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1、考点40 抛物线一、选择题1. （2011新课标全国高考文科9）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A,B两点，=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（ ）（A）18 （B）24 （C）36 （D）48【思路点拨】确定点到直线AB的距离，利用求面积.【精讲精析】选C.设抛物线方程为，则焦点C，在方程中，令，则，即，得，点到直线AB的距离为，2.（2011广东高考文科8）设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则圆C的圆心轨迹为（ ）（A）抛物线 （B）双曲线 （C）椭圆 （D）圆【思路点拨】先求圆x2+（y-3）2=1的圆心坐标为（0，3），利用动
2、圆圆心到点（0，3）与直线y=-1的距离相等得结论.【精讲精析】选A.由题意，圆C的圆心到点（0，3）与直线y=-1的距离相等，由抛物线的定义知圆C的圆心轨迹为抛物线，故选A.3.（2011山东高考文科9）设M(，)为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是（ ） (A)(0，2) (B)0，2 (C)(2，+) (D)2，+)【思路点拨】本题可先求抛物线的准线，由圆与准线相交知42.【精讲精析】选C.设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心, 抛物线C的准线方程为,由圆与准线相交知4r,因为点M(，)为抛物线C：上一点，所以故选C.4.（
3、2011辽宁高考理科3）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）(A) (B)1 (C) (D)【思路点拨】本题考查抛物线的定义，利用定义即可求解【精讲精析】选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知， ，又因为，得，所以线段AB的中点横坐标，所以选C5（2011陕西高考理科T2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（ ）（A） （B） （C） （D）【思路点拨】由准线确定抛物线的位置和开口方向是解题的关键【精讲精析】选B由准线方程得,且抛物线的开口向右（或焦点在轴的正半轴），所以6（2011陕西高考文科T2）
4、设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（ ）（A） （B） （C） （D）【思路点拨】由准线方程确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键【精讲精析】选C.由准线方程得,且抛物线的开口向右（或焦点在轴的正半轴上），所以7.（2011天津高考文科6）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）（A）（B） （C） （D）【思路点拨】将点（-2，-1）分别代入双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，联立距离等式关系求解a,b,p.【精讲精析】选B.由题意可知，又因为点（-2，-1）是两直线的交点，所以得：，联
5、立上式解得.二、解答题8.（2011广东文科T21）在平面直角坐标系中，直线交轴于点A.设P是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPO=AOP.（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，-1）.设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，-1）且不平行于y轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围.【思路点拨】（1）由已知可得，动点到直线与到原点的距离相等，从而可求出轨迹方程；（2）利用抛物线的定义，其上的点到准线的距离等于到焦点的距离，可得答案；（3）由几何性质可得结论.【精讲精析】（1）如图1，可得直线l：
6、x=-2与x轴交于点A（-2，0），设P（-2，m）， 当m=0时，点P与点A重合，这时OP的垂直平分线为x=-1，由AOP=MPO=,得M(-1,0), 当m0时，设M（）.（i）若，由MPO=AOP，得MPOA，有=m.又=，OP的中点为（-1，），OP的垂直平分线为y-=，而点M在OP的垂直平分线上，.又,于是.即.（ii）若，如图1，由MPO=AOP得点M为OP的垂直平分线与x轴的交点，在中，令y=0，有,点M的轨迹E的方程为=4（x+1）（x-1）和y=0（x-1）.（2）由（1）知轨迹E为抛物线 =4（x+1）（x-1）与射线y=0（x-1），而抛物线=4（x+1）（x-1）的顶点
7、为B（-1，0），焦点为O（0，0），准线为x=-2，当点H在抛物线 =4（x+1）（x-1）上时如图2，作HG垂直于准线x=-2于点G，由抛物线的定义得HO=HG,则HO+HT=HT+HG，作TF垂直于准线x=-2于点F，则HT+HGTF，又T(1，-1)，得TF=3，在 =4（x+1）(x-1)中，令y=-1得x=-，即当点H的坐标为（-，-1）时，HO+HT的最小值为3.当点H在射线y=0（x-1）上时，HO+HT|TF|，|HO|+|HT|的最小值为3，此时点H的坐标为（3）由（2）得，由图2得当直线的斜率k或k0时，直线与轨迹E有且只有两个不同的交点.直线的斜率k的取值范围是（-，（0，+）. - 5 -