条和菜要3 min以上各道工序，除外，一次只能进行一道工序小敏要将面条煮好，最少需要_min5、观察下列球的排列规律（其中是实心球
7、，是空心球）：从第1个球起到第2004个球止，共有实心球_个三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（生活观察）甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：菜价元千克质量金额甲千克元乙千克元菜价元千克质量金额甲千克_元乙_千克元（1）完成上表；（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价（均价总金额总质量）（数学思考）设甲每次买质量为千克的菜，乙每次买金额为元的菜，两次的单价分别是元千克、元千克，用含有、的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、比较、的大小，并说明理由（知识迁移）某船在相距为的甲、乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的
8、速度为所需时间为：如果水流速度为时（），船顺水航行速度为（），逆水航行速度为（），所需时间为请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由2、有、5位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小旗16、8、12、4、15面，现要使每人手中的小旗数相等，要求相邻的同学之间相互调整（不相邻的不作相互调整），设给有面（时即为给有面：时即为给有面以下同），给有面：给有面，给有面，给有面，问、分别为多少时才能使调动的小旗总数最小？3、如图是某品牌太阳能热火器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架所在直线相交于水箱横断面的圆心，支架与水平面垂直，厘米，另一根辅助支架厘米，（1）求垂直支架的长度；（结果保
9、留根号）（2）求水箱半径的长度（结果保留三个有效数字，参考数据：）4、如图，图中ABC是等边三角形，其边长是3，图中DEF是等腰直角三角形，F90，DFEF3.(1)若S1为ABC的面积，S2为DEF的面积，S3ABBCsinB，S4DEDFsinD，请通过计算说明S1与S3，S2与S4之间有着怎样的关系；(2)在图中，P(为锐角)，OPm，PQn，OPQ的面积为S，请你根据第(1)小题的解答，直接写出S与m，n以及之间的关系式，并给出证明5、请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD
10、，E是对角线BD上任意一点（BEDE），以AE为边画一个菱形-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据方位角和平行线性质求出ABE，再求出EBC即可得出答案【详解】解：如图：小明从A处沿北偏东40方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70方向行走至点C处，DAB=40，CBE=70，向北方向线是平行的，即ADBE，ABE=DAB=40，ABC=ABE+EBC=40+70=110，故选：C【点睛】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键2、B【分析】根据坡度即可求得坡角的正弦值，根据三角函数即可求解；【详解】坡比在实际问题中的应用解：坡度为1：7，设坡
11、角是，则sin=，上升的高度是：30米故选B【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确分析计算是解题的关键3、D【分析】根据题意aij的值要么为1，要么为0，当关键词Ai出现在书Bj中时，元素aij1，否则aij0（i，j为正整数），按照此规定对每个选项分析推理即可【详解】解：根据题意aij的值要么为1，要么为0，A、a21+a51+a613，说明a211，a511，a611，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B1中，而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，故A表述正确；B、当a22+a52+a623时，则a22、a52、a62时必有值为0的，即关键词“A2，A5
12、，A6”不同时具有，从而不选择B2这本书，故B表述正确；C、当a2j，a5j，a6j全是1时，则a2j1，a5j1，a6j1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书Bj中，则选择Bj这本书，故C表述正确；D、根据前述分析可知，只有当a2j+a5j+a6j3时，才能选择Bj这本书，而a2j+a5j+a6j的值可能为0、1、2、3，故D表述错误，符合题意故选：D【点睛】本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键4、C【分析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得【详解】解：A扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；B每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子
13、的百分比为，超过，此选项正确；C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占，此选项错误；D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是，此选项正确；故选C【点睛】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数5、D【分析】根据题意选出数学思想方法即可【详解】解：就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是数形结合思想，故选D 【点睛】本题考查数学思想方法的运用，熟练掌握各种数学思想方法是解题的关键6、D【解析】试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线
14、三者构成的两个直角三角形相似根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解解：DEAB，DFAC，DEFABC，=，即=，AC=61.5=9米故答案为：9【点评】此题考查相似三角形的实际运用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题7、C【分析】设每张床位提高x个单位，每天收入为y元，根据等量关系“每天收入=每张床的费用每天出租的床位”可求出y与x之间的函数关系式，运用公式求最值即可【详解】设每张床位提高x个2元，每天收入为y元根据题意得：y=（10+2x）（10010x）=20x2+100x+1000当x=2.5时，可使y有最大值又x为整数，则x=2
15、时，y=1120；x=3时，y=1120；则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=10+32=16（元）故选C【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，利用二次函数对称性得出是解题的关键8、C【分析】首先观察x=1是方程的一个根故可以把方程x4-6x3+13x2-12x+4=0化成（x-1）（x3-5x2+8x-4）=0，再次发现x=1是方程x3-5x2+8x-4=0的一个有理根，于是原方程可以化为（x-1）2（x2-4x+4）=0，即可求出不同有理数的个数【详解】解：观察可知x=1是方程x4-6x3+13x2-12x+4=0的一个根，即（x-1）（x3-5x2+8x-4
16、）=0，观察可知x=1还是x3-5x2+8x-4=0，原方程可以化为（x-1）2（x2-4x+4）=0，解得x=1或2，原方程的不同有理根有2个，故选C【点睛】本题主要考查高次方程的知识点，解答本题的关键是把方程x4-6x3+13x2-12x+4=0进行因式分解，此题难度不大9、B【详解】试题分析：把3米长的绳子剪7次后将绳子剪成了相等的8段，所以每段应该是全长的 ，即长度为 米，所以是1米的，故选B10、C【分析】过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于点F，设DFx，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案【详解】解：过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于
17、点F，设DFx，tan65，OFxtan65，BF3+x，tan35，OF（3+x）tan35，2.1x0.7（3+x），x1.5，OF1.52.13.15，OE3.15+1.54.65，故选：C【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构建直角三角形是解本题的关键二、填空题1、【分析】去绝对值解不等式，得到n的范围，从而可得结果【详解】解：由题意可得：，得，解得：，故答案为：【点睛】本题考查了解不等式和绝对值的性质，解题的关键是求出n值的取值范围2、【分析】根据图象中的信息，可得储油罐内的油量情况；根据函数图象的横坐标可得其对应的函数值；根据函数图象的纵坐标，可得相应的自变量
18、的值；根据函数图象的横坐标可得其对应的函数值【详解】由函数图象知，随着输油管开启时间的增加，储油罐内的油量减少，故说法正确；由函数图象知，输油管开启10分钟时，储油罐内的油量大于80立方米，故说法错误；由函数图象知，如果储油罐内至少存油40m3，那么输油管最多可以开启36分钟，故说法正确；由函数图象知，输油管开启30分钟后，储油罐内的油量只有原油量的一半，故说法正确结论正确的有故答案为：【点睛】本题考查了函数图象，利用了函数的定义，观察函数图象获取信息是解题关键3、-3【分析】假设报2的人心里想的数是x，由于3是报4的人和报2的人心里想的数的平均数，则报4的人心里想的是6-x，报1的人心里想的
19、是4+x，以此类推报3的人心里想的数是-x，报5的人心里想的是8+x，列出方程即可求解.【详解】解：设报2的人心里想的数是x则报4的人：报1的人：报3的人： 报5的人：1是报5和报2的人心里想的数的平均数解的故答案为：-3【点睛】本题主要考查的是阅读理解和探索规律题，其中考查的知识点有平均数的相关计算以及一元一次方程的应用，掌握以上知识点是解题的关键.4、12；【解析】2+7+3=125、【分析】解决此题的关键是找到规律：每10个球一组；第1，4，5为实心球，第2，3，6，7，8，9，10个为空心球【详解】解：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是每个循环节里有3
20、个实心球我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数2004102004，2004个球里有200个循环节，还余4个球200个循环节里有2003=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球所以，一共有602个实心球三、解答题1、【生活观察】：（1）见解析表；（2）甲两次买菜的均价是元千克：乙两次买菜的均价是元千克；【数学思考】：当时，当时，见解析；【知识迁移】：，见解析.【分析】（1）根据单价、质量与金额的关系，进行求解.（2）根据均价总金额总质量，进行求解.【数学思考】：根据均价总金额总质量，进行表示与大小比较.【知识迁移】：根据时间=路程速度，进行表示与大小比较.【详解】
21、（1）根据单价、质量与金额的关系，可得甲的金额和乙的质量，如图表所示第二次：菜价元千克质量金额甲千克元乙千克元（2）根据均价总金额总质量，甲两次买菜的均价为元千克，乙两次买菜的均价为元千克.【数学思考】：，当时，当时，【知识迁移】：，；，又，【点睛】本题考查“单价=金额质量”，“时间=路程速度”公式的综合应用，以及代数式的值的大小判别.2、x1=3，x2=0，x3=1，x4=-6，x5=-2【分析】根据题意列出方程组，把一个未知数当作已知，表示出其余的未知数，根据题意取其绝对值，画出数轴，找出各对应点，求出其最小值【详解】解：由于共有小旗面数为面，要使每人手中的小旗面数相等，每人均为11面由题
22、意：，变形得：，|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=|x2+3|+|x2|+|x2+1|+|x2-6|+|x2-2|=|x2+3|+|x2+1|+|x2|+|x2-2|+|x2-6|，设实数在数轴上的对应点为，实数，0，2，6在数轴上的对应点分别为，当且仅当在线段上时有最小值9，当且仅当在线段上时有最小值3，当且仅当与点重合时有最小值0，即当且仅当与点重合时，有最小值12当，时有最小值12【点睛】此题比较复杂，涉及到四元一次方程组及绝对值的相关知识，解答此类题目的关键是画出数轴，根据数形结合解题3、（1）（2）18.5cm【分析】（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的
23、关系，在CDE中利用三角函数sin60=，求出CD的长（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO=AO，再代入数计算即可得到答案【详解】解：（1）在中，垂直支架的长度（2）设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO=（+x）厘米，AO=（150+x）厘米，BAC=30，CO=AO，+x=（150+x），解得：x=150-76=150-13148185cm水箱半径的长度为18.5cm4、 (1) S1S3，S2S4 (2) Smnsin.【分析】（1）图，过点A作AHBC于点H，由已知先求出AH的长，再利用三角形面积公式进行计算可得S1；图直接利用三
24、角形面积公式进行求解可得S2；根据已知数据可计算得出S3，计算S4时，先利用勾股定理求出DE的长，再代入式子进行计算即可，根据以上数据进行比较即可得；（2）根据（1）中的发现直接写出然后进行证明即可得.证明思路：过点O作OMPQ，垂足为点M，在RtOPM中，先求出OM长，再利用三角形面积公式进行计算即可得证.【详解】（1）如图，过点A作AHBC于点H，ABC是等边三角形，AHBC，AHABsinB3sin603，S13，DEF是等腰直角三角形，F90，DFEF3，D45，S2，S3ABBCsinB33sin60，在RtDEF中，由勾股定理得DE3，S4DEDFsinD33，S1S3，S2S4；（2）Smnsin，证明如下：如图，过点O作OMPQ，垂足为点M，在RtOPM中，OMP90，OMOPsinP，P，OPm，OMmsin，SPQOMmnsin.【点睛】本题考查了等边三角形的面积、等腰直角三角形的面积、三角函数的应用等，通过计算发现利用角的正弦以及角的夹边求面积是关键.5、（1）作图见解析；（2）作图见解析.【详解】（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形