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1、2021年高考真题普通高等学校统一考试理科数学（全国卷II）解析版 .ks5u. 20_年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II卷） 理科数学 一、选择题 1.设集合，则s( ) A.B.C.D.答案： A 解答： 或，.2.设,则在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案： C 解析： ，对应的点坐标为,故选C.3已知， ， ，则（ ） A.B.C.D.答案： C 解答： ， ，解得， .420_年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就。实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测
2、器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地球月拉格朗日点的轨道运行，点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球的质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程。设。由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为（ ） A B C D 答案： D 解答： 所以有 化简可得，可得。 5.演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A 中位数 B 平均数 C 方差 D极差 答案： A 解
3、答： 由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。 6.若，则（ ） A.B.C.D.答案： C 解答： 由函数在上是增函数，且，可得，即.7.设为两个平面，则的充要条件是( ) A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C.平行于同一条直线 D.垂直于同一平面 答案： B 解析： 根据面面平行的判定定理易得答案.选B.8.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ） A.2 B.3 C.4 D.8 答案： D 解答： 抛物线的焦点是，椭圆的焦点是， ，.9.下列函数
4、中，以为周期且在区间单调递增的是（ ） A.B.C.D.答案： A 解答： 对于A,函数的周期,在区间单调递增,符合题意； 对于B,函数的周期,在区间单调递减,不符合题意； 对于C，函数，周期,不符合题意； 对于D,函数的周期,不符合题意.10.已知，则（ ） A.B.C.D.答案： B 解析： ， 则，所以， 所以.11.设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于 两点，若 ，则的离心率为（ ） A.B.C.D.答案: A 解答： ，, 又， 解得，即.12.已知函数的定义域为，且当时，若对任意的，都有，则的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 解答： 由当，且当时，可知当
5、时，当时，当时，函数值域随变量的增大而逐渐减小，对任意的，都有有解得的取值范围是。 二、填空题 13.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .答案： 0.98 解答： 经停该站的列出共有40个车次，所有车次的平均正点率的估计值为。 14.已知是奇函数，且当时, .若，则_.答案： 解答： ， .15.的内角的对边分别为，若则的面积为_.答案： 解析： , 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方
6、体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.) 答案： 26 解析： 由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解.三、解答题 17.如图，长方体的底面是正方形，点在棱上， （1）证明：平面; （2）若，求二面角的正弦值.答案： （1）见解析 （2） 解析： （1）证
7、明：平面，平面， ，又， 平面.（2）设底面边长为，高为， 平面，即，解得.平面，又，平面，故为平面的一个法向量.平面与平面为同一平面，故为平面的一个法向量， 在中，故与成角， 二面角的正弦值为.18.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束.（1） 求； （2） 求事件“且甲获胜”的概率.答案： （1）；（2） 解析： （1） 时，有两种可能： 甲连赢两局结束比赛，此时； 乙连赢
8、两局结束比赛，此时， ； （2） 且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜， 此时.19.已知数列和满足，.（1）证明： 是等比数列，是等差数列； （2）求和的通项公式.答案： （1）见解析 （2），.解析： (1)将，相加可得， 整理可得，又，故是首项为，公比为的等比数列.将，作差可得， 整理可得，又，故是首项为，公差为的等差数列.（2）由是首项为，公比为的等比数列可得； 由是首项为，公差为的等差数列可得； 相加化简得，相减化简得。 20.已知函数 (1) 讨论函数的单调性，并证明函数有且只有两个零点； (2) 设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线。 答案： 略 解答： （
9、1）函数的定义域为，又，所以函数在上单调递增，又，所以在区间存在一个零点，且，所以在区间上也存在一个零点，所以函数有且只有2个零点； （2）因为是函数的一个零点，所以有。曲线在处的切线方程为，曲线曲线当切线斜率为时，切点坐标为，切线方程为，化简为，所以曲线在处的切线也是曲线的切线。 21.已知点，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线.（1）求的方程，并说明什么曲线； （2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结 并延长交于点.证明：是直角三角形； 求的面积的最大值.答案： 见解析 解答： (1)由题意得：，化简得： ，表示焦点在轴上的椭圆（不含与轴的交点）.(2) 依题
10、意设，直线的斜率为 ，则 ， ， 又， ， ，即是直角三角形.直线的方程为，联立 ，得 ， 则直线， 联立直线和椭圆，可得， 则， ， 令，则， ， ， .四、选做题（2选1） 22.选修4-4（极坐标与参数方程） 在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为.（1） 当时，求及的极坐标方程； （2） 当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.答案： （1） ，的极坐标方程：； （2） 点轨迹的极坐标方程为.解答： （1） 当时， 以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，则直线的斜率，由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为； （2） ，则点的轨迹为以为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为，化成极坐标方程为，又在线段上，由可得， 点轨迹的极坐标方程为.23.选修4-5（不等式选讲） 已知。 （1）当时，求不等式的解集； （2）若时，求的取值范围。 答案： 略 解答： （1）当时， 所以不等式等价于或或解得不等式的解集为。 （2）当时，由，可知恒成立，当时根据条件可知不恒成立。所以的取值范围是。 第 11 页 共 11 页