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1、上海市静安、杨浦、青浦、宝山20132014学年联合高考模拟考试理科数学试卷 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1.二阶行列式的值是 . （其中为虚数单位） 2. 已知是方向分别与轴和轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量的模等于 . 3二项式的展开式中含项的系数值为_.4.已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积为_.(结果中保留)5.已知集合，则 .理6文7.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 理7文8.已知，则的最小值为
2、_.理8文10. 已知首项的无穷等比数列的各项和等于4，则这个数列的公比是 结束开始输出否是 第10题图9（理）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为坐标原点，M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线则的参数方程为 .10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 . 11（理）从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量表示所选3人中女志愿者的人数，则的数学期望是 12（理）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和，（），则数列的变号数为 . 13.（理）已知定义在上的函数满足.当时.设在上的最大值为，且
3、数列的前项和为，则 . （其中）14（理）正方形和内接于同一个直角三角形中，如图所示，设，若，则 .ABCDEFS1aFABCPNFS2aFMQ二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15. （理）在实数集上定义运算：若关于的不等式的解集是集合的子集，则实数的取值范围是（ ）. 16“”是“函数的最小正周期为”的（ ）. 充分必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为、,则:=（ ）. 1:1 2:1 3:
4、2 4:118.（理）函数的定义域为实数集，对于任意的都有.若在区间上函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）. 三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）（理）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是的中点.(1) 求证：平面； （2）若以为坐标原点，射线、分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得是平面的法向量，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分D A C B (第20题图) 某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇
5、环面花坛是由以点为圆心的两个同心圆弧、弧以及两条线段和围成的封闭图形花坛设计周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米设小圆弧所在圆的半径为米（），圆心角为弧度（1）求关于的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为，当为何值时，取得最大值？21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（理）已知椭圆的右焦点为，短轴的端点分别为,且.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为，试求的取值范围22（本题满分16分）
6、本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（理）设函数，.（1） 解方程：；（2）令，求证：（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围.23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（理）设各项都是正整数的无穷数列满足：对任意，有记 （1）若数列是首项，公比的等比数列，求数列的通项公式；（2）若，证明：；（3）若数列的首项，是公差为1的等差数列记，问：使成立的最小正整数是否存在？并说明理由四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1本解答列出试题一种或几种
7、解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分3第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数4给分或扣分均以1分为单位一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分理12； 2335； 45；6
8、7. ； 89（为参数）；10. 1112313.14335； 45；67. ； 89； 10. 11. ； 1213当时，；当时，舍去14.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15D；16B；17C；18理D；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19（理）. (1) 证明方法一：四边形是平行四边形，平面，又，平面.方法二：证得是平面的一个法向量，平面. (2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面一个法向量
9、为，又平面法向量为，所以 所求二面角的余弦值为. 20(1)设扇环的圆心角为q，则，所以， (2) 花坛的面积为装饰总费用为，所以花坛的面积与装饰总费用的比，令，则，当且仅当t=18时取等号，此时答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大21理（1）依题意不妨设，则，.由，得. 又因为，解得.所以椭圆的方程为.（2）依题意直线的方程为. 由得.设，则，.所以弦的中点为.所以.直线的方程为，由，得，则，所以. 所以.又因为，所以.所以.所以的取值范围是.22理（1）， （2），因为，所以，=（3）因为是实数集上的奇函数，所以.，在实数集上单调递增.由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，又因为在实数集上单调递增，所以即对任意的都成立，即对任意的都成立，.23理（1），；（2）根据反证法排除和证明：假设，又，所以或当时，与矛盾，所以；当时，即，即，又，所以与矛盾； 由可知（3）首先是公差为1的等差数列，证明如下：时，所以，即由题设又即是等差数列又的首项，所以，对此式两边乘以2，得两式相减得，即，当时，即存在最小正整数5使得成立注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明11