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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的设集合，则（ ）. A B C D分析 先确定两个集合的元素，再进行并集运算.解析 集合，故，故选D.定义域为的四个函数，中，奇函数的个数是（ ）. A B C D分析 给出的函数都是简单的常见函数，利用函数奇偶性的定义逐一判断即可，也可以利用函数图象进行判断.解析 方法一：这四个函数的定义域都是.因为，故和都是奇函数.因为，所以是偶函数.因为所以即不是奇函数也不是偶函数，故奇函数的个数是，故选C.方法二：四
2、个函数的图象如图所示，函数图象关于原点对称 的为和，故奇函数的个数是，故选C. 若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是( ).A B C D分析 先求出，再根据复数的几何意义求出对就点的坐标.解析 方法一：因为，所以.在复平面内，复数对应的点的坐标为，故选C.方法二：设，由，得，即，故即，故复数对应的点的坐标为，故选C. 方法三：因为，所以，即， 故复数对应的点的坐标为，故选C.已知离散型随机变量的分布列为： 则的数学期望（ ）.A B C D分析 把数据代入随机变量的数学期望公式进行计算即可.解析 .故选A.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）.A B C D分析 由四棱台
3、的三视图还原出直观图及其对应的数据，把数据代入棱台的体积公式进行计算.解析 由三视图可还原出四棱台的直观图如图所示，其上底和下底 都是正方形，边长分别是和，与底面垂直的棱为棱台的高，长度为，故其体积为 ，故选B.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）.A若，则 B若，则C若，则 D若，则分析 本题可以依据相应的判定定理或性质定理进行判断，也可以借助于长方体模型，利用模型中的直线和平面进行判断.解析 如图所示，在长方体中， ，而不垂直于，故A错误.，但和不平行，故B错误. ，但，故C错误.故选D.已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，在双曲线的方程是（ ）.A B
4、 C D分析 求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数的值.解析 右焦点为说明两层含义：双曲线的焦点在轴上；.又离心率为，故，故的方程为.故选B.设整数，集合.令集合，若和都在中，则下列选项正确的是（ ）. A， B， C， D分析 明确集合表示的含义，对中的各种情况进行组合，综合分析.也可以对赋值，利 用特殊值排除不符合的选项.解析 方法一：因为，则的大小关系有种情况，同理，则的大小关系也有种情况，如图所示，由图可知的大小关系有种可能，均符合.故选B. 方法二：（特殊值法）因为和都在中，不妨令，则 ，故的说法均错误， 可以排除选项A、C、D，故选B.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大
5、题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共16分，答案须填在题中横线上不等式的解集为 分析 求出不等式对应的方程的根，利用二次函数的图像或一元二次不等式的解法写出不等式的解集.解析 方程的根为，故不等式的解集为.若曲线在点处的切线平行于轴，则 分析 顺次求出函数的导函数，在切点处的导数，利用切线斜率为求的值.解析 函数的导函数为，由导数，得，则.执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为 是否输入输出结束开始第11题图 分析 明确程序框图的功能，在循环条件控制下，得出最后结果.解析 第一步运算结果：； 第二步运算结果：； 第三步运算结果：； 第四步运算结果：， 程序结束，故输出的值为.
6、在等差数列中，已知，则 分析 可以利用通项公式，把都是表示出来， 进行整体代换；也可心利用把都用表示出来， 进行整体代换.解析 方法一：.方法二：.xy441O给定区域:，令点集，则中的点共确定 条不同的直线分析 实际是由在区域上取得最值时的最优整数解构成的集合.画出二元一次不等式组表示的平面区域，结合图形，确定目标函数取得最值时的最优整数解，再确定最优整数解确定的不同直线的条数即可. 解析 画出平面区域（图中阴影部分），取得最小值时的最优整数解为，取得最大值时的最优整数解为.点与中任何一个点都可以构成一条直线，共有条，又都在直线上，故中的点共确定条不同直线.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知
7、曲线的参数方程为(为参数)，在点 处的切线为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为 分析 把曲线的参数方程化为普通方程，求出切线的普通方程，然后把求出的直线的普通方程化为极坐标方程.解析 由得曲线的普通方程为，过原点及切线的直线的斜率为，故切线的斜率为，所以切线的方程为，即.把代入直线的方程可得，即，化简得.(几何证明选讲选做题)如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于.若，则 分析 结合图形，利用圆和三角形知识从边角上寻找关系.解析 方法一：因为为圆的直径，所以.又，所以是等腰三角形，所以.因为切圆于点，所以.又因为，所以，故.故，所以.方法二：如图
8、所示，连接，因为，所以.又因为切圆于点，所以,所以.因为为圆的直径，所以.又，所以是等腰三角形，故，所以，则，所以，即.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本小题满分12分） 已知函数，(1) 求的值； (2) 若，求分析 （1）把代入函数解析式，借助特殊角的三角函数值和诱导公式求.（2）由求出，利用两角和的余弦公式和二倍角公式求.解析（1）因为，所以.（2）因为，所以，.所以.（本小题满分12分） 某车间共有名工人，随机抽取名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数. (1) 根据茎叶图计算样本均值； 第17题图 (2) 日加
9、工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；(3) 从该车间名工人中，任取人，求恰有名优秀工人的概率.分析 （1）阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值.（2）根据样本算出优秀工人的比例，再估计人中优秀工人的个数.（3）用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件“恰有名优秀工人”的组合的个数，利用古典概型概率公式进行计算. 解析（1）由茎叶图可知，样本数据为，则，故样本均值为.（2）日加工零件个数大于样本均值的工人有名，故优秀工人的频率为，该车间名工人中优秀工人大约有（名），故该车间约有名优秀工人.（3）记“恰有名优秀工人”为事件，其包
10、含的基本事件总数为，所有基本事件的总数为，由古典概型概率公式，得.所以恰有名优秀工人的概率为.（本小题满分14分）.COBDEACDOBE图1图2 如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.(1) 证明:平面； (2) 求二面角的平面角的余弦值.分析（1）要证直线和平面垂直，需要证明直线和该平面的两条相交直线垂直.（2）要求二面角的平面角的余弦值，依据“作证求”的思路完成.这是传统的方法，也可以建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.解析（1）证法一：在折叠前的图形中，在等腰直角三角形中，因为,为的中点，所以.又因为，所以.如图，连接，在中
11、，由余弦定理可得.在折叠后的图形中，因为，所以，所以.同理可证.又，所以.证法二：如图，在折叠前的图形中，连接，交于点，则为的中点.在等腰中，因为，为的中点，所以.因为，所以和分别是的三等分点，则.如图，在折叠后的图形中，连接和.因为，所以，所以.在折叠前的图形中，所以在折叠后的图形中，.又，所以.因为，所以.因为，所以.（2）解法一：如图，过作垂直于的延长线于点，连接.因为，所以.因为，所以.因为，所以，故就是所求二面角的平面角.在中，所以.在中，因为，所以，所以，所以二面角的平面角的余弦值为.解法二：以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示（为的中点），则,，所以.设为平面的一个法向量，则
12、令，得.由（1）知，为平面的一个法向量. 又， 所以， 即二面角的平面角的余弦值为.（本小题满分14分） 设数列的前项和为.已知，(1) 求的值；(2) 求数列的通项公式；(3) 证明:对一切正整数，有.分析（1）把代入递推式，可以得到和的关系式，知可求.（2）递推式含有，常用公式进行化异为同，得到和或和的递推式，构造等差数列，求出新数列的通项，进而求.（3）要证的不等式的左边是一个新数列的前项和，因为是一个分式，容易想到裂项相消法求和，但需要构造分母为因式积的形式，这要通过合适的放缩才行.解析（1）依题意，又，所以.（2）解法一：由题意，所以当时，两式相减得，整理得，即.又当时，所以数列是首
13、项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以数列的通项公式.解法二：因为，所以.整理得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以，所以.因为符合上式，所以数列的通项公式为.（3）证明：设.当时，；当时，；当时，此时.综上，对一切正整数，有.（本小题满分14分） 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线:的距离为.设 为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点(1) 求抛物线的方程；(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3) 当点在直线上移动时，求的最小值.分析（1）由点到直线的距离公式，建立关于的方程，求出，进而写出抛物线的标准方程. （2）设出的坐标，利用导数的几何意
14、义求出切线的斜率，写出切线的方程，通过构造方程，得到直线的方程.（3）因为和都是抛物线上的点到焦点的距离，故可以利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，要求的最小值，需要建立关于的目标函数，然后求该函数的最小值. 解析（1）依题意，设抛物线的方程为，由点到直线的距离公式，得，解得（负值舍去），故抛物线的方程为.（2）由，得，其导数为.设，则，切线的斜率分别为，所以切线的方程为，即，即.同理可得切线的方程为.因为切线均过点，所以，所以和为方程的两组解.所以直线的方程为.（3）由抛物线定义可知，所以.由消去并整理得到关于的方程为.由一元二次方程根与系数的关系得.所以.又点在直线上，所以，即，所以，所
15、以当时，取得最小值，且最小值为.（本小题满分14分） 设函数(其中).(1) 当时，求函数的单调区间；(2) 当时，求函数在上的最大值.分析（1）求函数的单调区间，就是求不等式和的解集.（2）求函数在给定的区间上的最大值，要结合函数单调性求出极值，并和区间端点函数值进行比较，因含有参数，故需要分类讨论.解析（1）当时，.由，解得.由，解得.由，得.所以函数在单调增区间为和，单调减区间为.（2）因为，所以.令，解得.因为，所以，所以.设，所以在上是减函数，所以，即.所以随的变化情况如下表：极小值所以函数在上的最大值为.，.因为，所以.令，则.对任意的，的图象恒在的图象的下方，所以，即，所以函数在上为减函数，故，所以，即.所以函数在上的最大值.