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1、姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！期末考试工科数学分析第二学期期中考试卷注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共 4个 大题，满分100分，考试时间90分钟。题 号一二三四总分得 分评卷人一、计算题（每小题10分，共40分） 1. 求微分方程的通解. 2. 设 二阶可导,且满足方程求.解: 10分3. 设函数有二阶连续偏导数,求函数的二阶混合偏导数. 4. 设且满足方程求解: 两边对 求导,得到, 5分又 解得 10分二、
2、计算下列积分（每小题10分，共30分）5. 计算，其中D是由曲线与直围成。解： 求交点作图知 2分 10分6. 计算三重积分，其中.由所确定解：由交线（舍去） 于是投影区域为，柱坐标下为 2分7. 计算三重积分.解 利用球面坐标,边界面的方程为: 2分则, .三、证明题（每小题10分，共20分）8. 设函数证明：1）在点处偏导数存在 2）在点处不可微证明：1）因为所以在点处偏导数存在 4分2）因为当取时随之不同极限值也不同，即所以此函数在处不可微。 10分9. 给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点证：令，则 4分从而曲面在点处的切平面为， 8分显然时成立，故切平面均过
3、。 10分四、应用题（共10分）10. 求椭球面在第一卦限的一点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。解 令，设切点为，则，切平面方程为即， 2分从而该切平面在三个坐标轴上的截距分别为。由题意要求满足椭球面在第一卦限的一点，使最小。 4分令 6分可以验证与约束等价，从而拉格朗日函数正确。再令， 8分得，代入约束条件得进而。由问题的实际意义及所求得点的惟一性，得所求点为。 10分期末考试b工科数学分析第二学期期中考试卷注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共 4个 大题，满分100分，考试时间
4、90分钟。题 号一二三四总分得 分评卷人一、计算题（每小题10分，共60分） 1. . 设函数有二阶连续偏导数,求函数的二阶混合偏导数. 解:2. 计算 解: 3. 计算体密度为的由曲面与所围成立体的质量。解：在球坐标下即，即，进而。与交线即得立体投影域含原点。从而立体， 2分用球坐标计算质量 4. 计算，其中L为下列闭曲线，沿逆时针方向：（1）点在L所围区域之外；（2）点在L所围区域之内。解 在这里，进而在点以外成立且连续，从而（1）点在L所围区域之外，由格林公式，可得=0； 4分（2）点在L所围区域之内，可以为中心做一个适当小的圆，使得这个小圆包含在L的内部，取逆时针方向，设。从而L与的负
5、向构成了所围成的区域的正向边界，且可用格林公式，得=0； 6分从而，对新的积分在所围区域再用格林公式，得 10分5. 设是锥面被平面及所截部分的下侧，计算第二类曲面积分解： 法一： 单独 2分 法二： 单独 2分法三： 2分利用Gauss公式得到 又所以6. 求球面含在圆柱面内部的那部分面积。解：上半球面的部分为 2分三、证明题（每小题15分，共30分）7. 设函数证明：1）在点处偏导数存在 2）在点处不可微证明：1）因为所以在点处偏导数存在 5分2）因为 10分当取时 随之不同极限值也不同，即所以此函数在处不可微。 15分8. 给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点证：令，则 5分从而曲面在点处的切平面为， 10分显然时成立，故切平面均过。 15分四、应用题（共10分）9. 求椭球面在第一卦限的一点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。解 令，设切点为，则，切平面方程为即， 4分从而该切平面在三个坐标轴上的截距分别为。由题意要求满足椭球面在第一卦限的一点，使最小。 4分令 6分可以验证与约束等价，从而拉格朗日函数正确。再令， 得，代入约束条件得 8分进而。由问题的实际意义及所求得点的惟一性，得所求点为。 10分第 11 页 共 11 页