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1、考点9 函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1.（2013四川高考理科10）设函数（，为自然对数的底数）若曲线上存在使得，则的取值范围是（ ）A B. C. D.【解题指南】本题综合考查了函数的图象以及转化化归能力,本题中的f(f(y0)=y0是解题的突破口.【解析】选A. 由于曲线上存在使得，可知，并且由可得（推导过程可以用反证法证明），即，整理得，结合二者的图象以及，可得的取值范围是，故选A.2. （2013四川高考文科10）设函数（，为自然对数的底数）。若存在使成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【解题指南】根据题意，分析的关键是存在使成立，将这一条件进行转化为，进行求解即
2、可.【解析】选A，由题，并且由可得（推导过程可以用反证法证明），即，整理得，结合二者的图象以及，可以分析的取值范围是，故选A.3.(2013天津高考理科T7)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解题指南】利用数形结合的方法求解,图象交点的个数即为零点的个数.【解析】选B.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点即2x|log0.5x|-1=0的解,即的解,作出函数g(x)=|log0.5x|和函数的图象, 由图象可知,两函数共有两个交点,故函数f(x)=2x|log0.5x|-1有2个零点. 4. （2013重庆高考理科6）若abc,则
3、函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+)内 D.(-,a)和(c,+)内【解题指南】直接根据零点存在定理求出函数零点所在的区间.【解析】选A.因为ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,所以f(a)f(b)0,f(b)f(c)0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为.【解题指南】画出x0时,f(x)的图象,根据函数的奇偶性,画出整个定义R上函数的图象;画出y=x的图象,结合图象求解.【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数
4、,故图象关于原点对称.又当x0时,f(x)=x2-4x,故图象如图.由图可得当x(-5,0)(5,+)时不等式f(x)x成立.【答案】(-5,0)(5,+)7. （2013湖北高考文科T17）在平面直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为. 例如图中是格点三角形，对应的，.（）图中格点四边形DEFG对应的分别是 ；（）已知格点多边形的面积可表示为，其中a，b，c为常数. 若某格点多边形对应的， 则 （用数值作答）.【解题指南】()理解新概念.()可以再取长方形S=2,
5、N=0,L=6,待定系数法求出a,b,c的值,再代入求值.【解析】（I）由图可知：四边形DEFG对应的S=3,N=1,L=6（II）分别将S=1,N=0,L=4;S=2,N=0,L=6;S=3,N=1,L=6代入, 由此得，解得 所以若某格点对应的N=71，L=18，则S=.【答案】3，1，6；798.（2013上海高考理科T14）对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则【解析】根据反函数定义知，当时，；时，而的定义域为，故当时，的取值应在集合，故若，只有【答案】2三、解答题9.（2013上海高考理科T20）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要
6、求），每小时可获得利润是元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解析】(1)生产该产品2小时的利润为1002=200由题意得,2003000,解得x3或x-.又因为1x10,所以3x10.(2)生产900千克该产品,所用时间是小时,获得的利润为100=90000,1x10,记f(x)=-+5,1x10,则f(x)=-3+5,当且仅当x=6时,f(x)取到最大值f(6)=.最大利润为90000=457 500(元).因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润457
7、500元. 10.（2013上海高考文科T20）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10），每小时可获得的利润是100元.（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.【解析】(1)生产a千克该产品,所用的时间是小时,所获得的利润为100.所以,生产a千克该产品所获得的利润为100a元.(2)生产900千克该产品,所用的时间是小时,获得的利润为90000,1x10.记f(x)=-+5,1x10,则f(x)=-3+5,当且仅当x=6时,f(x)取到最大值f(6)= .获得最大利润90000=457500(元).因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润457500元.5