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1、第三课时几何代数综合题201.已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=3AF、BF.,AEBD，垂足是E.点 F 是点 E 关于 AB 的对称点，连接（1）求 AE 和 BE 的长；（2）若将ABF 沿着射线 BD 方向平移，设平移的距离为 m（平移距离指点 B 沿 BD 方向所经过的线段长度）.当点 F 分别平移到线段 AB、AD 上时，直接写出相应的 m 的值.（3）如图，将ABF 绕点 B 顺时针旋转一个角a（0a1 80），记旋转中的ABF 为ABF，在旋转过程 中，设 AF 所在的直线与直线 AD 交于点 P.与直线 BD 交于点 Q.是否存在这样的 P、Q 两点，使DPQ
2、 为等腰三角形？若存在，求出此时 DQ 的长；若不存在，请说明理由.解：（1）在 RtABD 中，由勾股定理得：BD=SABD=BDAE=ABAD，AE=4在 RtABE 中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3（2）设平移中的三角形为ABF，如答图 2 所示： 由对称点性质可知，1=2由平移性质可知，ABAB，4=1，BF=BF=3当点 F落在 AB 上时，ABAB，3=4，3=2，BB=BF=3，即 m=3；当点 F落在 AD 上时，ABAB，6=2，1=2，5=1，5=6，又易知 ABAD，BFD 为等腰三角形，BD=BF=3，BB=BDBD=3=，即 （3）存在理由如下：在旋转过
3、程中，等腰DPQ 依次有以下 4 种情形：如答图 31 所示，点 Q 落在 BD 延长线上，且 PD=DQ，易知2=2Q，1=3+Q，1=2，3=Q，AQ=AB=5，FQ=FA+AQ=4+5=9在 RtBFQ 中，由勾股定理得=DQ=BQBD=；如答图 32 所示，点 Q 落在 BD 上，且 PQ=DQ，易知2=P，1=2，1=P，BAPD，则此时点 A落在 BC 边上3=2，3=1，BQ=AQ，FQ=FAAQ=4BQ在 RtBQF中，由勾股定理得：BF2+FQ2=BQ2， 即：32+（4BQ）2=BQ2，解得，DQ=BDBQ=；如答图 33 所示，点 Q 落在 BD 上，且 PD=DQ，易知
4、3=42+3+4=180，3=4，4=9021=2，4=901AQB=4=901，ABQ=180AQB1=901，AQB=ABQ，AQ=AB=5，FQ=AQAF=54=1在 RtBFQ 中，由勾股定理得=，DQ=BDBQ=；如答图 34 所示，点 Q 落在 BD 上，且 PQ=PD，易知2=31=2，3=4，2=3，1=4，BQ=BA=5，DQ=BDBQ=5=综上所述，存在 4 组符合条件的点 P、点 Q，使DPQ 为等腰三角形；DQ 的长度分别为、2.如图，在矩形 ABCD 中，AB=5,AD=4,E 为 AD 边上的一动点（不与点 A 重合），AFBE，垂足为 F，GFCF,交x S=yD
5、CAB 于点 G,连接 EG,设 AE=,，FDBEG（1） 求证：AFGBFC（2） 求 Y 与 X 的函数关系式，并求的最值（3） 若BFC 为等腰三角形，请写出 x 的值。证明：EAGB3. 如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE、BF，交点为 G(1)求证：AEBF；(2)将BCF 沿 BF 对折，得到BPF（如图 2），延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q，求 sinBQP 的值；(3)将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转，使边 AB 正好落在 AE 上，得到AHM（如图 3），若 AM 和 BF 相交于点 N，当正方形 ABCD 的面积为
6、4 时，求四边形 GHMN 的面积(1)证明：E、F 分别是正方形 ABCD 边 BC、CD 的中点，CF=BE，RtABERtBCFBAE=CBF又BAE+BEA=900，CBF+BEA=900，BGE=900，AEBF(2)根据题意得：FP=FC，PFB=BFC，FPB=900，CDAB,CFB=ABF，ABF=PFBQF=QB令 PF=k（kO），则 PB=2k，在 RtBPQ 中，设 QB=x，x2=(xk)2+4k2,x= 5k，sinBQP= BP = 2k = 42(3)由题意得：BAE=EAM,又 AEBF,AN=AB=2,QP5k52DAGNAN AHM=900,GN/HM,
7、 = ()2LAGN= (2 )2 = 45DAHMAM1544 四边形 GHMN=SAHM SAGN=1 一=55答：四边形 GHMN 的面积是 4.54.已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处（）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 CD的长（）如图 2，在（）的条件下，擦去折痕 AO、线段 OP，连接 BP动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P、A 不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且BN=PM，连接 MN 交 PB 于点 F，作
8、MEBP 于点 E试问当动点 M、N 在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律若不变，求出线段 EF 的长度解：（1）如图 1，四边形 ABCD 是矩形，C=D=90，1+3=90，由折叠可得APO=B=90，1+2=90，2=3， 又D=C，OCPPDA；OCP 与PDA 的面积比为 1：4，CP=AD=4，设 OP=x，则 CO=8x， 在 RtPCO 中，C=90，由勾股定理得 x2=（8x）2+42，解得：x=5，AB=AP=2OP=10，边 CD 的长为 10；（2）作 MQAN，交 PB 于点 Q，如图 2，AP=AB，MQAN，APB=ABP=MQPM
9、P=MQ，BN=PM，BN=QMMP=MQ，MEPQ，EQ=PQMQAN，QMF=BNF，在MFQ 和NFB 中，MFQNFB（AAS）QF=QB，EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90，PB=，EF=PB=2，在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，它的长度为 5.已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处（1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA求证：OCPPDA；若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长；
10、（2）若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点，求OAB 的度数；（3）如图 2，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P、A不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF 的长度 解：（1）如图 1，四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90 由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAOAPO=BAPO=90APD=90CPO=POCD=
11、C，APD=POCOCPPDAOCP 与PDA 的面积比为 1：4，=PD=2OC，PA=2OP，DA=2CPAD=8，CP=4，BC=8设 OP=x，则 OB=x，CO=8x在 RtPCO 中，C=90，CP=4，OP=x，CO=8x，x2=（8x）2+42解得：x=5AB=AP=2OP=10边 AB 的长为 10（2）如图 1，P 是 CD 边的中点，DP=DCDC=AB，AB=AP，DP=APD=90，sinDAP=DAP=30DAB=90，PAO=BAO，DAP=30，OAB=30OAB 的度数为 30（3）作 MQAN，交 PB 于点 Q，如图 2AP=AB，MQAN，APB=ABP
12、，ABP=MQPAPB=MQPMP=MQMP=MQ，MEPQ，PE=EQ=PQBN=PM，MP=MQ，BN=QMMQAN，QMF=BNF在MFQ 和NFB 中，MFQNFBQF=BFQF=QBEF=EQ+QF=PQ+QB=PB由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90PB=4EF=PB=2在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，长度为 26. 如图，ABC 中，AB=AC，BAC=40，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100得到ADE，连接 BD，CE交于点 F（1）求证：ABDACE；（2）求ACE 的度数；（3）求证：四边形 ABEF 是菱形（1
13、）证明：ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100，BAC=DAE=40，BAD=CAE=100，又AB=AC，AB=AC=AD=AE，在ABD 与ACE 中ABDACE（SAS）（2）解：CAE=100，AC=AE，ACE=（180CAE）=（180100）=40；（3）证明：BAD=CAE=140AB=AC=AD=AE，ABD=ADB=ACE=AEC=20BAE=BAD+DAE=160，BFE=360DAEABDAEC=160，BAE=BFE，四边形 ABEF 是平行四边形，AB=AE，平行四边形 ABEF 是菱形7.图 1 和图 2 中，优所在O 的半径为 点 P 为优上一点（点 P 不
14、与 A，B 重合），将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对称点 A（1）点 O 到弦 AB 的距离是 1，当 BP 经过点 O 时，ABA= 60；（2）当 BA与O 相切时，如图 2，求折痕的长：（3）若线段 BA与优只有一个公共点 B，设ABP=确定 的取值范围解：（1）过点 O 作 OHAB，垂足为 H，连接 OB，如图 1所示OHAB，AB=2，AH=BH=OB=2，OH=1点 O 到 AB 的距离为 1当 BP 经过点 O 时，如图 1所示OH=1，OB=2，OHAB，sinOBH=OBH=30由折叠可得：ABP=ABP=30ABA=60 故答案为：1、60（2）过点 O 作 OGBP，垂足为 G，如图 2 所示BA与O 相切，OBABOBA=90OBH=30，ABA=120ABP=ABP=60OBP=30OG= OB=1BG=OGBP，BG=PG=BP=2折痕的长为 （3）若线段 BA与优只有一个公共点 B，当点 A在O 的内部时，此时 的范围是 030 当点 A在O 的外部时，此时 的范围是 60120综上所述：线段 BA与优只有一个公共点 B 时， 的取值范围是 030或 60120