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1、第25讲 图形的相似考点1 相似图形的有关概念相似图形 相同的图形称为相似图形.相似多边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别 ，边 ，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似比相似多边形对应 的比叫做相似比.相似三角形两个三角形的三个角分别 ，三条边 ，则这两个三角形相似.当相似比等于1时，这两个三角形 .考点2 比例线段比例线段定义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段.基本性质若=，则ad=bc.当b=c时，b2=ad，那么b是a、d的比例中项.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且=
2、0.618，那么点C叫做线段AB的黄金分割点.【易错提示】求两条线段的比时，对这两条线段要统一长度单位.考点3 平行线分线段成比例基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 .推论 .考点4 相似三角形的判定判定1 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.判定2三边 的两个三角形相似.判定3两边 且夹角 的两个三角形相似.判定4两角分别 的两个三角形相似.判定5满足斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似.考点5 相似三角形的性质性质1相似三角形的对应角 ，对应边 .性质2相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于 .性质3相似三角形面积的
3、比等于相似比的 .考点6 位似定义如果两个图形不仅是 图形，而且对应顶点的连线相交于 ，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似 ，这时的相似比又称为 比.性质1.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比(位似比).2.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标的比等于 .【易错提示】两个位似图形的位似中心可能在图形内部、外部、边上或顶点上. 判定三角形相似的几条思路： (1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理. (2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定4)或再找夹边成比例(用判定3). (3)条件中若有两边对应成比
4、例，可找夹角相等. (4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例. (5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.命题点1 相似三角形的判定例1 (2013益阳)如图，在ABC中，AB=AC，BD=CD，CEAB于E.求证：ABDCBE.【思路点拨】在ABD和CBE中，有一个公共角，再根据等腰三角形三线合一得出ADBC即可证明两三角形相似.【解答】方法归纳：证明两三角形相似时，要善于结合已知条件来选择最恰当的判定方法.1.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中ABC相似的是( )2.(2015本溪模拟
5、)如图，点D在ABC的边AC上，要判断ADB与ABC相似，添加一个条件，不正确的是( ) A.ABD=C B.ADB=ABC C.= D.= 3.(2013贵阳)如图，M是RtABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过点M作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，这样的直线共有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条命题点2 相似三角形的性质例2 (1)如图，点D，E分别在AB、AC上，且ABC=AED.若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为 .(2)(2013聊城)如图，点D是ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，DAC=B.若ABD的面积为a，则ACD的面积为( )A.
6、a B.a C.a D.a【思路点拨】(1)从条件看可以证明AEDABC，然后根据相似三角形的性质就可求出AB的长;(2)由DAC=B，可知ABCDAC，根据相似三角形的性质可求ACD的面积.方法归纳：求线段的长，利用相似三角形对应边的比相等来计算；求面积，利用相似三角形面积比等于相似比的平方来计算.1.(2014重庆B卷)如图，ABCDEF，相似比为12，若BC1，则EF的长是( )A.1 B.2 C.3 D.42.(2014凉山)如果两个相似多边形面积的比为15，那么它们的相似比为( )A.125 B.15 C.12.5 D.13.(2013长春)如图，ABD=BDC=90，A=CBD，A
7、B=3，BD=2，则CD的长为( )A. B. C.2 D.34.(2013长沙)如图，在ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，则ADE和ABC的周长之比等于 .命题点3 相似三角形的应用例3 (2013滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示.其中BA=CD，BC=20 cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)【思路点拨】利用梯形常用的辅助线，把EF的长放到三角形中，利用相似三角形的性质，对应边成比例，可求解.【解答】方法归纳：利用三角形
8、相似解决实际问题关键扣住两点：一是构造三角形相似；二是灵活地利用相似三角形的性质.1.(2014台州)如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD50 cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为( )A.25 cm B.50 cm C.75 cm D.100 cm2.(2013济宁)如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中的图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为 cm.命题点4 位似变换例4 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，O
9、C在y轴上，如果矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的，那么点B的坐标是( ) A.(-2，3) B.(2，-3) C.(3，-2)或(-2，3) D.(-2，3)或(2，-3)【思路点拨】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OABC，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得位似比，再利用比例式分别计算出两种情况下B的坐标.方法归纳：已知一个图形和位似中心作位似图形时，要注意运用分类讨论思想，考虑两个图形在位似中心同侧或位似中心两侧两种情况，避免出现遗漏.1.如图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )A.点M B.点N C.点O
10、D.点P2.如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形A1B1C1D1E1，则ODOD1= .1.(2013温州)如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DEBC，已知AE=6，=，则EC的长是( )A.4.5 B.8 C.10.5 D.142.(2014泰安)在ABC和A1B1C1中，下列四个命题： (1)若AB=A1B1，AC=A1C1,A=A1，则ABCA1B1C1； (2)若AB=A1B1，AC=A1C1,B=B1，则ABCA1B1C1； (3)若A=A1，C=C1，则ABCA1B1C1； (4)若ACA1C1=CBC1B1,C=C1，则ABCA1B
11、1C1.其中真命题的个数为( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个3.(2013宜昌)如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2)4.(2014宁波)如图，四边形ABCD中，ADBC，B=ACD=90，AB=2，DC=3，则ABC与DCA的面积比为( )A.23 B.25 C.49 D. 5.(2014东营)下列关于位似图形的表述： 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； 位似图形一定有位似中心； 如果两个图形是相似
12、图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形； 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.其中正确命题的序号是( )A. B. C. D.6.(2013北京)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得ABBC，CDBC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE20 m，EC10 m，CD20 m，则河的宽度AB等于( )A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m7.(2014滨州)如图，平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等，则= .8.(2013六盘水)如图，添加一个条件： ，使得
13、ADEACB.(写出一个即可)9.(2013天津)如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，ADE=60，则AE的长为 .10.(2014福州)如图，在RtABC中，ACB90，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF BC，若AB10，则EF的长是 .11.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40 cm，EF=20 cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m.12.(2014长沙)如图，在ABC中，DEBC，=,ADE
14、的面积是8，则ABC的面积为 .13.如图，在ABCD中，ABC的平分线BF分别与AC,AD交于点E,F.(1)求证：AB=AF；(2)当AB=3，BC=5时，求的值.14.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC和DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明三角形ABC为直角三角形；(2)判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与ABC相似.15.(2014资阳)如图，AB是O的直径，过点A作O的切线并在其上取一点C，连接OC交O于点D，BD的
15、延长线交AC于E，连接AD.(1)求证：CDECAD；(2)若AB=2，AC=，求AE的长.16.如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形，已知AC=3，若点A的坐标为(1，2)，则正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是( )A. B. C. D.17.(2013宁波)如图，等腰直角三角形ABC顶点A、C在x轴上，BCA=90，AC=BC=2，反比例函数y=(x0)的图象分别与AB、BC交于点D、E.连接DE.当BDEBCA时，点E的坐标为 .18.(2014滨州)如图，矩形ABCD中，AB
16、=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：APQCDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，t为何值时，DPAC？参考答案考点解读形状 相等 成比例 边 相等 成比例 全等 成比例平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例平行 成比例 成比例 相等 相等 成比例 相等 成比例 相似比 平方 相似 一点 中心 位似 k或-k各个击破例1 在ABC中，AB=AC，BD=CD，ADBC.CEAB，ADB=CEB=90.又B=B，ABDCBE.题组训练 1.B 2.C 3.C例2 (1)10 (2)
17、C题组训练 1.B 2.D 3.B 4.12例3 过点C作CMAB，交EF,AD于N,M，作CPAD，交EF,AD于Q,P.由题意，得四边形ABCM是平行四边形，EN=AM=BC=20 cm.MD=AD-AM=50-20=30(cm).由题意知CP=40 cm，PQ=8 cm，CQ=32 cm.EFAD，CNFCMD.=，即=.解得NF=24.EF=EN+NF=20+24=44(cm).答：横梁EF应为44 cm.题组训练 1.D 2.18例4 D题组训练 1.D 2.12整合集训1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.B 7.8.9.7 10.5 11.5.5 12.1813.(1)证明
18、：在ABCD中，ADBC，AFB=FBC.BF是ABC的平分线，ABF=FBC.AFB=ABF.AB=AF.(2)AEF=CEB，AFB=FBC，AEFCEB.=.=.14.(1)根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，显然有AB2+AC2=BC2，根据勾股定理的逆定理得ABC为直角三角形；(2)ABC和DEF相似.根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2.=，ABCDEF.(3)如图，P2P4P5.15.(1)AB是O的直径，ADB=90，ABD+BAD=90.又AC是O的切线，ABAC，即BAC=90，CAD+BAD=90，ABD=CAD.ABD=BDO
19、=CDE，CAD=CDE.又C=C，CDECAD.(2)在RtOAC中，OAC=90，OA2+AC2=OC2，即12+(2)2=OC2，OC=3，CD=2.又由CDECAD，得=，即=，CE=.AE=AC-CE=2-=.16.B 17. 提示：设E(a,）,D(b,),过D作DFBE于F，则F(a,).由等腰直角三角形的性质得a-b=-=-,所以a=,b=(a、b0).故E（,）.18.(1)ABCD为矩形，ABCD，CD=AB=20，AD=BC=10，ADC=ABC=90.APQ=CDQ，PAQ=DCQ，AC=10.APQCDQ.(2)当t=5时，DPAC.ADC=90，AQD=AQP=ADC=90.又DAQ=CAD，ADQACD.=，则AQ=2.AQP=ABC=90，QAP=BAC，AQPABC.=，则=，解得t=5.即当t=5时，DPAC.12