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1、九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在ABC中，C=90，BC=5，AC=12，则tanB等于（ ）ABCD2、在正方形网格中，每个小正方
2、形的边长都是1，BAC的位置如图所示，则sinBAC的值为（）ABCD3、图是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，则的值为（ ）ABCD4、的倒数是（ ）ABC2D5、如图，在正方形中、是的中点，是上的一点，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）其中结论正确的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个6、在科学小实验中，一个边长为30cm正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P重合，点P的高度PF40cm，离斜坡底端的水平距离EF80cm正方形下滑后，点B的对应点与初始状态
3、的顶点A的高度相同，则正方形下滑的距离（即的长度）是（）cmA40B60C30D407、学习了三角函数的相关知识后，小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度如图，小丽先在坡角为的斜坡上的点A处，测得树尖E的仰角为，然后沿斜坡走了10米到达坡脚B处，又在水平路面上行走20米到达大树所在的斜坡坡脚C处，大树所在斜坡的坡度，且大树与坡脚的距离为15米，则大树的高度约为（ ）（参考数据：结果精确到0.1）A10.9米B11.0米C6.9米D7.0米8、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为1：2的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的垂面距离为（）A4m
4、B8mC2mD1m9、如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接若，则的值是（ ）ABCD10、如图，某建筑物AB在一个坡度为i1：0.75的山坡BC上，建筑物底部点B到山脚点C的距离BC20米，在距山脚点C右侧同一水平面上的点D处测得建筑物顶部点A的仰角是42，在另一坡度为i1：2.4的山坡DE上的点E处测得建筑物顶部点A的仰角是24，点E到山脚点D的距离DE26米，若建筑物AB和山坡BC、DE的剖面在同一平面内，则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin240.41，cos240.91，tan240.45，sin420.67cos4
5、20.74，tan420.90）A36.7米B26.3 米C15.4米D25.6 米第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53，则观光塔CD的高度约为 _.（精确到0.1米，参考数值：tan37，tan53）2、如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，BEC与FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，
6、N两点若BMBE，MG2，则BN的长为 _，sinAFE的值为 _3、在中，则_4、如果斜坡的坡度为13，斜坡高为4米，则此斜坡的长为_米5、如图，等腰直角三角形ABC，C=90，AC=BC=4，M为AB的中点，PMQ=45，PMQ的两边分别交BC于点P，交AC于点Q，若BP=3，则AQ=_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1所示的是一辆混凝土布料机的实物图，图2是其工作时部分示意图，AC是可以伸缩的布料臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.2米当布料臂AC长度为8米，张角为时，求布料口C离地面的高度（结果保留一位小数；参考数据：，）2、计算：3、先化简，再求代数式（）的
7、值，其中atan60+2sin454、如图，在平面直角坐标系中，直线ykx3k交x轴于点B，交y轴于点A，tanABO2（1）求k的值；（2）点G为线段AB上一点，过点G作CGAB交y轴正半轴于点C，若点G的横坐标为t，线段OC的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，延长GC交x轴于点D，连接BC，在BC上截取BHOC，F为第一象限内一点，且FBx轴，连接FH，点E在第三象限，连接AE、BE、DE，若CBO2FHB，AEB+OBC90，且BF，DE，求点E坐标5、已知如图，cosABC ，点M在射线BA上，BM8，点N在射线BC上（1）给出条
8、件：MN7；MN9；BMN75能使BN的长唯一确定的条件是 （填序号）；（2）在第（1）题中选一个使BN的长唯一确定的条件，求出此时BN的长度-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据锐角三角函数求解即可【详解】解：在RtABC中，C90，BC5，AC12，所以tanB，故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键2、D【分析】先求出ABC的面积，以及利用勾股定理求出，利用面积法求出，进而求解即可【详解】解：如图所示，过点B作BDAC于D，由题意得：，故选D【点睛】本题主要考查了勾股定理和求正弦值，解题的关键在
9、于能够正确作出辅助线，构造直角三角形3、A【分析】在中，可得的长度，在中，代入即可得出答案【详解】解：，在中，在中，.故选：A【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键.4、C【分析】根据cos60进行结合倒数回答即可【详解】解：由特殊角的三角函数值可知，cos60，的倒数是，故：的倒数是2故选C【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值和倒数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此类问题的关键.5、B【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：BAECEF，则可证得正确，错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得ABEAEF，即可
10、求得答案【详解】解：四边形ABCD是正方形，BC90，ABBCCD，AEEF，AEFB90，BAEAEB90，AEBFEC90，BAECEF，BAECEF，BECE，BE2ABCFAB2CE，CFCECD，CD=4CF，故正确，错误，tanBAEBE：AB，BAE30，故错误；设CFa，则BECE2a，ABCDAD4a，DF3a，AE2a，EFa，AF5a，ABEAEF90，ABEAEF，故正确故选：B【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键6、B【分析】根据题意可得：A与高度相同，连接，可得，利用平行线的性质可得：，
11、根据正切函数的性质计算即可得【详解】解：根据题意可得：A与高度相同，如图所示，连接，故选：B【点睛】题目主要考查平行线的性质及锐角三角函数解三角形，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键7、D【分析】过点A作AGED交ED延长线于点G，过点A作AFCB，交CB的延长线于点F，延长BC交ED的延长线于点H，可知四边形AFHG为矩形，解直角三角形ABF得AF=5，BF=，解直角三角形CDH得DH=9，CH=12，从而得到AG，再通过解直角三角形AGE求得EG的长，进一步得出结论【详解】解：过点A作AGED交ED延长线于点G，过点A作AFCB，交CB的延长线于点F，延长BC交ED的延长线于点H，如图，
12、则四边形AFHG为矩形，AG=FH，GH=AF在RtABF中， 在RtCHD中， 可设， 由勾股定理得， 解得， 在RtAGE中， 故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键8、C【分析】根据坡度的概念求出AC，得到答案【详解】解：如图，AB的坡度为1：2，即，解得，AC=2，故选：C【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键9、B【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求
13、得结论【详解】解：直线yk1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，点C的坐标为（0，2），OC2，SOBC1，BD1，tanBOC，OD3，点B的坐标为（1，3），反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，k2133故答案为：B【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标10、D【分析】如图所示，过E点做CD平行线交AB线段为点H，标AB线段和CD线段相交点为G和H由坡度为i1：0.75，BC20可得BG=16,GC=12,由坡度为 i1：2.4，DE26可得DF=24,EF=10，分别在在中满足，在中满足化简联立得AB=25.6【详解】如图所示，过
14、E点做CD平行线交AB线段为点H，标AB线段和CD线段相交点为G和H在中BC20，坡度为i1：0.75，在中DE26，坡度为 i1：2.4，在中满足，在中满足,即,其中BG=16、BG=12、BH=BG-EF=6、DF=24，代入化简得，令2-有，AB=25.6故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键二、填空题1、8.6米【分析】根据题意，利用锐角三角函数解直角三角形即可【详解】解：由题意知，A=37，DBC=53，D=90，AB=5，在RtCBD中，tanD
15、BC=，BC=，在RtCAD中，tanA=，即=tan37解得：CD=8.6，答：观光塔CD的高度约为8.6米【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形的方法是解答的关键2、4【分析】根据题意连接BF，FM，由翻折及BM=ME可得四边形BEFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得BN=BA先证明AEFNMF得AE=NM，再证明FMNCGN可得，进而求解即可【详解】解：BM=BE，BEM=BME，ABCD，BEM=GCM，又BME=GMC，GCM=GMC，MG=GC=2，G为CD中点，CD=AB=4连接BF，FM，由翻折可得FEM=BEM，BE=EF，BM=EF，BEM
16、=BME，FEM=BME，EFBM，四边形BEFM为平行四边形，BM=BE，四边形BEFM为菱形，EBC=EFC=90，EFBG，BNF=90，BF平分ABN，FA=FN，RtABFRtNBF（HL），BN=AB=4FE=FM，FA=FN，A=BNF=90，RtAEFRtNMF（HL），AE=NM，设AE=NM=x，则BE=FM=4-x，NG=MG-NM=2-x，FMGC，FMNCGN，即，解得：（舍）或，故答案为：4；.【点睛】本题考查矩形的翻折问题和相似与全等三角形问题，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的判定及性质求解3、30【分析】根据正切定义，先求出，再求出的度数即可【详
17、解】解：在中， ， ，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形两锐角之间、三边之间和边角之间的关系是解题的关键4、【分析】根据坡度比求出斜坡水平距离，最后利用勾股定理求出斜坡长即可【详解】解：根据坡度的定义可知，斜坡高：斜坡水平距离=1：3斜坡高为4米 斜坡水平距离为12米由勾股定理可得：斜坡长为米故答案为：【点睛】本题主要是考察了坡度的定义以及勾股定理求边长，熟练掌握坡度定义，求解斜坡水平距离是解决此类问题的关键5、【分析】连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，由勾股定理得，根据三线合一得，解直角三角形即可求解【详解】如图，连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，在中，M为
18、AB的中点，在中，在中，在中， ，在中，在中，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质以及解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键三、解答题1、高度为7.0米【分析】过点C作于点E，过点A作于点F，根据矩形的判定定理可得四边形AHEF为矩形，由图中角的关系可得，在中，利用正弦三角函数可得，根据图形中即可得【详解】解：如图，过点C作于点E，过点A作于点F，四边形AHEF为矩形，.在中，答：布料口C离地面的高度为7.0米【点睛】题目主要考查矩形的判定和性质，锐角三角函数解三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键2、0【分析】根据乘方，二次根式的化简、特殊的三角函数值，零
19、指数幂的意义以及绝对值的性质即可求出答案【详解】解：原式=-2+2=0【点睛】本题考查了实数的运算，乘方，二次根式的化简、特殊的三角函数值，零指数幂的意义以及绝对值的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键3、；【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再结合特殊锐角的函数值求出a的值，进而代入最简分式计算即可【详解】解：，=，=，tan60=，sin45=， ，原式【点睛】本题主要考查分式的化简求值及特殊锐角的三角函数值，二次根式乘除混合运算解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则，二次根式乘除混合运算法则及特殊锐角的三角函数值4、（1）k=-2；（2）d=6-，（3）点E（）【
20、分析】（1）先求出直线ykx3k交x轴于点B（3，0），OB=3，根据三角函数求出tanABO2=，点A（0，6）利用待定系数法求即可；（2）过G作GLx轴于L，根据点G的横坐标为t，得出OL=t，BL=3-t，利用三角函数求出GL=6-2t，根据勾股定理AB=，GB=，利用线段差求出GA=AB-GB=，再求出cosOAB=，得出AC=即可；（3）作OBC的平分线交y轴于T，过O作OQBT交BC与Q，交BT于V，过B作BSAE于S，过E作EJx轴于点J，根据角平分线可得OBT=CBT=，根据CBO2FHB，得出OBT=CBT=，先证OCQHBF（ASA），得出CQ=BF=，再证OBVQBV（A
21、SA），得出OB=QB=3，可求BC=CQ+BQ=，利用勾股定理在RtCOB中，OC=，求出d=，可证AC=OA-OC=6-=BC，再证CG为AB的垂直平分线，可证ASB为等腰直角三角形，求出SB=ABcos45，再证EBSCBO，可求，可求OD=2OC=， 设OJ=m，JD=OD-OJ=，BJ=3+m，根据勾股定理JE2=即解得, 即可【详解】解：（1）直线ykx3k交x轴于点B，当y=0时，x=3，点B（3，0），OB=3，tanABO2=，OA=6，点A（0，6），点A在直线ykx3k上，3k=6，k=-2；（2）过G作GLx轴于L，点G的横坐标为t，OL=t，BL=3-t，tanABO
22、2=，GL=6-2t，在RtAOB中AB=，在RtGLB中GB=，GA=AB-GB=，cosOAB=，cosOAB=cosGAC=，AC=，CO=OA-AC=6-，d=6-，d=6-，（）；（3）作OBC的平分线交y轴于T，过O作OQBT交BC与Q，交BT于V，过B作BSAE于S，过E作EJx轴于点J，OBT=CBT=，CBO2FHB，OBT=CBT=，BFx轴，BFy轴，OCQ=FBH，BQBT，COQ+QOB=90，QOB+EBO=90，COQ=TBO=FHB，在OCQ和HBF中，OCQHBF（ASA），CQ=BF=，在OBV和QBV中，OBVQBV（ASA），OB=QB=3，BC=CQ+
23、BQ=，在RtCOB中，OC=，d=，AC=OA-OC=6-=BC，CGAB，CG为AB的垂直平分线，点S在CG上，SA=SB，BSAE，ASB为等腰直角三角形，SB=ABcos45，AEB+OBC90，OCB+OBC=90，AEB=OCB，BSAE，ESB=COB=90，EBSCBO，即，tanDCO=tanABO=，OD=2OC=，DB=OD+OB=，设OJ=m，JD=OD-OJ=，BJ=3+m，根据勾股定理JE2=即，解得，JE2=，解得，点E（）【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，锐角三角函数值，勾股定理，角平分定义，三角形完全判定与性质，三角形相似判定与性质，
24、等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，根据勾股定理列拓展一元一次方程，完全平方公式，本题难度大，涉及知识多，图形复杂，需滤清思路，利用辅助作出准确图形是解题关键5、（1）；（2）【分析】（1）过点作交于点，求出，比较与的大小可判断，根据可知，由两角及夹边即可确定；（2）当时，解直角三角形求出，即可【详解】（1）如图，过点作交于点，当时，有两种情况，即的长不唯一，故错误；当时，有一种情况，即的长唯一，故正确；当时，已知两角及夹边即可确定，的长唯一，故正确，故答案为：；（2）如图，过点作交于点，当时，【点睛】本题考查解直角三角形，三角函数的定义，勾股定理等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型