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1、锐角三角函数公式正弦： sin = 的对边/ 的斜边余弦： cos = 的邻边/ 的斜边正切： tan = 的对边/ 的邻边余切： cot = 的邻边/ 的对边面积公式长方形，正方形以及圆的面积公式面积公式包括扇形面积共式，圆形面积公式，弓形面积公式 ，菱形面积公式，三角形面积公式 ，梯形面积公式等多种图形的面积公式。扇形面积公式在半径为R 的圆中，因为360 的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S R2 ，所以圆心角为n 的扇形面积：S nR2360 比如：半径为 1cm 的圆，那么所对圆心角为135 的扇形的周长：C 2R nR180 2 1 1353.14 1 180 2 2.355 4.
2、355(cm) 43.55(mm) 扇形的面积：S nR2360 1353.14 1 1 360 1.1775(cm2)=117.75(mm2) 扇形还有另一个面积公式S=1/2lR 其中l 为弧长 ， R 为半径名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 三角形面积公式任 意三角 形的面 积公 式（海 伦公 式） ： S=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（ a+b+c ）/2,a.b.c,为三角形三边。证明：证一勾
3、股定理分析：先从三角形最基本的计算公式S ABC = aha 入手，运用勾股定理推导出海伦公式。证明 ：如图 ha BC，根据 勾股定理， 得 : x = y = ha = = = S ABC = aha= a = 此时 S ABC 为 变形，故得证。证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出 ha。斯氏定理: ABC 边 BC 上任取一点D， 若 BD=u ，DC=v,AD=t.则t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ha 2 = t 2 = S ABC = aha = a = 此 时为 S ABC 的变形，故得证。证三：余弦定理分析：由变形S = 可知，运用余弦定理c2
4、 = a2 + b2 2abcosC 对其进行证明。证明：要证明 S = 则要证S = = = ab sinC 此时 S = ab sinC 为三角形计算公式，故得证。证四：恒等式分析：考虑运用S ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若A+ B+ C =180那么tg tg + tg tg + tg tg = 1 证明：如图，tg = tg = tg = 根据恒等式，得：+ + = 代入，得： r2(x+y+z) = xyz 如图可知：a bc = (x+z) (x+y) (z+y) = 2x x = 同理： y = z = 代入，得：r 2 =
5、两边同乘以，得：r 2 = 两边开方，得：r = 左边 r = r p= S ABC 右边为海伦公式变形，故得证。证五： 半 角定理半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = r = y 同理r = z r = x ,得：r3 = xyz 圆面积公式设圆半径为： r 面积为： S 则面积S= r ² 表示 圆周率既圆面 积等于圆周率乘 圆半径 的平方弓形面积公式设弓形AB 所 对的弧为弧AB，那么：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，
6、共 5 页 - - - - - - - - - 当弧AB 是 劣弧时，那么S 弓形 S 扇形 S AOB （ A、 B 是 弧的端点，O 是圆心 ） 。当弧AB 是 半圆时，那么S 弓形 S 扇形 1/2S 圆 1/2 r2 。当弧AB 是 优弧时，那么S 弓形 S 扇形 S AOB （ A、 B 是 弧的端点，O 是圆心）计算公式分别是：S nR2360 ah 2 S R2/2 S nR2360+ah2 椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=ab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（ ）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（ b）的乘积。菱形面积公式定理简 述及证明菱形面积=对角线乘积的一半，即 S
7、=（ a b） 2 菱形的面积也可 =底乘高抛物线弓形面积公式抛物线弦长公式及应用本 文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可 以利用它来 判 断直 线 与抛 物线 位置 关 系及 解决 一 些与 弦长 有关 的 题目 .方 法简 单 明了 ,以 供 参考 . 抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即：抛物线弓形面积 =S+1/4*S+ 1/16*S+1/64*S+ =4/3*S 定理直线y=kx+b(k 0)被抛物线y2=2Px 截得的弦AB 的长度为 AB = 证明由 y=kx+b 得 x= 代入 y2=2Px 得 y2
8、 +=0 y1+y2=,y1y2=. y1 y2 =2, AB = y1 y2|= 当直线y=kx+b(k 0)过焦点时,b= ,代入 得 AB =P(1+k2), 于是得出下面推论: 推论1 过焦点的直线y=kx （ k 0 ） 被抛物线y2=2Px 截得的 弦名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - AB 的 长度为 AB =P(1+k2) 在中 ,由 容易得出下面推论: 推论2 己知直线l: y=kx+b(k0) 及
9、抛 物线 C:y2=2Px )当 P2bk 时 ,l 与 C 交于两点(相交 ); )当 P=2bk 时 ,l 与 C 交于一点(相切 ); )当 P2bk 时 ,l 与 C 无交点 (相离 ). 定理应 用下面介绍定理及推论的一些应用: 例 1 (课本 P.57 例 1)求直线y=x+ 被抛物线y=x2 截得的线段的长? 分析 :题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把 x 看成y 用即可. 解曲线 方程可变形为x2=2y 则 P=1,直线方程可变形为x=y , 即 k=1,b= .由得AB =4. 例 2 求直线2x+y+1=0到曲线y2 2x 2y+3=0 的 最短距离 . 分析 :可
10、求与已知直线平行并和曲线相切的直线 ,二直线间距离即为要求的最短距离. 解曲线 可变形为(y 1)2=2(x 1)则 P=1,由 2x+y+1=0 知 k= 2.由推论2,令 2bk=P,解得 b= .所求直线方程为y 1= 2(x 1) ,即 2x+y =0. . 故所求最短距离为. 例 3 当直线y=kx+1 与 曲线 y= 1 有交点时,求 k 的范围 . 解曲线 可变形为(y+1)2=x+1 (x 1,y 1) ,则 P=1/2. 直线相应地可变为y+1=k(x+1)k+2, b=2-k. 由推论2,令 2bkP,即 2k(2 k) , 解得k1 或k1+. 故 k1 或k1+ 时直线
11、与曲线有交点 . 注 :曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误 . 例 4 抛物线y2=2Px 内接直角三角形 ,一直角边所在直线为y=2x, 斜边长为5.求抛物线的方程. 解设直 角三角形为AOB. 由题设知kOA=2,kOB=.由 , |OA|=, |OB|=4P .由 |OA|2+|OB|2=|AB|2,得 P=.抛物线方程为y2=x. 例 5 设 O 为抛物线的顶点 ,F 为焦 点 ,PQ 为过的弦,己知 OF=a,PQ =b,. 求S OPQ 解以O 为 原点 ,OF为 x轴建 立 直角 坐标 系 (见图 ),依题 设条 件 ,抛 物线 方程为y2=4ax(P=2a
12、), 设 PQ 的 斜率为k,由 |PQ|=, 已知 |PQ|=b,k2=. k2=tg2 sin2 =. 即 sin =, SOPQ=SOPF+S OQF =a|PF|sin +a|FQ|sin( )=ab sin =. 常见的 面积定理名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 1一个图形的面积等于它的各部分面积的和；2两个全等图形的面积相等；3等底等高的三角形、平行四边形、 梯形 （梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；4 等底（或等高）的三角形、 平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；5相似三角形的面积比等于相似比的平方；6等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -