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1、专题二十一 运用分类讨论的思想方法解题 【典题导引】例1.（由数学概念、运算引起的分类讨论）函数若，则的所有可能值的集合为_解：，即.当时，;当时，,，只能取，此时,，.的所有可能值的集合为.训练1（1）若函数在上是单调增函数，则实数的取值范围是_（2）若集合，则实数的值的集合是_（3）已知，求函数在区间上的最大值解:(1)复合函数的单调性可以依据同增异减来判断由题意可得当或时，函数在上是递增的，所以的取值范围是(2)由题意知时，满足条件;时，由得.所以a的值的集合是0,4.(3)当，即时，函数，它在上是减函数;当时，即时，是二次函数（）若，即时，二次函数的图象开口向上，对称轴，它在上的最大值
2、只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)，.当，又，即时，;当，又，即时.（）若，即时，二次函数的图象开口向下，又它的对称轴方程，所以函数在上是减函数，于是.由、可知，这个函数的最大值为例2.（问题中的条件是分类给出的引起的分类讨论）设是各项均不为零的项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列（1）当时，求的数值；（2）求的所有可能值解：（1）当时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出. 若删去，则，即化简得，得；若删去，则，即化简得，得；综上，得或；（2）当时, 中同样不可能删去，否则出现连续三
3、项.若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当时，不存在这样的等差数列.事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾.(或者说：当时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，例3（由图形或图象引起的分类讨论）将一张长，宽的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为，其中记折痕长为（1）若，求的最大值；（2）若，求的取值范围解：如图所示，不妨设纸片为长方形，其中点在面积为的部分内折痕有下列三种情形：折痕的端点分别在边上；折痕的端点分别在边上；折痕的端点分别在边上ABCD（
4、情形）MNABCD（情形）MNABCD（情形）MN（1）在情形、中，故当时，折痕必定是情形设，则因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号即的最大值为； （2）由题意知，长方形的面积为 因为，所以， 当折痕是情形时，设，则，即由得所以，设，则，故0所以的取值范围为，从而的范围是； 当折痕是情形时，设，则，即由得所以，所以l的范围为；当折痕是情形时，设，则，即由得所以，所以l的取值范围为综上，l的取值范围为例4（问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论）设，函数（1）当时,求曲线在处的切线方程；（2）当时,求函数的最小值解：（1）当时， 令得，所以切点为，切线的斜率为， 所以曲线在处
5、的切线方程为：； （2）当时， ，恒成立，在上是增函数.故当时，； 当时，（）（i）当，即时，在时为正数，所以在区间上为增函数.故当时，,此时；(ii)当，即时，在时为负数，在时为正数.所以在区间上为减函数，在上为增函数.故当时，且此时；(iii)当；即时，在时为负数，所以在区间上为减函数，故当时，.综上所述，当时，在时和时的最小值都是,所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为；当时，在时最小值为，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为.所以函数的最小值为【归类总结】1分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每
6、一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答2运用分类讨论的思想解题的基本步骤：（1）确定讨论对象和确定研究的全域；（2）对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；（4）归纳总结，整合得出结论3明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：（1）由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前项和公式等等；（2）由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；（3）由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；（4）由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；（5）由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；（6）其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如实际应用题等- 6 -